一致连续函数性质的应用(1)

11、设函数 在区间 上可导，fx,ab证明 在 上一致可导的充分必要条件是 在 上连续。, fx,ab这里 在 上一致可导是指：对任给 ，存在 ，使得对任意 ，fxab00,xyab当 时，就有 成立。0|yfyfxf证明 充分性 设 在 上连续，于是 在 上一致连续，f,abfx,ab对任给 ，存在 ，使得对任意 ，当 时，就有00,y|y成立；()fxfy对任意 ， ，存在 位于 之间，使得,ab|xy,xy，()()fxyf显然 ， ，|fx于是 ，()fyfxfff即得 在 上一致可导；f,ab必要性 设 在 上一致可导，fx,注到 的地位对称，,y因此有对任给 ，存在 ，当 ， 时，00,xyab0|xy就有 ，ffxfyfff从而 ，()fxf 2ffxfyfxf fyy 故得到 在 上一致连续，因此 在 上连续。,abf,ab22、设函数 在区间 上非李普希兹连续，fxI证明 在区间 上一致连续的充分必要条件是：对任给的 ，总存在正数 ，0M使当 ， ，满足 时，就有 .,xyIyfyfxMfyfx证明 充分性对任给 ，取 ，对任意 ， ，当 时，0,xyIy|x若满足 ，就有 ；fyfxMff若成立 ，则有 ，ffyx|fyfxMyx即得 在区间 上一致连续 。fI充分性 用反证法.假若 在区间 上不一致连续，则存在 ，存在 ，fxI 0,nxyI使得 ，但 ，1ny0nnffy则有 ，0nfxf由假设条件，对 ，只需要 充分大，就满足 ，02n0nnfxfyN就有 ，矛盾，0nnfxfy所以 在区间 上一致连续；I必要性 证法一 设 在区间 上一致连续，对任意 ，存在 ，当 ，fxI 00,xyI时，有 ；xyy若有 ，满足 ，必有 ，,Ifxfxy3取 ，2M若有 ， ，满足 时，我们断言必有 ；,xyIyfyfxMfxfy假若不成立，也就是假若有 ，必得矛盾。fxfy事实上，令 ，则存在正整数 ，使得 ，fxy2K(1)K设 ，则有 ， ；1K2不妨设 ，()()fxy因为 ，()fxfy故由连续函数介值定理，知存在 ，使得1， ；1()fxf同理，存在 ，使得2， ；1()ff12xy如此继续下去，则得 ，其中规定 ；01Kx 0,Kxy这时，对每个 ，因为 ，i()iiff故由一致连续的定义， ， ；1i,2从而 ，这与 ，矛盾；2fyfxKMfyfxM对于 的情况，可类似讨论。必要性证毕。证法二 假若结论不成立，则存在 ，对任意正整数 ，存在 ，0n,nxyI尽管 ，但 ；nnfxfy0nnfxfy由于 在区间 上一致连续，对 ，存在 ，当 ，fxI00,xyI4时，有 ；xy0fxfy于是必有 ，ny不妨设 ，则存在正整数 ，使得 ，nx2K(1)nyxK取 ， ； ，izi0,1, Kz则有 ，|()|iiffz,i从而有 ，1101|()|()|KKnnii iii ifyfxfzffzfK，002()nnfxf这与 相矛盾，nnffyx故必要性结论成立。注：对函数 ，或者 ，或 ，显然在 上一致连续，fxCfxsinfxI不出现必要性的条件，不成立必要性的结论，所以此题应只有充分性，应无必要性.再者条件也难造出来。 对 ， ，显然在 上一致连续；2fx(,)IlI，|2|yyxlyx若 ， ，且 ，,xI|ffl则必有 ， 。|2ylfyfx对 ， ，显然 在 上一致连,(01)pfx(0,)I,(01)pfxI续。