18_6354392_13.分段函数的单调性及其应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 分段函数的单调性及其应 由分段函数的单调性生成 的 三类 问题 自 2006 年北京高考中出现分段函数单调性的试题后 ,分段函数的单调性历经演变生成三类问题出现于高考中 ,形成为一条亮丽的风景线 . 母题结构 :己知函数 f(x)= )( )( : 函数 f(x)在 (- ,+ )上单调递增 函数 M(x)在区间 a,+ )上单调递 增 ,函数 m(x)在区间 (- ,a)上单调递增 ,且 M(a) m(a); 函数 f(x)在 (- ,+ )上单调递减 函数 M(x)在区间 a,+ )上单调递减 ,函数 m(x)在区间 (- ,a)上单调递减 ,且 M(a) m(a). 解 题 程序 :由 函数单调 性定义 ,不难知道以上结论 的正确性 ,分段函数单调性的 特点是 分段函数 的“间断点 ” ,解决 分段函数单调性的 关键点是抓 住 分段函数 的“间断点 ” . 子题类型 :(2006 年北京高考理 科 试题 )己 知 f(x)= 1,4)13( xx - ,+ )上的减函数 ,那么 ) (A)(0,1) (B)(0,31) (C)71,31) (D)71,1) 解析 :令 m(x)=(2x+4a(xf(a),则实数 a 的取值范围是 ( ) (A)(- , (2,+ ) (B)() (C)() (D)(- , (1,+ ) 解析 :令 m(x)=4xf(a) 2a a ()C). 点评 :已知 f(x)是 分段函数 ,解复合 函数 不等式 :f(g(x)f(h(x)的关键 是 利用母题判断 分段函数 f(x)的 单调 性 ,然后 ,利用 单调 性 函数 的脱壳性解决 问题 . 子题类型 :(2010 年全国高中数学联赛 黑龙江 预 赛试题 )设函数 f(x)= 7, 7,3)3( 6 xa 列 足 an=f(n),nN+,且数列 递增数列 ,则实数 a 的取值范围是 . 解析 :令 m(x)=(3-a)x 7),M(x)=x7),由 递增数列 f(n)在 N*上单调递增 m(n)和 M(n)单调递增 ,且 M(8)m(7) 3,a1,且 (33 a (2,3). 点评 :关于 分段函数 离散变量的单调性有 :己知函数 f(x)= )( )( a N*),则 :函数 f(n)(n N*)单调递增 m(n)(n N*,nM(n). 1.(2006 年北京高考文 科 试题 )己知 f(x)= 1,4)3( xx - ,+ )上的增函数 ,那么 a 的取值范围是 ( ) (A)(1,+ ) (B)(- ,3) (C)53,3) (D)(1,3) 2.(2010 年福建省高一数学夏令营选拔试题 )若函数 f(x)= 0,1 0,23)3( xa 上单调递增 ,则 a 的取值范围是 ( ) (A)23,3) (B)(1,3) (C)(0,23 (D)1,23) 3.(2011年湖南省高中数学夏令营试题 )已知函数 f(x)= ,43)12( 3,无论 函数 f(x)在 则实数 a 的取值范围为 . 4.(2010 年江苏高考试题 )已知函数 f(x)= 0,1 0,12x 满足不等式 f(1f(2x)的 x 的范围是 _. 5.(2009 年湖南省高中数学夏令营试题 )已知函数 f(x)= )6(4)24()6(5x 满足 f(n+1)f(n)对一切正整数 实数a 的取值范围 为 . 6.(2011 年 第 二十二 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )已知函数 f(x)= 4,2 4,6)5( 3 xa x,数列 足 an=f(n)(n N+),且数列 单调递增数列 ,则实数 a 的取值范围是 ( ) (A)(1,5) (B)(2,5) (C)(514,5) (D)514,5) 由 f(x)为增函数 a1,3,且 (34a a (1,3)D). 由 f(x)为增函数 a1,3,且 3a 23,3)A). 由 f(x)为 单调 函数 f(x)为 单调 增函数 2,t33,且 (2t+3a21;所以 ,f(x)不单调 a 21 取值范围为 (- ,21 . 由函