概率论与数理统计试卷及答案

模拟试题一、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| ) = 0.85, 则 P(A| ) = P( AB) = AB2、设事件 A 与 B 独立，A 与 B 都不发生的概率为 ，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且19A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量 X 的密度函数 为： , 则常数 A= , 分布函,0()1/420,xAe数 F(x)= , 概率 ；.5PX5、设随机变量 X B(2，p)、Y B(1，p)，若 ，则 p = ，若 X 与 Y 独1/9立，则 Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设 且 X 与 Y 相互独立，则 D(2X-3Y)= , (20,.1)(4),XBYPCOV(2X-3Y, X)= ；7、设 是总体 的简单随机样本，则当 时，125, (0,1)Nk；122345()3kXYt8、设总体 为未知参数， 为其样本， 为样本均值，(0,)U12,nX 1niiX则 的矩估计量为： 。9、设样本 来自正态总体 ，计 算得样本观察值 ，求参数 a 的置信129,X (,1.4)Na0x度为 95%的置信区间： ；、计算题（35 分）1、 (12 分) 设连续 型随机变量 X 的密度函数为：1,02()2x其 它求：1） ；2） 的密度函数 ；3） ；|PX2YX()Yy(21)EX2、(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4,|,0,(,)0yxxy与1、 求边缘密度函数 ；,XY2、 问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3、 计算 Z = X + Y 的密度函数 ；()Zz3、（11 分）设总体 X 的概率密度函数 为：1,0(),xeX1,X2,Xn 是取自总体 X 的简单随机样本。1、求参数 的极大似然估计量 ；2、验证估计量 是否是参数 的无偏估计量。、应用题（20 分）1、（10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、 轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘 飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到， 试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2（10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 0.5，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取 5 份水样， 测定该有害物质含量，得如下数据：0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定( )？0.5附表：模拟试题二一、填空题(45 分，每空 3 分)1设 则 ()0.5,(|0.6,()0.1,PABPAB()P()PAB2设 三事件相互独立，且 ，若 ，则 ,CC3764C()。3设一批产品有 12 件，其中 2 件次品， 10 件正品，现从这批产品中任取 3 件，若用 表示取出X的 3 件产品中的次品件数，则 的分布律为 。X4设连续型随机变量 的分布函数为()arctn(),FxABxR则 ， 的密度函数 。(,)ABX()x5设随机变量 ，则随机变量 的密度函数 2,XU12Y()Yy6设 的分布律分 别为,Y-1 0 1 0 11/4 1/2 1/4 1/2 1/2PP且 ，则 的联合分布律为 。和 XY(,)XY1PXY7设 ，则 ， 。(,)(0,25;36.4Ncov(,)(3)2D8设 是总体 的样本，则当 ， 时，统计量1234(0,)ab服从自由度为 2 的 分布。234()(XabX9设 是总体 的样本，则当常数 时， 是参12,n 2(,)Nak221()niikX数 的无偏估计量。210设由来自总体 容量为 9 的样本，得样本均值 =5，则参数 的置信度为 0.952(,0.)XNaxa的置信区间为 。二、计算题(27 分)1(15 分)设二维随机变量 的联合密度函数 为(,)XY1(),02,(,)80,xyxyy其 它、1、 求 的边缘密度函数 ；XY与 ()XY、2、 判断 是否独立？为什么？与、3、 求 的密度函数 。Z()Zz2(12 分)设总体 的密度函数为X(),()0xe其中 是未知参数， 为总体 的样本，求012,nX X（1）参数 的矩估计量 ； （2） 的极大似然估计量 。2三、应用题与证明题(28 分)1(12 分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品，乙箱中 仅有 3 件正品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中恰有 2件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了 36 位考生的成绩，算得平均成绩 分，标准差 分， 问在显著性水平 下，是否可以认为这次考试全体考生6.5x15s 0.5的平均成绩为 70 分，并给出检验过程。