例 29 ,（ ）.9,8 120sinnxadea05解 ，)1(sinsixxxeae0sinxxe1sinnxa又 ，故 .20sidnx120inxda例 30 证明（1） ；9,8 )(212 eka（2） ， （ ）.0sindxea)1(2ea 0证明 设 是以 为周期的函数， ， ;)(f )(2(xfxfR当 时， ， （ ）;由傅立叶展开定理 ,得xax01，)sinco21(2ka ke 2)(xff特别地，当 时，有 ，0x 1)1(22 aka ee于是 ；)(212aeaka故 .)211(sin2120 edxean1设函数 在区间 上有定义，fI试证明： 在 上一致连续的充分必要条件是对区间 上任意两数列 与 ，x Inxy当 时，有 .lim0nylim0nnnfxfy1证明：必要性 设 在 上一致连续，fI则对 ， ，当 ， 时，12,12有 .12fxf由 ，lim0ny对于上述 ， ，*N当 时，有 ，nx6从而有 ，nnfxfy所以 .lim0充分性：用反证法 假设 在 上不一致连续，fxI则 ，对 ，存在 ，0,y尽管 ，但 ，xy0ff不妨取 ，存在 ，尽管 ，但 ，1n,nxI1nxy0nnfxfy上述 ，满足 ，,xyIlim但是 ，与条件 ,矛盾.0nnffli0nnnfxfy二、设 于区间 上一致连续， ， ，且 收敛，xII1,2 nx证明 也收敛，问若将 于区间 上一致连续改为 于区间 上连续，上nf fxfI述结论是否仍成立？说明理由.证明 由于 在 上一致连续，fxI对任意 ，存在 ，当 ， 时，0012,xI12x有 ，12fxf由 收敛，知n对上述 ，存在正整数 ，当 时，0N,mn有 ，mnx于是有 ，mffx即 是 Cauchy 序列，所以 收敛.nxnfx若 在 上连续， ， 收敛 ，未必有 收敛，fInxInfx例如 ， ， ，1x0,1显然 收敛，但是 不收敛.nnfx7三、设 为有限区间， 在 上有定义，试证： 在 上一致收敛充要条件是 把 CauchyI()fxI()fxIf序列映射为 Cauchy 序列， （即当 为 Cauchy 序列时， 亦为 Cauchy 序列） 。n()nf证明 必要性 设 在 上一致连续，()fxI对 ，当 时，有 ，0,x()fxf设 是 Cauchy 序列，则对此 ， ，当 时，有 ，从而nxI0*N,nmNnmx有 ，所以有 是 Cauchy 序列；()mff()nfx充分性 用反证法，假若 在 上非一致连续，则 ， ， ，虽)fI010n,nxyI然 ，但 ，1nxy0()nnfxfy(1,2.)注意到 为有限区间， ，因此 中存在收敛的子列 ，II,.)nxknx因 ，故 亦收敛，且 ，0kknxyknylimlikky从而穿插之后，序列 亦收敛，为 Cauchy 序列，但其像序列12,.,.knxx1122()(),(),.kkn nfyfyfxy恒有 ，不是 Cauchy 序列，与一致条件矛盾，所以假设不成立，故有0()kknfx在 上一致连续，命题得证。I注：当 为无限区间时，充分性不再成立，例如 把 上的任一 Cauchy2()fx(,)I序列 ，映成 Cauchy 序 ，但 在 上不一致连续。nx()nfx2()f,四、设函数 定义在区间 上，定义 ，fI1212,supxIwffx证明 在 上一致连续 .fxI0lim五、设 在有限区间 内一致连续，证明： 也在 内一致连续。(),g(,)ab()fxg(,)ab证明 首先证明 都在 上有界，因为 在有限区间 内一致连续，从而fxg,存在 ，满足当此 ， 时，有1012,()121x8，12()fxf现取正整数 ，满足 ，令 ， ；mba()ibaizm1,2.对任意 ，存在 ，使得(,)xjz，1jxz()()jjfxfzf，1j1ma()iiz即得 在 上是有界的；()fx,b同理 在 上也是有界的；g()下面证明，若 在区间 上有界，且都一致连续，则 在区间 上一致连续。,fxgI ()fxgI设 ，满足 ， ;0M(),()xMI那么由 得一致连续性得到，(),fx对于任意 ，存在 ，使得当 ， 时，有0,xyI，()f()gy从而()()fxgfy()()fxgyfy()()fxy，2M即得 在 上一致连续。()fgI1. 