山东高考数学专题复习：立体几何专题文

高考数学专题复习：立体几何专题（文）一、山东省高考试题分析高考试卷中，立体几何把考查的立足点放在空间图形上，突出对空间概念和空间想象能力的考查。立体几何的基础是对点、线、面的位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体。高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、两个平面的位置的关系以及几何体的表面积、体积的计算的考查，以便检测考生立体几何的知识水平和能力。高考试题中题型分布及分值比例（以下是近三年考题、考点、分值分布统计表）卷型 题 序 分 值 考查的题型及知识点09 年 4、9、18 5+5+12=22 几何体的三视图、面面垂直的判定、线面平行的判定10 年 4、20 5+12=17 线面垂直与平行的判定与性质、几何体的体积11 年 11、19 5+12=17 几何体的三视图、线线垂直的证明、线面平行的证明从上表可以看出：立体几何均分在 20 分左右，高考的命题坚持以稳定大局，控制难度，贯彻“说明”要求，命题的稳定主要表现在：考查的重点及难点稳定，高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定，几何体的表面积、体积的计算作为考查的重点；同时在创新方面做了一些有益的尝试。1充分、必要条件与点线面位置关系的综合高考对简单逻辑用语中的充分、必要条件的考查，主要通过与其它部分的综合问题出现，而与立体几何相综合的问题最为普遍，通过这种形式主要考查对充分、必要条件的理解和立体几何部分的几何体、点线面的位置关系等严密性问题（09 年文 9） 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】：由平面与平面垂直的判定定理知，如果 m 为平面 内的一条直线， m，则 ；反过来则不一定所以“ ”是“ ”的必要不充分条件答案：B（10 年文 4）在空间，下列命题正确的是（ ）（A）平行直线的平行投影重合 （ B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一 平面的两条直线平行【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案 D.本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。正（主）视图俯视图【点评】：此类题目主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念解决此类问题的关键是弄清楚点线面之间的位置关系的判定此类小题是很容易出错的题目，解答时要特别注意2三视图与几何体的面积、体积的综合空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，从近三年高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏易题随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加（09 年文 4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. 23 B. 23 C. 23 D. 234【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 ,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 ,四棱锥的底面边长为 2，高为 3，所以体积为 2133所以该几何体的体积为 2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:C【点评】本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出几何体的体积. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （11 年文 11）右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图其中真命题的个数是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【点评】：A.此题考查学生的空间想象能力，无论是命题形式与考查深度令人欣赏。应该说 2007 年以来，立体几何删去了传统的球面距离、球的切接问题、空间距离等明显降低了立体几何的难度。但是，空间想象能力为考试说明的第三能力。因此，此题非常好，难度适当，形式自然，目的明确。3几何体与线、面位置关系的综合2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 以空间几何体为载体考查直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直的判定与性质定理，能用判定定理和性质定理证明线线平行或垂直、线面平行或垂直、面面平行或垂直，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题（09 年文 18）如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B C D 1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E、E 分别是棱 AD、AA 1的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE 1/平面 FCC 1；（2） 证明:平面 D1AC平面 BB1C1C.证明:（1）在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，取 A1B1 的中点 F1，连接 A1D，C 1F1，CF 1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CD A1F1，A 1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=/ 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 1的中点，所以 EE1/A1D，所以 CF1/EE1，又因为 平面 FCC ， CF平面 FCC ，所以直线 EE /平面 FCC 1.（2）连接 AC,在直棱柱中，CC 1平面 ABCD,AC 平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,F 是棱 AB 的中点 ,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形，60BC,ACF 为等腰三角形，且 30ACF所以 ACBC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而 平面 D1AC,所以平面 D1AC平面 BB1C1C.