奥数 六年级 千份讲义 375 第9讲 比例百分数

学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 1 of 11小升初名校真题专项测试-比例百分数测试时间：15 分钟 姓名_ 测试成绩_1、有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运 12 吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运 12 吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的 2 倍。这两堆煤共重（ ）吨。 （06 年三帆中学入学测试题）【解】从甲堆运 12 吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重 122=24 吨，这样乙堆运 12 吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是 24+24=48 吨，而甲堆煤就是乙堆煤的 2 倍，说明相差 1 份，所以现在甲重482=96 吨，总共重量为 483=144 吨。2、有两桶水：一桶 8 升，一桶 13 升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是 5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是 升。 （06 年实验中学入学测试题）【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。这样原来两桶水差 13-8=5 升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差 5 升，所以后来一桶为 5（7-5）5=12.5，所以加入水量为 4.5 升。3、将 75的酒精溶液 32 克稀释成浓度为 40的稀酒精，需加入水多少克？【解】稀释时加入的水溶液浓度为 0（如果需要加入干物质，浓度为 100），标注数值的方法见下图所以 3287284、甲、乙两种商品，成本共 2200 元，甲商品按 20%的利润定价，乙商品按 15%的利润定价，后来都按定价的 90%打折出售，结果仍获利 131 元，甲商品的成本是_元. （06 年清华附中入学测试题）设方程：设甲成本为 X 元，则乙为 2200-X 元。根据条件我们可以求出列出方程：90%（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)-2200=131解得 X=1200。5、100 千克刚采下的鲜蘑菇含水量为 99%，稍微晾晒后，含水量下降到 98%，那么这 100 千克的蘑菇现在还有多少千克呢？ （05 年 101 中学入学题）【解】转化成浓度问题相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100（1-99%）=（1-98%）X，解得 X=50。方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98的干蘑菇加水后得到 99的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，10 千克的标注应该是含水量为 99的重量。将 100 千克按 11 分配，如下图：98% 100%1% 1%99%(100 千克)浓度差之比 11重量比 11所以蒸发了 1001/2=50 升水。6、一堆围棋子黑白两种颜色，拿走 15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为 2:1；再拿走 45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为 1:5，开始时黑棋子，求和白棋子各有多少枚？ （03 年人大附中入学测试题）【解】第二次拿走 45 枚黑棋，黑子与白子的个数之比由 2:1（=10：5）变为 1:5，而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的 10 份变成现在的 1 份，减少了 9 份。这样原来黑棋=45910=50，白棋=4595+15=40。学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 2 of 117、实验小学有科技、美术、体育三个课外活动小组，其中科技小组的人数是三个小组人数的 ，美术小组53与体育小组人数的比是 3：5，体育小组比美术小组多 12 人.三个课外活动小组各多少人?（06 年三帆中学入学测试题）【解】设美术小组为 3 份，这样体育小组就是 5 份，所以科技小组就是（3+5）23=12 份。体育小组比美术小组多 12 人，所以 1 份就是 12（5-3）=6 人，所以各小组人数分别为 18、30、72。8、小松读一本书，已读与未读的页数之比是 3：4，后来天又读了 33 页，已读与未读的页数之比变为5：3，这本书共有_页. （06 年西城某重点中学入学测试题）【解】抓住关键的不变量，这样我们发现书本的总页数是不变的，所以原来为 3+4=7 份。后来为 5+3=8份，统一单位，所以7、8=56，即设整书为 5 份，这样读过：总共的比由原来的 3：7（=24：56）变为5：8（=35：56），而这是又读了 33 页引起的，所以 1 份=33（35-24）=3 页，所以书总共有 356=168 页。