20_6354416_41.球的表面积和体积公式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 球的表面积和体积公式 认识球 的 一 种方 法 球是立体几何中较为独特的几何体 ,对于球的认识与理解 ,最好的方式是与圆进行类比 ;球的表面积和体积公式是球的基本公式 . 母题结构 : 母题 解 析 :在现行中学数学中 ,对球的表面积和体积公式 ,不要求证 明 ,但要求记忆 ,并能灵 活运用 . 子题类型 :(2002 年北京高考试题 )有 64 个直径都为4a(a0)的球 ,记它们的体积之和为 V 甲 ,表面积之和为 S 甲 ;一个直经为 a 的球 ,记其体积为 V 乙 ,表面积为 S 乙 ,则 ( ) (A)V 甲 V 乙 ,且 S 甲 S 乙 (B)V 甲 S 乙 (D)V 甲 =V 乙 ,且 S 甲 =S 乙 解析 :由 V 甲 =6434 (8a)3=61 甲 =64 4 (8a)2=4 乙 =34 (2a)3=61 乙 =4 (2a)2= C). 点评 :在球的基本公式中有三个变量 ,即半径 R、表面积 S、体积 V,其中半径 求 球的表面积 S、体积 V,关键是求 半径 R,或用 基本量 子题类型 :(2013 年 上海 春招 试题 )若两个球的表面积之比为 1:4,则这两个球的体积之比为 ( ) (A)1:2 (B)1:4 (C)1:8 (D)1:16 解析 :由 两个球的表面积之比为 1:4 半径 之比为 1:2 体积之比 =半径 之比 的立方 =1:C). 点评 :任意 两球 都相似 ,两球的表面积的比等于对应半径比的平方 ,两球的体积的比等于对应半径比的立方 ,两球的表面积比 值 的平方 根 等于 体积 比 值 立方 根 . 关系 子题类型 :(2009年 湖北 高考试题 )设球的半径为时间 (t)则球的表面积的增长速度与球半径 ( ) (A)成正比 ,比例系数为 C (B)成正比 ,比例系数为 2C (C)成反比 ,比例系数为 C (D)成反比 ,比 例系数为 2C 解析 :由 V(t)=34 R3(t) V (t)=4 R2(t)R (t)=S(t)R (t),其中 S(t)=球的表面积 ;由 球的体积以均匀速度 V (t)=c S(t)R (t)=c;又由 S(t)=4 R2(t) 4 R2(t)R (t)=c,S (t)=8 R(t)R (t) S (t)R(t)=D). 点评 :球的 表面积 S(R)、 体积 V(R)均是半径 V (R)=S(R);当 (t)时 ,V (t)= S(t)R (t). 1.(2008 年天津高考试题 )若一个球的体积为 4 3 ,则它的表面积为 . 2.(2003 年北京高考试题 )已知某球的体积与其表面积的 数值相等 ,则此球体的半径为 . 3.(2006 年湖北高考试题 )木星的体积约是地球体积的 240 30 倍 ,则它的表面积约是地球表面积的 ( ) 项目 圆 球 定义 平面内一动点到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 定点叫做圆心 ,定长叫做圆的半径 . 空间内一动点到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做球 定点叫做球心 ,定长叫做球的半径 . 公式 半径为 周长 C(r)=2 r;面积 S(r)= 半径为 表面积 S(R)=4 积 V(R)=34 联系 S (r)=C(r) V (R)=S(R) (A)60 倍 (B)60 30 倍 (C)120 倍 (D)120 30 倍 4.(1991 年第 二 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )在半径为 1 的球体外面均匀的包上一层球壳行“外衣” ,若“外衣”的体积与球的体积相等 ,则球壳“外衣”的厚度 是 ( ) (A)33 (B)3 (C)32 (D)32 .(2009 年上海高考试题 )己 知三个球的半径 1+2它们的表面积 . 6.(1991 年全国高考试题 )己知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直经相等 ,则圆柱的全面积与球的表面积的比是 ( ) (A)6:5 (B)5:4 (C)4:3 (D)3:2 7.(1991 年上海高考试题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径 ,则这个圆柱的体积与球的体积的比值为 . 8.(2000 年北京、安徽春招试题 )一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等 ,那么圆锥与球的体积之比是 ( ) (A)1:3 (B)2:3 (C)1:2 (D)2:9 9.(2000 年第 十一 届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )一根细金属丝下端挂着一个半径为 1 的金属球 ,将它沉入半径为 R 的圆柱形容器内的水中 ,现将金属丝向上提升 ,当 金属球被提出水面时 ,客器内的水面下降了 . 10.(2003 年北京春招试题 )如图 ,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水 . 若放入一个半径为 r 的实心铁球 ,水面高度恰好升高 r,则 . 11.(2010 年 湖北 高考试题 )圆柱形容器内部盛有高度为 8水 ,若放入 三 个相同的球 (球的半径与 圆柱 的底面半 径相同 )后 ,水恰好淹没最上面的球 (如 图 所示 ),则 球的半 径 是 12.(2003 年 安徽春招 试题 )一个半径为 实心钢球放在倒圆锥形的容器中 ,再往容器中注水 ,使水面恰好淹没钢球 ,如果容器轴截面的顶角为 600,那么 ,将球取出后 ,水面的高度为 13.(1991 年三南高考试题 )体积相等的正方体、球、等边圆柱 (即底直径与母线相等的圆柱 )的全面积分别记为 么它们的大小关系为 ( ) (A)2 (B)3 (C)3 (D)14.(1997 年第 八 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )在体积相等的正方体、球、等边圆锥这三个几何体中 ,表面积最大的是 . 15.(2009 年江西高考试题 )体积为 8 的一个正方体 ,其全面积与球 O 的表面积相等 ,则球 O 的体积等于 . 16.(2006 年湖北高考试题 )半径为 r 的圆的面积 S(r)= 长 C(r)=2 r,若将 r 看作 (0,+ )上的变量 ,则 )( 22r .式可用语言叙述为 :圆的面积函数的导 数等于圆的周长的函数 的球 ,若将 0,+ )上的变量 ,请你写出类似的式子 : ,式可用语言叙述为 : . 由体积为 4 3 半径 R= 3 表面积 =12 . 由34 R=3. 由 半径 比 =2 30 表面积 比 =C). 设 厚度 是 h,则 234 13=34 (1+h)3 h=32 D). S+22S=33S. 由 全面积 =2 R 2R+2 面积 =4 D). 由 柱的体积 =2 的体积 =34 比值 =23. 由 圆锥的体积 =31 2R,V 球 =34 比 =1:C). 设 下降了 h,由 4 13 h=234R. 由 4 r332. 由 6r