文数弱科辅导练习—三角函数

11解：(1)f(x) cosxsinx，F(x) f(x)f(x)f 2(x)cos 2xsin 2x12sinxcosx1sin2x cos2 x1 sin(2x )，24函数 F(x)的值域为1 ，1 ，2 2最小正周期为 T .22(2)f(x)2f(x) sinxcos x2cosx2sinx ，cosx 3sinxtanx ， .13 1 sin2xcos2x sinxcosx 2sin2x cos2xcos2x sinxcosx 2tan2x 11 tanx11923 1162.解：(1)由三角函数定义得 cos ，sin ，则原式 35 45 2sincos 2cos21 sincos2cos 22( )2 .2cossin cossin coscos 35 1825(2) 0， ， ，OPQ2 2sinsin( )cos ，coscos( )sin .2 35 2 45sin()sin coscos sin ( ) .4545 35 35 7253已知向量 a( ， )，b(cosx， sinx)，x(0， )12 32 2(1)若 ab，求 sinx 和 cos2x 的值；(2)若 ab2cos( x)(k Z)，求 tan(x )的值12k 136 512解：(1)ab， sinx cosx.，于是 sinx cosx，又 sin2xcos 2x1，12 32 3cos2x ，又x(0 ， )，sinx .14 2 1 cos2x 1 14 32cos2x 2cos2x 1 1 .12 12(2)ab cosx sinxcos sinxsin cosxsin(x )，12 32 6 6 6而 2cos(x )2cos(2k x 2)12k 136 622cos(x )(kZ)，于是 sin(x )2cos(x )，即 tan(x )2.6 6 6 6tan(x )tan( x ) 3.512 6 4tanx 6 tan41 tanx 6tan4 2 11 214解：(1)f(x) a bcos 2 sin cos cosx sinx sin(x ) ，x x2 x2 12 12 12 22 4 12令 2k x 2k ，kZ，则 2k x2k ，kZ，2 4 32 4 54f(x)的单调递减区间为2 k ，2k ，kZ.4 54函数 f(x)在区间 ， 上的简图如下：4 74(2)证明：法一：由(1) 知，f(x ) sin(x ) ，22 4 12f(x) cos(x )，x ， ，x ， ，22 4 2 3 4 4 712f(x) cos(x ) .22 4 22 32函数 f(x)的图象在区间 ， 上不存在与直线 y x 平行的切 线2 3 325解：f(x) 2cosx(sinx cosx )1sin2 xcos2x sin(2x )24由于函数 f(x)的最小正周期为 T ，故 1，即函数 f(x) sin(2x )22 2 4(1)令 2x k (kZ)，得 x (kZ)，4 2 k2 38即为函数 f(x)图象的对称轴方程令 2k2x 2k(kZ)，2 432得 k x k(k Z)，即函数 f(x)的单调递减区间是 k， k(kZ)38 78 38 78(2)g(x)f(x) f( x) sin(2x ) sin2( x ) 2 sin(2x )，4 2 4 2 4 4 2 4由于 x ， ，则 02x ，8 34 454故当 2x 即 x 时函数 g(x)取得最大值 2 ，当 2x 即 x 时函数 g(x)取得最小值2.4 2 38 2 4 54 3436 解：(1)由题意化简可知， )2sin()(xAxfTTA23154,2将点 代入 得：)(P)si(xy1)3si(所以 ，6Zk即函数的表达式为 )(6sin2)(Rxxf(2)由 解得： .zkx 31k令 ，解得：4312k2519由于 ，所以Z5所以函数 在区间 上的对称轴的方程为 .)(xf,2 316x7.解：（） 5)2(1cos2A又 ,0A54in2， 35cos bACBA，所以 5bc，所以 BC的面 积为： 2541sinAbc（）由（）知 ，而 1c，所以所以 325os22 ba8. 【解】（I） 为锐角，AB、 10in,siAB 2 253cos1i,coin5102()ssin .ABAB 044（II）由（I）知 ， 34C2sin由 得siniiabcAB，即5102,5ab又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ab 1 2,5c1 解：（1）P= 。 （2） 。96185364P2解：（1）依题意知第三组的的 频率为 ，又因 为第三组的频数为 12， 本次活动的参51!评作品数为 （件）05（2）根据频率分布直方图，可以看出第四 组上交的作品数量最多，共有 （件）。18463260（3）第四组的获奖率是 第六组上交的作品数量为 （件）。,95180 14第六组的获奖率为 ，显然第六组的获奖率较高。6323 解：解法一：甲组成绩的众数为 90 分，乙 组成绩的众数为 70 分，从成 绩的众数比较看，甲组成绩好些。解法二： 甲组成绩较乙组成绩好。51722乙甲 ss4解：（1）共有 6（2）有 3 种。 （3）概率是 15、解：整个正方形木板的面积 ，即基本事件所占的区域 总面 积为 。2165cm记“投中大圆内” 为事件 A，“投中小 圆与中圆形成的圆环”为 事件 B，“投中大圆之外”为事件 C，则事件 A 所占区域面积为 ；事件 B 所占区域面积为 ；事件 C 所占区域2263Acm 222面积为 。(5)C5由几何概型的概率公式，得(1) ；(2) ；9()64AP3()64BP(3) 。9()164CP评析：对于（3）的求解，也可以直接 应用对立事件的性质 求解。