大学概率论试题

一、填空题1设事件 都不发生的概率为 0.3，且 ，则 中至少有一个,AB()0.8PAB,A不发生的概率为_0.9_.解： ()()1(P1()P0.80.3P.1()()().9ABAB2设 ，那么.4,7（1）若 互不相容，则 _0.3_;,（2）若 相互独立，则 _0.5_.()P解：（1） ()()(PB0.74.3ABA（由已知 ）（2） ()()PB.().0()PB10.6.32P互不相容：意为 A 发生，B 一定不发生相互独立：意为两者没有交集，但 A、B 可同时发生3设 是任意两个事件，则 _., ()()AB解： ()()()PPAB()(0.AB4从 0,1,2,9 中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率为_.解：设 取 4 个数能排成一个四位偶数，则 4510()1()2CPA5有 5 条线段，其长度分别为 1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取的 3 条线段能拼成三角形的概率为_.解：设 能拼成三角形，则A35()10C6袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为_.解 1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为 .25解 2：设 乙取到黄球，则A11093024()CPA或 .01932()545P7设事件 两两独立，且 ，,ABC1,()()2ABCPBC，则 _1/4_.()9/16P()P解： ()()()AP23().216()0A或 ，由 .4P141()P1()48在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为_.解：设 两数之和小于 6/5，两数分别为 ，由几何概率如图A,xy发生 0x1y652()()1SPA阴正 79假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为_.解： 取到 等品，ii312A223()()0.31(|) 6PPA10设事件 满足： ，则,B|,()B_.()P解： ()()()|)PAPA1()()PBA11393B（因为 ）()(/)PAA.59B11某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为_，第三次才取得正品的概率为_.解：设 第 次取到正品， 则 或iA1,23i36()105PA01y1yyx653123123123123()()()()PAPAAP65464645098098123().12三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球，1 个白球；第二个箱子中有 3 个黑球，3 个白球；第三个箱子中有 3 个黑球，5 个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为_；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为_.解：设 取到第 箱 ， 取出的是一个白球iAi1,23B31 53()()|)()68120iiPBPA222|3(|)()B13设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 ， 发生 不发生的概率与A1/9AB发生 不发生的概率相等，则 _.BA()P解：由 知()(P()B即 故 ，从而 ，由B()P()P题意：，所以21()()(9A1()3故 .23PA（由 独立 与 ， 与 ， 与 均独立）,BB14设在一次试验中，事件 发生的概率为 . 现进行 次独立试验，则 至少发生ApnA一次的概率为_，而事件 至多发生一次的概率为_.解：设 至少发生一次 ()1),P至多发生一次 C1()nnCp15设离散型随机变量 的分布律为 ，则X()0,23)2AXk_, _.A(3)P解：30 1()1245345kAK6760()7XP16设 ，若 ，则 _.,3,BpY(1/9X(1)PY解： (2,)XBp22()(1)0,1kkPXCp3Y33 3.Y0222 5(1)()()()9P p249pp1.33()(0)()()27Y17设 ，且 ，则 _，XP1XP1X_.2(03)解：122(0)!e02()()1!PXe22031PX18设连续型随机变量 的分布函数为0,0,()sin21,xFxAx则 _， _.|6PX解： 为连续函数，()Fx22lim()li()xxFF.1sin1A.1(|)()()sin6662PXX19设随机变量 的概率密度为 2,0()0,xefx则 _， 的分布函数 _.AXF解： 222001()()xxxfxdAedeed 201 124xA.4A2222000()41(),0(),xxxuxfdeedeF 20设随机变量 的概率密度为X2,()0.xxf其 他现对 进行三次独立重复观察，用 表示事件 出现的次数，则Y(1/2)X_.(2)PY解： ，其中(3,)Bp12200()4Pxd213964C21设随机变量 服从 上均匀分布，其中 .X,aa（1）若 ，则 _；(1)/3P（2）若 ，则 _；20.7（3）若 ，则 _.