初等函数的连续性

连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性小结 思考题 作业初等函数的连续性第一章 函数与极限 1定理 1如 ,则由于一、四则运算的连续性也在点 x0连续 ;在 其定义域内连续 .连续函数的运算与初等函数的连续性在点 x0连续 ;在点 x0连续 .2区间套定理 Def 3.10 设一组实数的闭区间序列 满足：则称 构成一个区间套 . Thm 3.16 设 是一个区间套，则必存在唯一的实数 使得 包含在所有的区间里，即 证明： P75 3的 零点 .定理 (方程实根的存在定理 )使得零点定理几何意义 : 如图所示 .二、介值定理闭区间上连续函数的性质证明：用区间套定理P75-764定理 (介值定理 )使得证零点定理闭区间上连续函数的性质辅助函数5几何意义 :至少有一个交点 .闭区间上连续函数的性质6如 ,结论 : 反三角函数在其 定义域 内皆连续定理 2故同理 ,二、反函数与复合函数的连续性单调增加 且连续 ,单调的连续函数 必有单调的连续反函数 .连续函数的运算与初等函数的连续性也是单调增加且连续 .单调减少且连续 .单调增加且连续 .单调减少且连续 .证明：使用介值定理 P767此定理对计算某些极限是很方便的 .定理 3 设函数 是由函数 与函数复合而成 ,而函数 连续 ,则证连续函数的运算与初等函数的连续性8将上两步合起来 :连续函数的运算与初等函数的连续性9意义例解可交换次序 ;由所以2. 变量代换 的理论依据 . 1. 在定理的条件下 ,定理 3则有连续函数的运算与初等函数的连续性10例解 这里 不连续 ,但 所以定理 3则有连续函数的运算与初等函数的连续性11例解同理可得连续函数的运算与初等函数的连续性12定理 4 设函数 是由函数与函数 复合而成 , 若函数连续 , 而函数连续 , 则复合而成也连续 .是由连续函数因此复合而成 例连续函数的运算与初等函数的连续性13三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的 ;三、初等函数的连续性单调且连续 ; 证明： P74指数函数对数函数单调且连续 ;(均在其定义域内连续 )(4) 幂函数连续 ; 讨论 不同值 .在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的 .连续函数的运算与初等函数的连续性14定义区间是指包含在定义域内的区间 .基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在 定义区间 内连续1. 初等函数仅在其定义区间内连续 , 如 ,这些 孤立点的邻域内没有定义 .注 在其定义域内不一定连续 ;连续函数的运算与初等函数的连续性15例例解解2. 初等函数求极限的方法注 代入法 .连续函数的运算与初等函数的连续性16连续函数的运算与初等函数的连续性解17四、小结连续函数的和差积商的连续性 ;复合函数的连续性 :初等函数的连续性 :求极限的又一种方法 .两个定理 ; 两点意义 .反函数的连续性 ;定义区间与定义域的区别 ;连续函数的运算与初等函数的连续性18思考题 1连续函数的运算与初等函数的连续性如果函数 f (x)、 g(x)至少有一个在点 x0不那么 , f (x) + g(x)在该点是否连续 ?连续 ,思考题 2 (是非题 )处有定义 ,则19解答连续函数的运算与初等函数的连续性思考题 1如果函数 f (x)、 g(x)至少有一个在点 x0不那么 , f (x) + g(x)在该点是否连续 ?连续 ,(1) 若两个函数 中 只有一个在点 x0不连续 ,则 f (x) + g(x)在点 x0必不连续 .用 反证法证之 :不妨设在点 x0, 并假设f (x) + g(x)在点 x0连续 , 则由 连续函数的运算性质 有 : 在点 x0连续 ,与已知矛盾 . 故 f (x) + g(x)在点 x0不连续 .f (x)连续 , g(x)不连续 ;20解答连续函数的运算与初等函数的连续性思考题 1如果函数 f (x)、 g(x)至少有一个在点 x0不连续 ,(2) 若 f (x)、 g(x)在点 x0均不连续 ,则在 f (x) + g(x)在点 x0可能连续 ,那么 , f (x) + g(x)在该点是否连续 ?也可能不连续 .如 :在 x = 0处均不连续 , 在 x = 0处在 x = 0处连续 .在 x = 0处均不连续 ,在 x = 0处 亦不连续 . 21思考题 2 (是非题 )处有定义 ,则连续函数的运算与初等函数的连续性非故但22连续函数的运算与初等函数的连续性思考题 2 (是非题 )处有定义 ,则所以 , 不