19_3501668_12.构造直角三角形.妙解三角形试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 构造直角三角形 解 三角形 问题 的 创新解法 在解三角形 时 ,若能根据题中 几何 图形的特点 ,恰当地构造直角三角形 ,就可以充 分 利用直 角三角形 的性质 ,收到化难为易、事半功倍 、 出奇制胜 的效果 ,达到妙解三角形的目的 . 母题结构 :(直角三角形的判定 )如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a2+b2=此 三角形 直角三角形 ; 一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形 ; 如果一条 边是 另 边的一半 ,且较小边 所对的角等于 300,或较大边 所对的角等于 600,则此 此 三角形 直角三角形 . 解 题 程序 :利用直角三角形性质解决问题的关键是 挖 掘 图中的 直角三角形 或 构造直角三角形 ,其中 ,利用 直角三角形的判定 是挖 掘 图中 直角三角形 的 常用方法 ,而 作三角形的高是构造直角三角形 的常用方法 . 子题类型 :(2012 年安徽 高考试题 )设 内角 A、 B、 C 所对边的长分别为 a、 b、 c, 且有 2( )求角 A 的大小 ; ( )若 b=2,c=1,D 为 中点 ,求 长 . 解析 :( )由 22+C)(0) 1,又由 A (0, ) A=3; ( )取 ,则 1b=1,1c=21, D=23,22 =27. 点评 :利用直角三角形的判定 ,挖掘题图中直角三角形 ,并运用直角三角形的性质是巧解三角形的有力方法 . 子题类型 :(2015 年 安徽 高考试 题 )在 , A=43, 2 ,点 D 在 上 ,D,求 长 . 解析 :如图 ,作 E, F,则 ,D E 是 中点 E=3;又由 A=43, 2 F=3;由 F=F ;在 ,22 = 10 . 点评 :作三角形的高是构造直角三角形解决问题的基本思想方法 ;三角形的一条高把三角形分割为两个直角三角形 ,充分利用这两个直角三角形的性质和关系可 给出 问题的 创新 解 法 . 数 的几何意义 子题类型 :(2008 年全国高考试题 )设 内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 ,. ( )求边长 a; ( )若 =10,求 周长 l. 解析 :如图 ,作 D,则 BD=,CD=;( )在 ,a=; ( )由 S=210 5 周长 l=5+5+2 5 =10+2 5 . 点评 :本题的 解法为作者给出 ,优于“标准答案” 给出 的 几 种 解法 ;它 揭示了问题的本质 和命题手法 ,同 时也告诉我们 :在解三角形问 题时 ,可以根据 已知 条 件 中三角函数的几何意义 作 直角 三角形 巧解问题 . 1.(2013 年 课标 高考试题 )如图 ,在 , 00,3 ,P 为 一点 , 00. ( )若 1,求 ( )若 500,求 2.(2013 年 课 标 高考试题 ) ,D 是 的点 ,分 D=2( )求 ( )若 00,求 B. 3.(2005 年湖北高考试题 )在 ,己知 3 ,1, 6 ,求 面积 . 4.(2015 年 陕西 高考试题 ) 内 角 A,B,C 所对的边 分别是 a,b,c,向量 m=(a, 3 b)与 n=(行 . ( )求 A; ( )若 a= 7 ,b=2,求 面积 . 5.(2014 年 山东 高考试题 )在 ,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,a=3,6,B=A+2. ( )求 b 的值 ; ( )求 面积 . 6.(2012 年课标高考试题 )已知 a、 b、 c 分别为 个内角 A、 B、 C 的对边 ,3 . ( )求 A; ( )若 a=2, 面积为 3 ,求 b、 c. ( )在 , 00,1 00 00 7; ( )设 ,则 00在 ,由 00=在 ,由)150=0150 4 3 43 . ( )由 分 ;在 , , 1; ( )由 ( )知 , 00 B=300. 作 ,则 C 6 , 3 ;由 3 6 2 +8 3 . ( )由 m n a: 3 b=3 3 A=600; ( )作 ,由 b=2 ,3 ;又 由 a= 7 面积 =2133. 如图 ,作 D,则 -(A+2)=6,BC=a=3 6 ; ( )由 6 3 2 ; ( )由