|(|1)解： ,()0xafxa其 它（1） 11()3.322PXda（2） 5().70.744axa（3） |(|)(|1)(|1)PX1()2.2PXd22设 ，且关于 的方程 有实根的概率为 ，则(,Ny0y/2_.解： 有实根20y 1144X.1()()(042PXF23已知某种电子元件的寿命 （以小时计）服从参数为 的指数分布. 某台1/0电子仪器内装有 5 只这种元件，这 5 只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作 1000 小时以上的概率为_.解： 仪器正常工作时间，则Y0()xef15(0)(010)PYX)(PX5(11010()xed5PY24设随机变量 的概率密度为X,0,132,3,6()90,.xfx若若其 他若 使得 ，则 的取值范围是_.k()2/3PXkk解： 1632(9Kfxdxd16)393k的取值范围为 .1,25设随机变量 服从 上均匀分布，则随机变量 在 内的密度函X(02) 2YX(0,4)数为 _.()Yfy解： (,)0xfx其 它2(|)0()()0Y PXyFyPy()0XXFy1122()()04() 4XXYfyf yfyF 当 在（0，4）内时 .2()4Yfy26设 服从参数为 1 的指数分布，则 的分布函数Xmin(,2)X_.()YFyf(x)1/36310解 1： ()(min,2)1(min,2)YFyPXyPXy(,y0)10 2XyXFey 解 2：设 的分布函数为 ，2 的分布函数为 ，则()XFx2()z1,()0;xXeF20,()1;z()YXyy,102,.ye27设二维随机变量 在由 和 所形成的区域 上服()XY1/,0,1xy2xeD从均匀分布，则 关于 的边缘密度在 处的值为_.,解：2 211(0)lneeSdx阴(,yDfy其 他()(,)Xfxfd120,2xyxe其 它 .或 120()4xfd28设随机变量 相互独立且都服从区间 上的均匀分布，则,XY0,1_.(1/)PXY解： 0,1(xf其 它 ,()0Yyf其 它,1,)()XYxfxyfy其 它1()(,)228SPfxdS阴 阴Dx1yxyo e21()4Xf1xy0 1 2y29设随机变量 相互独立，且 ，12,nX (1,)01iXBp，则 _.1,2in nii解： (,)iBp1(,)nii30设随机变量 相互独立，且有相同的概率分布 ，123X(1)iPXp，记(0),iPqiq121, ,Y当 取 偶 数当 取 奇 数232, ,X当 取 偶 数当 取 奇 数则 的概率分布为_.1Z解： 01Ppq121223()(,)(,1)YPXX310,0,0X1232()pqpq独 立(0)()1PZ31设 服从泊松分布. （1）若 ，则 _；（2）若21PXe2EX，则 _.21EX解： ()0,!kKe 0（1） 21()11!Pee2.22()DXEX2246EX（2） 0(4)30,3(1)Pe32设 ，且 ，则 _.,Bnp,1DP解： 242Xqpn04134(1)(0)(1)()()6PPC33设 ，且 ，则 _； _.,Uab2,/3EDab解： abX221()()423baDXbaab34设随机变量 的概率密度为 ，则21(),xfAex_， _， _.AE解：22 (1)(1)12xdxAed2(1)12xdeA， .1EXD35设 表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则的数学期望 _.22解： (0,.4)10.440.62BnpDXnpq2.68EX36设一次试验成功的概率为 ，现进行 100 次独立重复试验，当 _时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.解： 2110()10(0)25Dnpqpp， 有最大值为 5.2X37设 服从参数为 的指数分布，且 ，则 _.2()PXe2EX解： 10()xeF(1)1()Fe.2，,4EXD221()4EXD38设随机变量 的概率密度为,()0,0xabf ab其 他且 ，则 _， _.2EXa解： 22211()()baxfxd 423421()ba baba 22()解（1） （2）联立方程有： .1,3ab39设随机变量 同分布，其概率密度为,XY20/,() 0,xf其 他若 ，则 _.(21/ECC解：132200xXxdEY21()()YE1232C40一批产品的次品率为 0.1，从中任取 5 件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为_，均方差为_.解：设 表示所取产品的次品数，则 .X(,01)XB，50.1,4EnpDnpq45301DX41某盒中有 2 个白球和 3 个黑球，10 个人依次摸球，每人摸出 2 个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则 10 个人总共摸到白球数的数学期望为_.解：设 表示第 个人模到白球的个数， 表示 10 个人总共摸到白球数，则iXi10ii012360iP81201iEXi42有 3 个箱子，第 个箱子中有 个白球， 个黑球 .今从每个箱子中i4i(1,23)i都任取一球，以 表示取出的 3 个球中白球个数，则X_， _.ED解：0126644P3(0)X1231236()444PX1236()4 326184EX.2598EX2235()8D43设二维离散型随机变量 的分布列为(,)Y(,)1,0)(,0),1.4.2YPab若 ， _， _8ab解： 23EXb10.01a44设 独立，且均服从 ，若 ，则,Y,5N 2(1)(1)DXaYEaY_， _.