()1()PA6解：（）总体平均数为4 分1(578910)7.5（）设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”A从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有： ， ， ， ， ， ， ， ，(56)， 7， (58)， 9， (510)， 67， (8)， 69， ， ， ， ， ， 共 15 个基本结果(610)， 78， (9)， 710， (89)， 10， ，事件 包括的基本结果有： ， ， ， ， ， ， 共有 7 个基本结果A5， ， ()， 9， (10)， ， ()，所以所求的概率为 12 分()1P7、解:（）第二组的频率为：q=1-（0.2+0.2+0.15+0.1+0.05）=0.32 分第一组的人数为 ，3 分；第一组的频率为 0.2，所以： 4 分20=.6 201.n第二组人数为 1000q=10000.3=300 ，所以： 6 分195.630p第四组人数 a=10000.15=150，所以：a=1500.4=607 分（）因为 年龄段的“环保族”与 年龄段的“环保族”人数比值为 60:30=2:1，采用分层抽样法抽40,54,取 6 人， 年龄段的有 4 人， 年龄段的有 2 人；9 分50设 年龄段的 4 人为 a、b、c、d， 年龄段的 2 人为 m、n，则选取 2 人作为领队的有（a,b）、(a,c)、, ,(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n)，共 15 种；其中恰有 1 人年龄在 的有(a,m)、( a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共 8 种11 分；所以选取的 2 名领队中405恰有 1 人年龄在 的概率为 12 分,48158、解：() 由于 实数对 的所有取 值为： , , , , , ,()(1)(2)1()6, , ,共 9 种.所以直线 共有 9 条 6 分(21)(2)l()设直线 与圆 没有公共点的事件为 。:lyaxb21yA直线 与圆 没有公共点， ，即 ，8 分:l2 21ba21a满 足条件的 实数对 的所有取值为： , ,共 2 对. 即满足条件的直线有 2 条，(,)ab(1) .11 分 所以直线 与圆 没有公共点的概率为 。12 分2()9pA:lyxb1y91.已知数列 是一个等差数列，且 ， .（I）求 的通项 和前 项和 ；（II）设 ，n2a5nannS52nnac,证明数列 是等比数列.2ncbb解：（）设 的公差为 ，由已知条件， ， nad145da解得 ， 132所以 ()5nadn214S（） ，2n(25)nnacn b （常数） 数列 是等比数列. 12nnb2.已知公差不为 0 的等差数列 的首项 且 成等比数列。na1(),R124,a（）求数列 的通项公式；na（）对 ，试比较 与 的大小。N2321.,naa17（）解：设等差数列a n的公差 为 d,由 214(),a得 。从而211()(3addd因为 ,所以 ，故通 项公式 ，0n.na（）解：记 因为 ，2.,nnTa2a21()11(.).().22nnnnaa所以，当 a0 时， ；当 a0 时， 。1nT1nT3.已知等差数列 满足： ， . 的前 n 项和为 .n375726nanS（）求 及 ；（）令 （ ）,求数列 的前 n 项和 .naS21nbaNnbnT解：（）设等差数列 的公差为 d，因 为 ， ，所以有n375726a，解得 ，12706ad13,2a所以 ； = = 。3)n+n（ Sn(-1)2+n（）由（）知 ，所以 bn= = = ，21na2a2)（ 14()1(-)n+所以 = = ，nT(-+-)43+1(-4n(+1)即数列 的前 n 项和 = 。bT4()n4.已知正项等差数列 的前 项和为 ，若nanS，且 成等比数列.312S123,a8（）求 的通项公式；na（）记 的前 项和为 ，求 .3bnT解：（） ，即 ， ，所以 ，12S123a2124a又 ， ， 成等比数列， a3 ，即 ， 21()22()()d解得， 或 （舍去），d4 ，故 ； 12a3na（）法 1： ，21()n nb ， 2347233nT 得， 4 11(5)(32)n nn 得，23111111()5(2)(32)33623nnnn 2515644nnnnT法 2： ，123ab设 ， 2311n nA则 ， 43 得，23113n nn ()31nn9 ，931()42nnA 931561()()4234313n nnnT 5.各项均为正数的数列 ，满足 ， （ ）na121na*N（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 2nnS解：（1）因为 ，21na所以数列 是首项为 1，公差 为 2 的等差数列2n所以 )(a因为 ，所以 0nn*N（2）由（1）知， ，所以 21a21na所以 ， 315n nnS则 ， 24123得， 234112n n1n11242nn 13n所以 2nnS106.已知数列 的前 项和是 ，且nanS1()2naN（）求数列 的通项公式；（）设 ，令 ，求 .113log()nnbS123nTb1nbnT7.已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列na0dnnS5702a72（1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，求 证： nSnT1368n（1）解：因为数列 是等差数列，a所以 ， 1nd12nSad11依题意，有 即 5270,.Sa1211507,62.adad解得 ， 所以数列 的通项公式为 （ ）164dn4n*N（2）证明：由（1）可得 2nS所以 214n 142n所以 1231n nTSSL11445442nn1122n 384因为 ，所以 102nTn38nT因为 ，所以数列 是递 增数列143nn所以 16nT所以