【解二】33（ - ）=168（页）534学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 3 of 11第九讲 小升初专项训练-比例百分数引言：这一讲是六年级中的一个重要内容，同学们在以前也接触过不少的题型，因此，我们把和这一讲有关的知识分为分数百分数，比和比例，经济浓度这三个部分来给大家讲解。【典型题目解析】：【例 1】（）学校男生人数占 45，会游泳的学生占 54。男生中会游泳的占 72，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？【解 1】在全体学生中，不会游泳的女生占 33.4.在全体学生中，会游泳的男生占 457232.4.在会游泳的学生中，男生占 32.454100 60在全体学生中，不会游泳的女生占（100-45）-54（1-60）33.4.【解 2】画一个图非常清楚。【例 2】、（）有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占 28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有余下的棋子中，白子将占 32%。那么，共有棋子多少堆？ 方法一：思 路：拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。 解： 拿出前：因为每堆棋子数一样多且白子都占 28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7； 拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：18-（7+18）/2=14：11，即拿出黑子数是这对白子数的 18/7-11/14=25/14； 在总数中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的 17/8； 黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的 25/56； 所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4 堆。 答：共有棋子 4 堆。方法二：思 路：把比例问题处理成浓度问题解：将每一堆白子占 28%的棋子看成是浓度 28%的溶液，那么本题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液 50 克中，需要加入多少克浓度 28%的溶液，才能使浓度变为 32%。原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=650=300 克，所以，共有棋子=（300+100）/100=4 堆。答：共有棋子 4 堆。学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 4 of 11方法三：思 路：有若干堆棋子，每堆一样多，且白子都占 28%。则白子占总数的 28%。从某一堆中拿走一半，且拿走的都是黑子，则白子数没有变。拿走黑子后，在所有棋子中，白子将占 32%。说明剩下的棋子总数与原来棋子总数的比是 28%：32%=7：8。现有棋子为 7 份，原有棋子为 8份。比原来少 1 份。这 1 份是原来一堆的一半。则原来一堆是 2 份。则原有 8 份是 8/2=4 堆。解：28%：32%=7：8， 8-7=11/（1/2）=2，8/2=4。答：共有棋子 4 堆。【例 3】、（）有一堆糖果，其中奶糖占 45%，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25%。那么，这堆糖果中有奶糖多少块？方法一：思 路：总量数量是变化的，不能作为单位“1”但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。解：奶糖占 45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原来水果糖是奶糖的 11/9；放入 16 块水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后来水果糖是奶糖的 3 倍；3-11/9=16/9，即放入的 16 块水果糖占奶糖的 16/9，所以，奶糖数=16/(16/9)=9 块。答：这堆糖果中有奶糖 9 块。方法二：思 路：放入水果糖后，奶糖的数量是不变的，我们要抓住这个不变量来当做处理的中心，原来奶糖为 45%，就是占 9/20，后来为 25%，占总数的 1/4，因为奶糖是不变的所以，所以把奶糖所占的分子处理成 9，即 1/4=9/36，这样总数就由原来的 20 份变成 36 份。增加了 16 份=16 块糖，所以原来奶糖 9 份=9 块解：45%=9/20，25%=1/4=9/36，36-20=16，1616=1，19=9（块）答：这堆糖果中有奶糖 9 块。总 结：这个题中，我们要抓住的就是关键的总量是不变的，然后牢牢抓住其他变量的变化跟这个量什么关系，这种处理方法在比例问题中要学会熟练处理。 方法三：原来奶糖占 45%，放入 16 块水果糖后，奶糖占 25%。奶糖数没有变。则原来糖的总数与放入水果糖后糖的总数比是 25%：45%=5：9。原来糖的总数是 5 份，现在糖的总数是 9 份。比原来多 9-5=4 份，即 16 块。则每份是 16/4=4 块。原来糖的总数是 45=20 块。奶糖是 2045%=9块。解：25%：45%=5：9，9-5=4，16/4=4，45=20，2045%=9。答：这堆糖果中有奶糖 9 块。【例 4】、（）某商品按原定价出售，每件利润为成本的 25%。后来按原定价的 90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了 1.5 倍。