3(8 分)设 ，证 明： 相互独立 。0()1PAB与 (|)(|)PBA附表：0.950.9750.950.9516,16,(3)1.68,(3)1.68,utt.7.(3)2,2t模拟试题三一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1设 若 互斥，则 ；()0.,()0.8,PABAB与()P独立，则 ；若 ，则 。B与 A2在电路中电压超过额定值的概率为 ，在 电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为 ，1p 2p则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；3设随机变量 的密度为 ，则使 成立的常数 X34,0()x与PXaa； ；0.51.P4如果 的联合分布律为(,)YY 1 2 3X 1 1/6 1/9 1/182 1/3 则 应满足的条件是 ，若 独立， ，,01,1/3XY与， 。(3)EXY5设 ，且 则 ， 。(,)XBnp2.4,.,Dnp6设 ，则 服从的分布为 。2Na7测量铝的比重 16 次，得 ， 设测量结果服从正态分布 ，参数.705,.29xs 2(,)Na未知，则铝的比重 的置信度为 95%的置信区间为 。2,二、 （12 分）设连续型随机变量 X 的密度为： ,0()xce（1）求常数 ；c（2）求分布函数 ；()Fx（3）求 的密度1YX()Yy三、 （15 分）设二维连续型随机变量 的联合密度 为(,)X,01,cxyxxy与（1）求常数 ； （2）求 的边缘密度 ；cXY与(),XY（3）问 是否独立？为什么？XY与（4）求 的密度 ； （5）求 。Z()Zz(23)D（2） 参数 的极大似然估计量 ；2五、 （10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比 为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1，当有一台机床需要修理 时，求这台机床是车床的概率。六、 （10 分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布 ，得到的 10 个测定2(,)Na值给出 ，试问可否认为水份含量的方差 ？（ ）0.452,.037xs 20.4.05四、 （11 分）设总体 X 的密度 为 (1),01),xx与其中 是未知参数， 是来自总体 X 的一个样本，求11(,nX、1、 参数 的矩估计量 ；附表： 22220.50.50.50.5(1)3.9,(1).4,(9)3.,(9).7,22220.9750.9750.950.95(1).483,()1.3,(1)8.37,()16.,模拟试题四一、填空题（每题 3 分，共 42 分） 1、设 、 为随机事件， ， ，则 与 中至少有一个不发生的概AB()0.8PB()0.2AB率为 ；当 独立 时，则 B与 ()PA2、椐以往资料表明，一个三口之家患某种 传染病的概率有以下 规律： =与0.6， =0.5， =0.4，那么一个三口之家患 这与与P与与种传染病的概率为 。3、设离散型随机变量 的分布律为： ，则 =_ X,.)210(!3)(kaXPa)1(XP。4、若连续型随机变量 的分布函数为X3,13,arcsin,0)(xxBAxF则常数 ， ，密度函数 AB)(5、已知连续型随机变量 的密度函数为 ，则 X218(),xfxex)14(XE， 。 。2EX21P6、设 ， ，且 与 独立， 则 )= 3,UY)(XY)3(YD。7、设随机变量 相互独立，同服从参数为分布 的指数分布，令X, )0(的相关系数。 则 , 。YV2,VUCOVU,（注： ）6915.0)(,8143.0)(二、计算题（34 分）1、（18 分）设连续型随机变量 的密度函数为)(YX与,01,(,)xyy其 他（1）求边缘密度函数 ；)(,YX（2）判断 与 的独立性； Y（3）计算 ；cov(,)（3）求 的密度函数,maxXZ)(zZ2、（16 分）设随机变量 与 相互独立，且同分布于 。令 。XY)10)(,pB,0XYZ若 为 偶 数， 若 为 奇 数（1）求 的分布律；Z（2）求 的联合分布律；)(Z与（3）问 取何值时 与 独立？为什么？pX三、应用题（24 分）1、 （12 分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是 0.2。若一周 5 个工作日内无故障则可获10 万元；若仅有 1 天故障则仍可获利 5 万元；若仅有两天发生故障可获利 0 万元；若有 3 天或 3 天以上出现故障将亏损 2 万元。求一周内的期望利润。2、 （12 分）将 、 、 三个字母之一输入信道， 输 出为原字母的概率为 0.8，而输出为其它一ABC字母的概率都为 0.1。今将字母 ， ， 之一输入信道，输入 ， ，ABCAB的概率分别为 0.5，0.4，0.1。已知输出为 ，问输入的是 的概率是多少？CABCA（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。