八种经典线性规划例题2012

1线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ， 并 作 出 可 行 域 ， 进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ， 除 此 之 外 ， 还 有 以 下 六 类 常 见 题 型 。一 、 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 （ ）2xyA、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y 0， 将l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A例 2. 在约束条件 下，当 时，目标函数 的最大值的变化范围是（ 4x2ys05s3y2x3z）A. 6，15 B. 7，15 C. 6，8 D. 7，8解：由 则由题意知 A（0，2） ，B（ ， ） ，C（0，s） ，D（0，4） 。4s2yx42ysx s4-2（1）当 时可行域是四边形 OABC，此时， ；s3 8z7（2）当 时可行域是 ，此时， 。54ODmax由以上可知，正确答案为 D。二 、 求 可 行 域 的 面 积xyO 22x=2y =2x + y =2BA2例 2、 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 2603xy（ ）A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 ， 选 B三 、 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 3、 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （ ）A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个解 ： |x| |y| 2 等 价 于2(0,),()xyxy作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整 点 个 数 为 13 个 ， 选D四 、 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围例 4、 已知平面区域 D 由以 A（1，3） 、B（5，2） 、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域 D 内有无穷多个点（x，y）可使目标函数 取得最小值，则 m=（ ）myxzA. B. C. 1 D. 421解：由 A（1，3） 、B（5，2） 、C（3，1）的坐标位置知， 所ABC在的区域在第一象限，故 。当 时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当 时，0y,x 0m由 z=x+my 得 ，它表示的直线的斜率为 。mzy m1xyOx + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=32x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCM y =23（1）若 ，则要使 取得最小值，必须使 最小，此时需 ，即 m=1；0mmyxzmz 13km1AC（2）若 m0，则要使 取得最小值，必须使 最大，此时需 与,2,5B即m0 矛盾。综上可知，m=1。点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决问题的能力。五 、 求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值例 6、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则 z=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别2043xy是 （ ）A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，455解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 点 （ x， y） 到 原 点 的距 离 的 平 方 ， 故 最 大 值 为 点 A（ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的平 方 ， 即 |AO|2=13， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0的 距 离 的 平 方 ， 即 为 ， 选 C45六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 7、 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0） 和 （ 1,1） ， 则 m 的 取 值 范围 是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ -3,3）解 ： |2x y m| 3 等 价 于 230xym由 右 图 可 知 ,故 0 m 3， 选 C例 8. 已知变量 x，y 满足约束条件 。若目标函数 （其中 ）仅2y-x4,yx1 yaxz0a在点（3，1）处取得最大值，则 a 的取值范围为_。O2x y = 0y2x y + 3 = 02x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA4解：由已知变量满足约束条件 ， 。在坐标系中画出可行域，如图为四边4yx12yx形 ABCD，其中 A（3，1） ， ， 。目标函数 （其中 ）可转化为kADBaz0a表示斜率为 的直线系中的截距的大小，若仅在点 A 处取得最大值，则斜率应小于z,axya，即 ，所以 a 的取值范围为（1， ）kABa七比值问题当目标函数形如 yzxb时,可把 z 看作是动点 (,)Pxy与定点 (,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。例 8 已知变量 x， y 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）.x y 2 0，x 1，x y 7 0， ) yx（A） ，6 （B） （， 6，