|a解： .2(1)(1)()0DXEXY， .0E0a令 .2, 1ZYZY()N22012| .zzedxed45设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且已知 ，则X(1)EX_.解： 22(1)(3)3EEX22,()PD.22310146设随机变量 ，记,XU1, ,0,kkY则 _.12Cov(,)解： ,240Xxf其 它212 1(,)(,1)()4PYPXPXdx112 0(,0)(,1)(0)4PYPXPXdx22.12(,)(,)0134112ji pp10EY2341121212cov()YEY1.4847设 是两个随机变量，且 ，则,X,/,1/3XYDX_.(3)D解： (3)cov(,3)96cov(,)D.9911664424XY48设 ，则,2,0.XYE_.2()X解： ，11Ecov(,)0.6XYD， 常数cov(,)0.62.Ycov(,)C2()21,DXD4,4.23.2(1)1()4EXEY49设随机变量 的数学期望为 ，方差为 ，则由切比雪夫不等式知2_.|P解： .2(|2)4X50设随机变量 独立同分布，且 110, 0,1,iiEXD，令 ，则 _.1,20i ii102()ii解 1： ()iEXEXY1Y2110()()0i iDXX1 90ii iX229()()2 29()1i i iEXXE01029()()10i ii解 2：设 为总体 的样本，则 为样本方差，于是10, 102()iiSX，即ESDX12()109.iiEX51设 是总体 的样本， 是样本均值，则当 _12,n (,4Nn时，有 .()0解：52设 是来自 01 分布： 的样本，12,nX (1),(0)1PXpp则 _， _， _.ED2ES解： 1,()niiiiEpq 211i inDp 22221()ni iiSXEX1()pnp2().n53设总体 为来自 的一个样本，则 _，1),nXPX EX_.D解： ()iiEDEDn54设总体 为 的一个样本，则12,nUab_， _.EXX解：2(), 1baX224, ()0()()EnX2abEX2()1baDXn55设总体 为来自 的一个样本，设226(0,N X，则当 _时，123456()YC2().CY解： 0E2123456(3iXXD122()()1DX，1230,)3N且独立456()(,X23C56设 是总体 的样本， 是样本均值， 是样本方差，若116, 2(,)NX2S，则 _.()0.95PXaSa解： 0.5(16)(1).9XPaPtS查 分布表t0.541).7.438t57设 是正态总体 的样本，记129,，62789(),()6YYX92217 )/,iiSXZS则 _.Z解：设总体 则2(,)N221(,)(,)63YNYN且 独立， ，而 .12Y10,)2S故 .1212()()/ZtS58设总体 为样本，则 的一个矩估计为12,(0),nXUx _.解： 11, , 0232EDEXxd22 2() 3EXa其中 21niia59设总体 的方差为 1，根据来自 的容量为 100 的样本，测得样本均值为 5，则XX的数学期望的置信度近似为 0.95 的置信区间为_.解： 不是正态总体，应用中心极限定理1 10(,)0.5niiEUN/2 .25()0.5/.9796使 .|(|).XPu的置信区间为EX11.6,.(480,5196)060设由来自总体 的容量为 9 的简单随机样本其样本均值为 ，则2(,)N 5x的置信度为 0.95 的置信区间是_.解： /20.55,0.9,1.5.,nu故置信限为： /206163.83置信区间为(4.,.8)二、单项选择题1以 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为（ C ）.A A（A） “甲种产品滞销，乙种产品畅销 ”；（B） “甲、乙两种产品均畅销 ”；（C） “甲种产品滞销或乙种产品畅销 ”；（D） “甲种产品滞销”.解：设 甲种产品畅销 ， 乙种产品滞销 ，CABC甲种产品滞销或乙种产品畅销. 选 C.A2设 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ B ）.,B（A） ;()（B） ;（C） ;AB（D） .()()()C解： A 对.()BB 不对AA对 选 B.()()().BC同理 D 也对.3若当事件 同时发生时，事件 必发生，则（ B ）., C（A） ；()()1PC（B） ；A（C） ；B（D） ().PCAB解： ()()()1PABPAPB选 B.4设 ，则 等于（ B ）.(),),abc（A） ； （B） ； （C） ； （D） .bc(1)abba解： ()PA c选 B.5设 是两个事件，若 ，则（ D ）., )0P（A） 互不相容； （B） 是不可能事件；A（C） 或 ； （D） 未必是不可能事件.()0()解： . 选 D.PBA6设事件 满足 ，则下列结论中肯定正确的是（ D ）.,（A） 互不相容； （B） 相容；,（C） ； （D ） .()()()(PA解： 相容 A 不对.,AB 错.,，而 不一定为 0 C 错.()0BP()B. 选 D.()PA7设 ，则（ ）01,(|)(|)1（A） 互不相容； （B） 互为对立；, ,（C） 不独立； （D） 相互独立.B解： ()()