问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？ 方法一：特殊值法思 路：比例问题中可以大胆设未知量，到最后一般都会消去，但特殊值法可以减少我们的计算量。解：假设降价前每天销售 100 件，每件原定价 100 元，则 原来每天利润: 100（1-4/5）100=2000 元， 学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 5 of 11降价后每天利润：100（90%-4/5）100（1+1.5）=2500 元， 每天利润增加=（2500-2000）/2000=1/4=25%。 答：后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之二十五。 方法二：思 路：原定价利润为成本的 25%，则原定价是成本的 1+25%=125%=5/4。则原定价的 90%是成本的 125%90%=9/8。利润是成本的 9/8-1=1/8。按原定价的 90%出售，每天的售出件数比降价前增加了 1.5 倍。即是降价前售出件数的 1+1.5=2.5 倍。则后来每天的利润与原来每天的利润比是 1/82.5：25%1=5：4。则后来利润增加了（5-4）/4=25%。解：（1+25%）90%=9/8，9/8-1=1/8，1/8（1+1.5）=5/16，5/16：25%=5：4，（5-4）/4=25%。答：后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了 25%【例 5】、（）某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20%；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50%；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？ 解： 1、甲、乙两校获一等奖的人数相等，且甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6， 甲乙两校获奖总人数的比=6：5；甲校占两校获奖总数的比=6/（6+5）=6/11，乙校=5/11； 2、甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50%，占两校获奖总人数的比=（6/11）50%=3/11； 3、甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20%，且甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍，所以，甲校获二等奖的人数占总数的比=（4.5/5.5）20%=9/55；所以，甲校获一等奖的人数占两校获奖总数的比=6/11-3/11-9/55=6/55，占该校总数的比=（6/55）（11/6）=1/5=20%，那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比=20%6/5=24%。答：乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于 24%。【例 6】（）某校四年级原有 2 个班，现在要重新编为 3 个班，将原一班的 1/3 与原二班的 1/4组成新一班，将原一班的 1/4 与原二班的 1/3 组成新二班，余下的 30 人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多 10%，那么原一班有多少人？ 【解】：原一班的 1/3 与原二班的 1/4 + 原一班的 1/4 与原二班的 1/3=7/12 总人数，余下 1-7/12=5/12，是 30 人，所以总人数=30/（5/12）=72 人；72-30=42 人，新一班与新二班的人数和为 42 人，新一班的人数比新二班的人数多 10%，新一班人数：新二班人数=11：10，即原一班的（1/3-1/4）=1/12 比原二班的 1/12 多 2 人，原一班比原二班共多 122=24 人，所以，原一班有 24+（72-24）/2=48 人。答：原一班有 48 人。【例 7】、（）幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为 2:1，那么大班有女生多少名？ 方法一：鸡兔同笼学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 6 of 11思 路：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。解：假设 18 名女生全部是大班，则 大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有 30 人， 实际男生有 32 人，32-30=2，相差 2 个人； 中班男生数：女生数=2:1=6：3， 以 3 个中班女生换 3 个大班女生，每换一组可增加 1 个男生，需要换 2 组； 所以，大班女生有 18-32=12 个。 答：大班有女生 12 名。方法二：份数思 路 ：可以把中班女生数看作“1”份，那么中班男生数为 2 份从而大班中的男生数为 322 份，大班里的女生人数是 181 份根据题意有(322 份)：(181 份)=5：3，只要求出 1 份的数目即可。解：设中班女生数看作“1”1 份，(32 2 份)：(181 份)=5：3，求出一份是 6 人所以大班的女生则有 186=12 人答：大班有女生 12 名。