19_3501686_2.奇偶函数与周期函数的定积分

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 奇偶函数与周期函数的定积分 基本性质及其应用 在定积分计算中 ,巧妙地利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性及其周期性 ,既能收 到事半功倍的效果 ,又能很好地体现了数学的对称美 . 母题结构 :( )若 f(x)为偶函数 ,则 aa (=2a (=20 )(a )若 f(x)为奇函数 ;则 aa (=0;( )若f(x)是一个以 则 : 对任意 a,有 (=T (=22)(TT 对任意 n N+,有 nT (=nT (. 解 题 程序 :利用 奇偶函数 定积分 的 性质 ,一定要注意 积分区域 关于原点 对称 ;而利用 周期 函数 定积分 的 性质 ,一定要注意 积分区域的 长度等于最小正 周 期 . 数 的定积分 子题类型 :(2012 年江西 高考试题 )计算定积分 11 2 ) . 解析 :由 11 2 )11 21111 +0=32. 点评 :充分 利用 奇函数 f(x)的积分性 质 :aa (=0,可有效简化计算 . 向 子题类型 :(2014 年 湖北 高考试 题 )若函数 f(x),g(x)满足 11 )()( ,则称 f(x),g(x)为区间 上的一组正交函数 ,给出三组函数 : f(x)=g(x)= f(x)=x+1,g(x)= f(x)=x,g(x)=的正交函数的组数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析 :当 f(x)g(x)为奇 函数 时 ,满足 11 )()( ; f(x)g(x)=21奇 函数 ; f(x)g(x)= 偶 函数 ;f(x)g(x)=数 C). 点评 :本题是以积分 ,尤其是以 奇函数 f(x)的积分性质 为背 景命制的 ,解法为作 者给出 ,优于流行 解法 . 伸 子题类型 :(2014年 湖南 高考试 题 )已知函数 f(x)=,且 320 )( ,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是( ) (A)x=65(B)127(C)3(D)6解析 :由 320 )( f(x)的图像 关于 M(3,0)对称 ,设 f(x)图象的对称轴是 x= |=故选 (A). 点评 :奇函数 性质可 推广为 :若 f(x)的 图象关于 M(a,0)对称 ,则 ba ba (=给出 ,更 深刻 、本质 . 1.(2009 年福建高考试题 ) 22) ) (A) (B)2 (C) (D) +2 2.(1999 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 f(x)是连续函数 ,F(x)是 f(x)的原函数 ,则 (A)当 f(x)是奇函数时 ,F(x)必是偶函数 (B)当 f(x)是偶函数时 ,F(x)必是奇函数 (C)当 f(x)是周期函数时 ,F(x)必是周期函数 (D)当 f(x)是单调增函数时 ,F(x)必是单调增函数 3.(2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数 ,“ M N” 表示 “ M 的充分必要条件是 N” ,则必有 ( ) (A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数 f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数 f(x)是单调函数 4.(2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 f(x)是周期为 4的 可导奇函数 ,且 f (x)=2(x 0,2,则f(7)= . 5.(2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (二 )试题 )函数 f(x)连续 ,则下列函数中 ,必为偶函数的是 ( ) (A)x )(B)x )(C) x ()(D) x ()(6.(2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (二 )试题 ) 22223 . 7.(1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 M= 2242 = 2243 ) = 22432 ) ) (A)=-224 D). 由 ) c o s)s i n(c o s2)s i n( 222= co s) 2