18_6354384_52.巧用图像法.妙解一元最值函数问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 巧用图像法 最值函数问题 的 解 法 和类型 我们把函数 m(x)=f1(x),f2(x), ,fn(x)或函数 M(x)=f1(x),f2(x), ,fn(x)称为“最值函数” ,最值函数 于近年来流行于高考中 ,灵活利用函数图像是解决最值函数问题 的 有力方法 . 母题结构 :己知函数 m(x)=f1(x),f2(x), ,fn(x)和 函数 M(x)=f1(x),f2(x), ,fn(x),作出 函数 m(x)和 函数M(x)的图像 . 解 题 程序 : 在同一 直角 坐标系 内 ,分别 作出 函数 f1(x),f2(x), ,fn(x)的图像 ; 取所有 函数 f1(x),f2(x), ,fn(x)图像 的下方的部分 ,得 函数 m(x)的图像 ; 取所有 函数 f1(x),f2(x), ,fn(x)图像 的上方的部分 ,得 函数 M(x)的图像 . 数 M(x)的最小值 子题类型 :(2006 年浙江高考试题 )对 a,b R,记 a,b= ,函数f(x)=x+1|,|(x R)的最小值是 . 解析 :由 |x+1|=| (x+1)2=( x=21;在同一坐标系 内 ,作出 y=|x+1|与 y= |图像 ,如图 ,则 f(x)的图像是图中的实线部分 x)=f(21)=23. 点评 :最值函数的基本问题之一是求最大值函数 M(x)的最小值 ,或已知最大值函数 M(x)的最小值 ,即已知 f1(x)f2(x), ,fn(x)=M,求函数 f1(x)f2(x), ,fn(x)中 的参数值 . 数 M(x)的最大值 子题类型 :(2009 年 课标 高考试题 )用 a,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值 . 设 f(x)=x,x+2,10x 0),则 f(x)的最大值为 ( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析 :在同一坐标系 内 ,作出 y=2x,y=x+2 与 y=图像 ,如图 ,则 f(x)的图像是图中 的实线部分 f(x)的最大值 f(4)=C). 点评 :最值函数的基本问题之二是求最小值函数 M(x)的最大值 ,或已知最小值函数 m(x)的最大值 ,即已知 f1(x)f2(x), ,fn(x)=m,求函数 f1(x)f2(x), ,fn(x)中 的参数值 . 数 的 基本性质 子 题类型 :(2010 年湖南高考试题 )用 a,b表示 a,b 两数中的最小值 f(x)=x|,|x+t|的图像关于直线 x=则 t 的值为 ( ) (A) (B)2 (C) (D)1 解析 :在同一坐标系 内 ,作出 y=|x|与 y=|x+t|的图像 ,如图 ,则 f(x)=x|,|x+t| 的图像关于直线 x= =2 ( t=D). 点评 :最值函数的基本问题之三是研究最值函数的性质 ,或已知最值函数具有某性质 ,求函数 中 的参数值 . 1.(1997 年 第 八 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )对于函数 f(x)与 g(x)规定 :当 f(x) g(x)时 ,f(x)*g(x)=f(x); 当 f(x)g(x)时 ,f(x)*g(x)=g(x)f(x)=3-x,g(x)=(2x+5)21 ,则 f(x)*g(x)的最大值为 . 2.(1998年北京市中学生数学竞赛高一 试 题 )已知 f1(x)=4x+1,f2(x)=x+2,f3(x)=都是定义在 我们 定义 f(x)为 f1(x),f2(x),f3(x)的最小值 ,则 f(x)的最大值等于 . 3.(2009 年第二十届希望杯全国数学邀请赛 (高一 )试题 )已知 f(x)=x+1,g(x)=2x,h(x)=,设函数 F(x)=f(x), g(x),h(x),则 F(x)的最大值为 ( ) (A)1 (B)2 (C)27(D)4 4.(2007 年第十八届希望杯全国数学邀请赛 (高一 )试题 )已知函数 f(x)=x+1,x+29,则 f(x)的最大值为 . 5.(2011 年第二十二届希望杯全国数学邀请赛 (高 一 )试题 )已知 x 是实数 ,且 x 2,=2| 1x,|3| 1x,那么 x= . 6.(2013 年 辽宁 高考试题 )已知函数 f(x)=a+2)x+a2,g(x)=(1(x)=f(x),g(x),H2(x)= f(x),g(x),(p,q表示 p,p,q表示 p,1(x)的最小值为 A,H2(x)的最 大 值为B,则 ) (A)16 (B) (C) (D).(2014年全国高中数学联赛 浙江 预赛 试题 )若 a R+,b R,且 x+4,b,52,则 a+b 的值为 ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)3 7.(2006 年辽宁高考试题 )已知函数 f(x)=21(21|则 f(x)的值域是 ( ) (A) (B) (C)2 (D)22 8.(2005年 北京 高中数学 竞 赛 高一 试题 )已知 x R,则函数 f(x)=的最大与 最小值的和等于 . 9.(2007 年全 国高中数学联赛天津 初赛试题 )已知关于参数 a(a0)的二次函数 y=21 a x+x R)的最小值是关于 a 的函数 f(a),则 f(a)的最小值为 . 11.(1996 年全 国高中数学联赛北京 初赛试题 )函数 f(x)=|区间 上的最大值 M(a)的最小值等于 . 12.(2015 年 湖北 高考试题 )a 为实数 ,函数 f(x)=|区间 0,1上的最大值记为 g(a).当 a= 时 ,g(a)的值最小 . 作 f(x)的 图像 知 ,当 x=4 时 ,f(x)*g(x)的最大值 =2 3 作 f(x)的 图像 知 ,x)=f(32)=38. 作 F(x)的 图像 知 ,F(x)的最大值 =F(25)=C). 作 f(x)的 图像 知 ,f(x)的最大值 =f(1)=2. 作 f(x)的 图像 ,由|2| 1x=|3| 1x 3-x=x=25 时 ,.