方法三：二元一次方程解：设大班中男生数为 5x，则大班里的女生数是 3x；同时设中班有 2y 个男生，那么中班女生有 y人根据题意，列出方程组如下：)2(1835yx由(2)式可知 y=183x，代入(1)式中得5x+2(183x)=32解出 x=4则 3x=34=12(名)总 结：二元一次方程的运用可以说基本上所有题目都可以解，但对学生的要求比较高，而且速度比较慢，建议知识作为一种辅助的方法。【例 8】（）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是 43.结果录取 91 人，其中男生与女生人数之比是 85.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 34.问报考的共有多少人？【解 1】报考人数是 119 人，录取学生中男生：91 =56 人，女：91-56=35（人）.85先将未录取的人数之比 3：4 变成 4：4 ，又有 56 42（人）334未录取男生 4 3= 12（人），女生 16（人）。报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。【解 2】学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 7 of 11(56+3x)：（35+4x）=4：3 得：X=4未录取男生 4 3= 12（人），女生 16（人）。报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。【例 9】、（）甲乙两包糖的重量比是 4:1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为 7:5。那么两包糖重的总和是多少？ 方法一：思 路：从甲包取出部分放入乙包，总重量不变。这样我们就可以将总重量看作单位“1”，从拿出 10克前后所占总重量的比例变化求得答案。 解：在 10 克糖未取出前，甲包糖占总重量的 ；54从甲包取出 10 克放入乙包后，甲包糖占总重量的 ，这就是说比原来减少了127 = .54127603而这正好是 10 克糖对应的份数，这也就是说 10 克糖占总重量的 6013故总重量是 10 = = (克) 130答：两包糖重的总和是 46 克。2总 结：这个题是很典型的比例问题，我们要抓住的就是关键的总量是不变的，这样一来我们只要找出变的量跟总量是什么关系就能求出答案。方法二：方程解：设甲包糖重量是 4x(克)，乙重量是 x(克)，则两包糖重量的总和是 5x(克)根据题意列出方程(4x-10)：(x+10)=7：57(x+10)=5(4x10)7x+70=20x5013x=120x= 13205x= =46 (克) 6答：两包糖重的总和是 46 克。132学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 8 of 11总 结：已知两个量的比是 4：1，一般设比数，设其中一个量是 4x，另一个量是 x，这是解决问题时常用的一种方法【例 10】（）小明到商店买红、黑两种笔共 66 支。红笔每支定价 5 元，黑笔每支定价 9 元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价 85付钱，黑笔按定价 80付钱，如果他付的钱比按定价少付了 18，那么他买了红笔多少支？（ 北京市第 14 届迎春杯数学竞赛初赛试题）【解】浓度倒三角的妙用：红笔按 85优惠，黑笔按 80优惠，结果少付 18，相当于按 82优惠，可按浓度问题进行配比。与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这 66支笔了。【例 11】（）制鞋厂生产的皮鞋按质量共分 10 个档次，生产最低档次（即第 1 档次）的皮鞋每双利润为 24 元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加 6 元。最低档次的皮鞋每天可生产 180 双，提高一个档次每天将少生产 9 双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？【解】第 9 档次；7776 元。由题意，生产第 n（n=1 ，2，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为 1899n=9（21n）双，每双利润为 186n=6（3n ）（元），所以每天获利润6（3n）9 （21n）=54（3n）（21n）元。两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（3+n）与（21n）的和是24，而 n=9 时，（3n ）与（21n ）都等于 12，所以每天生产第 9 档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是 54（39）（219）7776（元）。【课外知识】勾股定理勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理“，在外国称为“毕达哥拉斯定理“。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。“什么是“勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾“，下半部分称为“股“。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为 3（短边）和 4（长边）时，径隅（就是弦）则为 5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五“。