实验设计与数据处理第四部分

第五章 均匀设计均匀设计的基本思想l 例 5.1 羧甲基纤维素钠（ CMC）是一种代替淀粉的化学原料，今为寻找 CMC的最佳生产条件，考察有关的三个因素：碱化时间，烧碱浓度和醚化时间，它们的变化范围选择为烧碱时间（ A）： 120 180min；烧碱浓度（ B）： 2529；醚化时间 （ C）： 90150min；表 5.1 因素水平表1 2 3 4 5碱化 时间 /min 120 135 150 165 180烧 碱 浓 度 /（ ） 25 26 27 28 29醚 化 时间 /min 90 105 120 135 150因素 水平（ 1） 全面试验法 ，就是让 A， B， C的每一个水平彼此都有组合在一起做试验的机会。对例 6.1来说全面试验共需要 125次试验。（ 2） 正交试验 ，例 6.1是一个三因素五水平的试验，故选正交表 L25(56)。l 正交表 L25(56)从全面试验的 125个试验点中挑选了 25个点，这些点有什么特点呢？（ 1）对任两个因素而言，这 25次试验都是全面试验，这样可以保持全面试验的一些优点，并使得试验有可比性。（ 2）任一因素各水平试验的重复数都是相等的。（ 3）对绝大部分正交表而言，各列是完全等价的。l 概括说来，对每个因素和每个水平都一视同仁，挑选的试验点在其试验范围内具有 “ 均匀分散、整齐可比 ” 的特性。均匀分散： 使试验点均衡地分布在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性。整齐可比： 使试验结果的分析十分方便，可以估计各因素对指标的影响，找出影响事物变化的主要矛盾。l 正交试验次数是水平数平方的整数倍数。 1978年，由于导弹弹道设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于 10，而试验总数又不超过 50，显然不能应用正交设计，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一种新的试验设计，即所谓的 “ 均匀设计 ” ，将这一方法用于导弹设计，取得了成效。 均匀设计与正交设计法的不同： 均匀设计法不再考虑数据 “整齐可比 ”性，只考虑试验点在试验范围内充分 “均匀分散 ”。 均匀设计表U5(54)均匀设计表试验次数 因素的水平数因素数l 如 U6(66)表示要做 6次试验，每个因素有 6个水平，最多可安排六个因素。1 2 3 4 5 61 1 3 2 6 4 52 2 6 4 5 1 33 3 2 6 4 5 14 4 5 1 3 2 65 5 1 3 2 6 46 6 4 5 1 3 2表 6.2 U6(66)试验号列号均匀设计的优点：l 大幅度地减少试验次数，缩短试验周期，从而大量节约人工和费用。如：对于 4因素 5水平试验，如果进行全面试验需做 625次试验，利用正交表 L25（ 56） 安排试验至少要做 25次试验，但用均匀设计表 U5（ 54）安排试验，只需做 5次试验即可。 l 均匀设计表的特点：l 每个因素每个水平只做一次试验。l 任两个因素的试验画在平面的格子点上，每行每列恰有一个试验点。均匀设计表任两列之间不一定是平等的。l 均匀设计表的试验次数与水平数相等。l 因此使用均匀设计表一般不宜随意排列，而应当选择均匀性搭配得比较好的列。l 每个均匀设计表都附有一个使用表，在安排试验时，应当遵照使用表的规定，才能达到较好的效果。表 5.3 U5(54)1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 15 5 5 5 5列号试验号因素数 列号2 1 23 1 2 44 1 2 3 4表 5.4 U5(54)的使用表l 试验表之间的关系。附录只列了试验次数和水平数为奇数的表， U5（ 54）， U7（ 76）， U9（ 96）， ， U31（3130），没有试验次数和水平数为偶数的表。将奇数的表划去最后一行就得到了比它次数少一的偶数表，而使用表不变。例如，将 U7（ 76），划去最后一行得 U6（ 66），使用表不变。l 当水平数增加时试验数按水平数的增加量在增加。如当水平数从九水平增加到十水平时，试验数也从九增加到十。例 5.1的试验如用均匀设计表该如何安排呢？l 显然它可以用 U5（ 54）来安排，由使用表可得应选用 1，2， 4三列，将三个因素分别放在这三列的表头上，然后将表中抽象的水平换成因素具体的水平，得表 6.5的试验方案。A/min B/（ 0） 3 C/min1 120 26 3 1352 135 28 1 1203 150 25 4 1054 165 27 2 905 180 29 5 150表 5.5 U5(54)试验方案列号试验号l 第 3列是空列，此列不能像正交表那样可以安排交互作用，也可以对试验误差进行估计，只能空着不用。