设 在 上一致连续， 在 上连续，且 ，fx,ax,alim0xfx证明： 在 上一致连续 .证明：设 ，Ffx则 在 上连续，x,a9由 存在，limxF可知 在 上一致连续，,a又 在 上一致连续，f所以 在 上一致连续.xfFx,a3、设 在 上连续可微， 收敛，且 在 上一致连续，f),a)(limxff),a试证必有 .0(lixf证明 由 在 上一致连续，得，对 ， ，当 ，),aI 0Ix21,且 时，便有 ；|21x12|()|fxf由 收敛， ，)(limfxli)nn由微分中值定理，存在 ，使得 ，1(,n 1()()()nfffn于是有 .li()0nf对上述 ，存在 ，当 时，便有 ；*Nn|()|nf取 ，对任意 ，必存在正整数 ，使得 ，MMxNm)1(,mx，故得 .|()|()|()|2mfxfffli()0xf4、设 且 存在， 在 上有界，2,Calix()f,a试证成立 .li()0xf5、用定积分的定义证明：若 在 上连续，且存在 上的连续可微函数 ，)(xf,ba,ba)(xF使得 ，则 在a, b上可积，且,),(xfF.)(Fbdba证明：对区间 的任意分割 ： ，,bxxan11010任取 ， ，记 ， ；,1iiixn,21iiixinix1ma)(；存在 ，使得 ，iiniff)(),(1,1iiix )(1iiii FF， ；iixf)()()(11iiniFabF iinixf)(再由 在 上一致连续，得，对 ，当 时，f, 0,有 ， ；从而 ，abfii|)(| ni,21 iiini xfaFbf |)(|)(),(| 1即得函数 在 上可积，且 。f, )()(bFdxfba6、用积分的定义， （1）计算： ；（2）计算 .babaxd0,2解.（1） ，提示： ， ，仿照 4 题的证明过程，可具体可算3ba)(xf31)(F出使得 成立的点 ； )() 11iiii FxF 2112)(iiii x（2） ，提示： ， 。1ab2fx)(定理 9 若 在 上连续,则 在 上必可积.)(xfba)(f,ba证明:由 在 上连续，得 在 上一致连续，,x对任意给定 ，由一致连续性，必存在 ，使得对任意的 ，只要00,bax，就有 .取定 的一个分割 ,使 ,由|xabxff|)(| ,bIITn21T最大、最小值定理,可取 ,使 ,从而kkI, )()(kkxfmxfM. n1n1n1k a(根据定理 6 , 在 上可积.)xf,ba定理 设 在 上连续。对区间 的任意分割 ： ，g, ,ba bxxn110任取 ， ， ，记 ， ；,1iix1in2iiixiima)(11成立 。dxgfxgfbaiini )()(lm10)( 证明 因为 在 上连续，所以 在 上可积，)(xf,ba ,ba于是；dxgfgfbaiini )()(l10)( 再由 在 上连续，得 在 上有界， 在 上一致连续，,ba,ba进而成立，iini xgf)(lm10)( 0)(1iinxgf故结果得证。1. 证明：（1）若 在 上连续可导，且 都收敛，f,a,aafxdfx则有 ； （2）设 在 上连续，且 收敛，lim()0xf),)(若 在 上一致连续，则必有 .f, 0(limxf（1）提示：由 及条件，得 存在，又 收敛，得dxfafAA)()( )(liAfdxfa)(.（2）证明 由 在 上一致连续，得，对 ， ，0)(lifA ),aI 0当 ，且 时，便有 ；Ix21, |21x|)(|21xff由于 收敛，则有 ，由积分平均值定理，存在dfa)( 0)(lim)1(dxn，使得 ，于是有 ，,nn ffn 0)(limnnf对上述 ，存在 ，当 时，便有 ；0*N|f取 ，对任意 ，必存在正整数 ，使得 ，NMMxN)1(,x，故得 .2|)(|)()|)(| mmfffxf 0)(lifx例 7.设 在 上可导，且 ；,a(0,|2,)f a12若