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理“。学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 9 of 11毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理“，以后就流传开了。关于勾股定理的发现，周髀算经上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。“此数“指的是“勾三股四弦五“，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍路史后记十二注中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。“这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。小升初专项模拟测试题-比例百分数测试题1、（）圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 71.5 元。问圆珠笔的单价是每支多少元？方法一：思 路：价格比是 4：3，但笔的数目不一样，但我们仍可以找出他们的比例关系，再处理成份数问题。解：因为圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，那么 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格比就是420：321=80：63，20 支圆珠笔的用了：71.580/（80+63）=40 元，每支圆珠笔的价格=40/20=2 元。答：圆珠笔的单价是每支 2 元。总 结：小升初中，常把份数，百分数，比例问题处理成份数问题，一定要有这种思维。方法二：方程思 路：比例问题中设 x 是最好蛇比数，这样可以避免分数的出现。解：设圆珠笔的价格为 4x，则铅笔的价格就是 3x204x+213x=71.5解得：x=0.5，所以圆珠笔的价格是 2 元。方法三：思 路：圆珠笔与铅笔的的价格比是 4：3。则买一个铅笔的钱可以买 3/4 个圆珠笔。买 21 支铅笔的钱可以买圆珠笔 213/4=63/4 个。买 20 支圆珠笔和 21 支铅笔与买 20+63/4=143/4 支圆珠笔的钱相等。即 71.5 元。解：71.5/(20+21/43)=2。圆珠笔的单价是每支 2 元。总 结：把几个有比例关系的变量处理成一个相关量，这是比例问题中难度相当高的方法，如果掌握好，可以大大提高解题的速度2、（）某中学，上年度高中男、女生共 290 人.这一年度高中男生增加 4，女生增加 5，共增加 13 人.本年度该校有男、女生各多少人？【解】男生 156 人，女生 147 人。如果女生也是增加 4，这样增加的人数是 290411.6（人）.比 13 人少 1.4 人.因此上年度女生人数是 1.4（5- 4）140（人）.本年度女生有140（15） 147（人）.3、（）在下图中 AB，AC 的长度是 15，BC 的长度是 9.把 BC 折过去与 AC 重合，B 点落在 E 点上，求三角形 ADE 与三角形 ABC 面积之比.学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第九讲 教师版 Page 10 of 11【解】14. 三角形 ADE 与三角形 EDC 面积之比是 （15-9）9.4、（）李师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买进苹果若干个，以 1 元钱 2 个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以 2 元钱 7 个苹果的价格将剩下的苹果卖出不过最后他不仅赚了24 元钱，还剩下了 1 个苹果，那么他买了多少个苹果？思路：经济问题都是和成本相关的，所以我们建立在成本之上，这样我们只要分别考虑前后的利润即可。解：1 元钱 3 个苹果，也就是一个苹果 1/3 元，1 元钱 2 个苹果，也就是一个苹果 1/2 元，卖出一半后，苹果降价只能以 2 元钱 7 个苹果的价格卖出，也就是每个 2/7 元，大家很容易算得两种销售方法有赚有亏。在前一半的每个苹果可算得是挣 1/21/3=1/6 元，而后一半的每个苹果可算得是亏了 1/32/7=1/21。因为赚与亏的正好是一半对一半，因此我们可以假设后一半也全卖完了，即剩下的 1 个苹果统一按亏的价卖得 2/7 元，就会共赚取 24 又 2/7 元钱。接着可假设从前一半中取一个苹果与后一半中取一个苹果，“一一对应”捆绑销售，这样每卖出一捆可赚得 1/61/21=5/42 元，现在可以用“包含除”了，24 又 2/7 元里包含多少个 5/42 就说明有多少双苹果。可列式为（24+2/7）（1/21/3）（1/32/7）2=408 个5、（）一个分数 ,把它的分母减去 2，即 ,约分以后等于 ；如果原来的分数的分母加上 9，ba ba-2 34即 ,约分以后等于 。那么， 。（第 11 届迎春杯试题）。ba+9 57 ba思路：分母减去 2，与分母加上 9 这两种变化，分子都没变，也就是前项没变。第一种情况也就是变化以后分子与分母的比是 3：4，第二种情况也就是变化后分子与分母的比是 5：7，现在最关键的是把前项统一起来，一般统一某项就取某项的最小公倍数，在这题中我们把 3 与 5 统一为 15：3：4（35）：（45）15：205：7（53）：（73）15：21，可以发现当分子统一后，分母两次变化的差为 1 份，而这个 1 份就是减 2