答 案（模拟试题一）、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、0.8286 ， 0.988 ；2、 2/3 ；3、 ， ；1426C61!4、 1/2, F(x)= ， ；,021,24xex.51PX0.5342e5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；7、当 时， ；k32122345()(3kXYt8、 的矩估计量为： 。9、 9.216，10.784 ； 、计算题（35 分）1、解 1） 9|2|0.51.6PXPX2） 1()(),02()0,44,XXYyyy其 它3） 5(21)213EX2、解：1） ,02,02()(,)4xX xdyxy 其 它其 它2|11,|(|),|()(,) 40,0yY xyyyxd 其 它其 它2）显然， ，所以 X 与 Y 不独立。 (,)()XY又因为 EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0 ，因此 X 与 Y 不相关。3） 2()(,)1104,04428,Zzxdzzz 其 它其 它3、解 1） 121(,)nii xxnniLxe12l,ln令 20dx解出： X2） E的无偏估计量。 是、应用题（20 分）1 解：设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分别等于3/10，1/5，1/10 和 2/5，事件 B 表示“迟到”，已知概率 分别等于 1/4，1/3，1/2，0 |,12,34iPA则 41)()|iiiB0，11()|9(| 23PA222()|)8(| 3PAB，333()|)6(|B444()|)(| 0由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解： （）， 0:.5Ha1:0.5a拒绝域为： 0.9(4)xts计算 .84,.x， 0.95527()t ts所以，拒绝 ，说明有害物质含量超过了规定。 0H附表：答 案（模拟试题二）一、填空题(45 分，每空 3 分)1 2()0.4,(0.4PBPAB1()4PA3 0 1 2 6/11 9/22 1/22X4 ， (,),)2A2(,)xxR51,0,()2Yyy6 YX 0 1-1011/4 00 1/21/4 034PXY7 1cov(,)12,()982DXY8 ；00ab9 ； 10. 1kn(4.,5.)二、计算题(27 分)1（1）1(),0,2(),0,2) ()440, 0,X Yx y（2）不独立 （3） 21,028()(4),40,Zzz其 它2（1）计算 ()1xEXed根据矩估计思想， EX解出： ； 1（2）似然函数 () )11 ,(,)00,inxnxi iineeLx 其 它其 它显然，用取对数、求导、解方程的步 骤无法得到 的极大似然估计。用分析的方法。因为 ，所以 ，即 (1)x(1)xe11(1),)(,nnLxLx 所以，当 时，使得似然函数达最大。极大似然估 计为 。2(1)1min,)nXX 2三、1解：（1）设 表示“第一次从甲箱中任取 3 件，其中恰有 i 件次品”， （i=0,1,2,3）iA设 表示“ 第二次从乙箱任取一件 为次品” 的事件；B32112313316666()()|04niii CCPP（2） 2()(|)0.ABP2 解： （）， 0:7Ha1:7a拒绝域为： 0.95|36()xts根据条件 ， ，计算并比较6.50.9770314()2.1xts所以，接受 ，可以认为平均成绩为 70 分。 H3(8 分)证明：因为 (|)(|)PBA()()PABPA()1()相互独立 AB与答 案（模拟试题三）一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2 ；1p23 ； 15/16；420.51.PX4 ， 2/9 ， 1/9 ， 17/3 。,/35 6 ， 0.4 。 6 。np2(,)4aN7 (2.6895, 2.7205) 。二、解：（1） 0()11xxdced（2） 0,0()(1,xxtxFted（3）Y 的分布函数 1()22Y yyPXyP1 120, ,0, yxedey 12,()0yYe三、解：（1） ， 10(,)2xcxydyd2（2） ,01),X x与12(),()(,)0,yY dyyx与（3） 不独立； X与（4）/21/,01()(,) 20,zXY zdyzzxz 与（5） 1 12230 0,32ExdEXxd1(),()6YyYydx2 2)18638DXD10,4xEyd 12cov(,)436XYEXY7(23)92cov(,)1YXY四、解：（1） 101(),2EXxd令 ，即 x解得 。 12X（2） 11()(,)(),01,2,.nni iiiLxxn，1l()l()lnii1l(l0iiLx解得 21lniiX五、解：设 =某机床为车床 ， ；1A19()5PA=某机床为钻床， ；2 2=某机床为磨床， ；3 3()1=某机床为刨床， ； 4A45PA=需要修理， ， ， ，B1(|)7B2(|)73(|)7PBA41(|)7则 412()|05iiiP。11(|)9(|)APB六、解： 2201:.4,:0.4H拒绝域为： 2 2/ 1/2 20 0()()()()nS