试验方案设计中的几个问题：1. 增加试验次数问题l 三个因素只做五次试验，在这么大试验范围内做这么几次试验是少了一点，试验点过少会影响试验的精度，所得结论可靠性也差。为提高试验的精度，可采用拟水平法，选用 U10(1010)的使用表安排试验方案。即原来每个因素都是五水平，要扩展成十水平，就将每个水平重复一次，比如 A1A5是原来的五个水平， A6A10重复原来的五个水平，于是得到表 6.6的试验方案。A/min B/（ 0） C/min1 1（ 120） 5（ 29） 7（ 105）2 2（ 135） 10（ 29） 3（ 120）3 3（ 150） 4（ 28） 10（ 150）4 4（ 165） 9（ 28） 6（ 90）5 5（ 180） 3（ 27） 2（ 105）6 6（ 120） 8（ 27） 9（ 135）7 7（ 135） 2（ 26） 5（ 150）8 8（ 150） 7（ 26） 1（ 90）9 9（ 165） 1（ 25） 8（ 120）10 10（ 180） 6（ 25） 4（ 135）表 5.6 U10(1010)拟水平试验方案试验号列号2. 因素的水平细分问题l 为提高试验的可靠性，可以每个因素在同一试验范围内分成 10个水平，这样试验次数虽仍为 10次，但试验点分布得更均匀。可是在实际中有时做不到。本例，因素 B（烧碱浓度）一般不能按半度来划分水平，只能将其分为 5个水平，而因素 A（碱化时间， min）和因素 C（醚化时间， min）可分为 10个水平，仍可选用 U10(1010)表进行均匀试验设计。3. 因素水平顺序平滑问题l 在一些试验，特别是化学试验中，所有因素的高档水平相遇，反应太剧烈，甚至会爆炸；所有低档水平相遇，反应太慢，甚至不起反应而得不到试验结果。l 而在均匀设计表中，水平数为奇数的表最后一次试验都是所有的高档水平相遇，为了避免这个情况，可将水平次序作适当的调整。l 根据均匀设计表制作的原理，水平不能像正交试验的水平那样任意改变次序，而只能按照原来的顺序进行平滑，也就是说，将原来的最后一水平与第一个水平接起来组成一个圈，然后从任一处开始定为第一个水平，按圈子的原方向（或相反方向）排第二个水平，第三个水平， 。图图 7-4表示表示 U10(1010)第第 1列因素水平的平滑。列因素水平的平滑。均匀设计的分析l 均匀设计由于没有 “整齐可比 ”性，处理试验数据就稍微复杂一些，常要借助于回归分析的工具。黄金分割法 -0.618法1974年，数学家华罗庚 (左 3)在农村推广优选法A C B如图，什么是线段的黄金分割点？则称点 C为线段 AB的黄金分割点。不难得出 :x2+x-1=0设线段 AC=x,为了计算方便 ,不妨设 AB=1.线段 AC与 AB的比值是多少 ?解 之 :x0.618点 C把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，若 AC2=BCAB ， 课题 :黄金分割法 -0.618法把试验点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法 ,就是黄金分割法 . 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料 ,使炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在 1000g到 2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量。最朴素的想法是 :以 1g为间隔 ,从 1001开始 ,直到 1999,把1000g到 2000g的所有情况都做一遍实验 ,一定可以得到最优值 .用黄金分割法的操作步骤如下 :用一张纸条表示 1000-2000g,以 1000为起点标出刻度 ,找出它的黄金分割点 x1作为第一试点 ;对折纸条 ,找出 x1的对称点 x2作为第二试点 ;用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加入量 :1000 20001382 1618x2 x1比较两次实验结果 ,如果 x2是好点 ,则将纸条沿 1618处剪断 ,去掉 1618以上的部分 ,保留 1618以下的部分 .重复上面的步骤 ,找出 x2的对称点 x3作为第三试点.1000 16181236 1382x3 x2如果第二试点仍是好点 ,则剪掉 1236以下的部分 ,在留下的部分内找出 x2的对称点 x4作为第四试点 .1236 16181382 1472x2 x4x3 x1重复上面的步骤 ,最佳点被限