【点评】：本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.（10 年文 20）在如图所示的几何体中，四边形 ABC是正方形，MA平面 B， /PMA， E、 G、 F分别为 M、 P、PC的中点，且 2D.（I）求证：平面 F平面 ；（II）求三棱锥 与四棱锥 PD的体积之比.【解析】 （I） 证明：由已知 MA 平面 ABCD，PD MA ，EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以 PD 平面 ABCD，又 BC平面 ABCD，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 PD BC又 PDDC=D，因此 BC平面 PDC在PBC 中，因为 G 平分为 PC 的中点，所以 GFBC，因此 GF平面 PDC又 GF 平面 EFG，所以 平面 EFG平面 PDC.（ ）解：因为 PD平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形，不妨设 MA=1，则 PD=AD=2，AB CD所以 V p-ABCD=1/3S 正方形 ABCD，PD=8/3由于 DA面 MAB 的距离所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离，三棱锥 Vp-MAB=1/31/2122=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。【点评】：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。二、2012 年高考预测分析透析高考试题，可以看出本专题的热点为：（1） 直线和平面平行、垂直的判定与性质；（2） 两个平面平行、垂直的判定与性质；（3） 几何体的表面积、体积，注重与三视图的交汇，以及割补思想、等价转化思想在求体积方面的应用；（4） 棱柱、棱锥、球的概念和性质，棱柱、棱锥的复现率较高，在迎考中应继续关注；（5） 寻找截面形状，多面体的外切球、内接球，计数问题，折叠问题也值得我们注意。从近几年高考来看，一般以 12 个客观题来考查线面关系的判定、表面积与体积、空间几何体的性质与识图等，以 1 个解答题来考查线面关系的证明在高考中属于中档题目而三视图作为新课标的新增内容，在近三年高考中，有 2 次在此知识点命题，主要考查三视图和直观图，特别是通过三视图来确定原图形的相关量预计今后高考中，在命题规律呈现如下： （一）客观题仍以几何体的的三视图与表面积与体积的计算、空间线面关系与命题、充要条件的结合为主预测 1 空间几何体的三视图与其表面积、体积的求解相结合仍会是 2012 年高考的命题热点。 1、 若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体积是 32、已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号） 矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体预测 2 空间线面关系的判断与命题、充要条件相结合会是今后高考命题的一个趋势1、平面 平面 的一个充分条件是（ ）A. 存在一条直线 ll， ， B. 存在一个平面 /， ， C. 存在一个平面 ， ， D. 存在一条直线 ll， ，2、已知三条不重合的直线 m、 n、 l， 两个不重合的平面 ,，有下列命题若 /,/nm则； 若 /,/则且 mll；若 /,则 ； 若 nn则,；其中正确的命题个数是A1 B2 C3 D4（二）解答题考查线面关系的位置关系和几何体表面积、体积预测 3 解答题仍会以常规多面体（棱柱和棱锥）为载体，重点考查线面关系的逻辑推理与几何体体积的求解、及空间想象能力和逻辑推理能力解决数学问题的意识和能力.1、如图所示，矩形 ABCD 中，AD平面 ABE，AE=EB=BC=2，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE （1）求证：AE平面 BCE；（2）求证：AE平面 BFD；（3）求三棱锥 C-BGF 的体积。ba正视图俯视图侧视图aG 2、已知四棱锥 PABCD的三视图如下图所示， E是侧棱 PC上的动点.(1) 求四棱锥 的体积；(2) 是否不论点 E在何位置，都有 BA？证明你的结论；3、 如图，在直角梯形 ABCP 中，AP/BC，AP AB，AB=BC 21AP，D 是 AP 的中点，E，F，G 分别为 PC、PD、CB 的中点，将 PCD沿 CD 折起，使得 平面 ABCD,（）求证：AP/平面 EFG；（）求三棱椎 ABD的体积.侧侧侧侧侧侧侧侧侧 12 1121A BCDPEA D FG CBEP B G CDFEAP20侧侧侧 侧侧侧侧侧侧808080三、立体几何专题练习1、某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（ ）A. 240cm B. 2408cm C. 216(7) D. 162、设 x、 y、 z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： 、 、 均为直线； x、 y是直线， z是平面； z是直线， x、 y是平面； 、 、 均为平面。其中使“ z且 x y”为真命题的是 （ ）A B C D 3、一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（ ）A 12 B 2 C 24 D 44、已知 ,是两个不同的平面， m，n 是两条不同的直线，给出下列命题：若 ， 则m；若 /,/, 则，n； 如果 与是 异 面 直 线 ， 那 么、 n相交；若 ./,/, nm且， 则， 且 其中正确的命题是 （ ） A B C D5、如图，在直三棱柱 1AC中， 12AB， 90A.（1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2） 若 P是 1A的中点，求四棱锥 1BCAP的体积.6、如图，四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，PAD 为等腰直角三角形，APD=90，面 PAD面 ABCD，且 AB=1，AD=2，E、F 分别为 PC 和 BD 的中点（1）证明：EF面 PAD；（2）证明：面 PDC面 PAD；（3）求四棱锥 PABCD 的体积【参考答案】：1D，2C，3A，4D5、解：3主 视 图 左 视 图俯 视 图 22A1A 1CCCA1A主 视 图 左 视 图俯 视 图1C221C1A1B22 2C21BB1C（2）解：如图所示. 由 11BCA，11BC，则 1面 1A.所以，四棱锥AP的体积为1 121233BCAPCAPVS .610126、 （1）连接 AC，ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点，AC 必经过 F 1 分又 E 是 PC 的中点，所以，EFAP 2 分E