2.2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征(2) 学案（人教a版必修三）

.2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)【明目标、知重点】1理解样本数据标准差的意义，会计算样本平均数和标准差2体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征(平均数、标准差) 估计总体的基本数字特征【填要点、记疑点】1标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示s .1nx1 x2 x2 x2 xn x22方差标准差的平方 s2 叫做方差s2 (x1 )2 (x2 )2 (xn )2(xn是样本数据，n 是样本容量， 是样本平均数)1n x x x x【探要点、究所然】探究点一 标准差问题 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？思考 1 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？答 经计算得： 甲 (7879549107 4)7，同理可得 乙 7.x110 x思考 2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？答 直观上看，还是有差异的如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中思考 3 对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？答 还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度甲的环数极差1046，乙的环数极差954.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略思考 4 如何用数字去刻画这种分散程度呢？答 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示 .思考 5 所谓“平均距离” ，其含义如何理解？答 假设样本数据是 x1，x 2，x n， 表示这组数据的平均数x i到 的距离是x x|xi |(i1,2， ，n) 于是，样本数据是 x1，x 2，x n到 的“平均距离”是x xS .由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改|x1 x| |x2 x| |xn x|n用如下公式来计算标准差：s .1nx1 x2 x2 x2 xn x2思考 6 标准差的取值范围如何？若 s0 表示怎样的意义？答 从标准差的定义可以看出，标准差 s0，当 s0 时，意味着所有的样本数据等于样本平均数探究点二 方差思考 1 方差的概念是怎样定义的？答 人们有时用标准差的平方 s2方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s 2 (x1 )2(x 2 )2(x n )21n x x x思考 2 对于一个容量为 2 的样本：x 1，x 2(x1x 2)，它们的平均数和标准差如果分别用 和xa 表示，那么 和 a 分别等于什么？x答 (x1x 2)，a (x2x 1)x12 12思考 3 在数轴上， 和 a 有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何x影响？答 和 a 的几何意义如下图所示说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标x准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围思考 4 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的如何求得总体的平均数和标准差呢？答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的例 1 求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？解 甲 (78795491074) 7，同理可得 乙 7.根据标准差的公式，x110 xs 甲 2；1107 72 8 72 4 72同理可得 s 乙 1.095.所以 s 甲 s 乙因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成 绩离散程度小由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定反思与感悟 标准差能够衡量样本数据的稳定性， 标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定跟踪训练 1 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_答案 6.8解析 从茎叶图中求出运动员在 5 次比赛中的分数， 结合方差公式求解依题意知，运动员在 5 次比赛 中的分数依次为 8,9,10,13,15，其平均数 为11.8 9 10 13 155由方差公式得 s2 (811) 2(911) 2(1011) 2(13 11) 2(15 11) 215 (941416)6.8.15探究点三 标准差及方差的应用例 2 画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解 四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是 5.0，标 准差分别是：0.00， 0.82，1.49，2.83.它们有相同的平均数，但它们 有不同的标准差， 说明数据的分散程度是不一 样的反思与感悟 比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及 标准差这两个方面考虑跟踪训练 2 从甲、乙两种玉米中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解 (1) 甲 (25414037221419392142)30， 乙x110 x (2716442744 1640401640) 31， 甲 乙110 x x即乙种玉米的苗长得高(2)由方差公式得：s (2530) 2(4130) 2(4230) 2104.2，同理2甲110s 128.8，2乙s s .2甲 2乙即甲种玉米的苗长得齐答 乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐例 3 甲、乙两人同时生产内径为 25.40 mm 的一种零件为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 20 件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲2546 25.32 25.45 25.39 25.362534 25.42 25.45 25.38 25.422539 25.43 25.39 25.40 25.442540 25.42 25.35 25.41 25.39乙2540 25.43 25.44 25.48 25.482547 25.49 25.49 25.36 25.342533 25.43 25.43 25.32 25.472531 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后 3 位)解 用计算器计算可得甲 25.401， 乙 25.406；s 甲 0.037，s 乙 0.068.x x从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径 标 准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于 s 甲 s 乙 ，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的 稳定程度高得多于是，可以作出判断，甲生产的零件的 质量比乙的高一些反思与感悟 从上述例子我们可以看到，尽管 总体是同一个，但由于样本不同，相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会 发生改变， 这就会影响到我 们对总体情况的估计如果样本的代表性差，那么对总体所作出的估计就会产 生偏差；样本没有代表性时，对总体作出错误估计的可能性就非常大跟踪训练 3 甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8解 甲品种的样本平均数为 10，样本方差为(9.810) 2(9.910) 2(10.110) 2(10 10) 2(10.210) 250.02.乙品种的样本平均数也为 10，样本方差为(9.410) 2(10.310) 2(10.810) 2(9.7 10) 2(9.810) 250.244.因为 0.2440.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定【当堂测、查疑缺】1下列说法正确的是 ( )A在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高答案 B解析 A 中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C 中求和后还需取平均数；D 中方差越大，射击越不平稳，水平越低2将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为 ( )A. B. C36 D.1169 367 677答案 B解析 由题意知 91，解得 x4.所以 s2 (8791)87 94 90 91 90 90 x 917 172(9491) 2(90 91) 2(9191) 2(90 91) 2(94 91) 2(9191) 2 (16910190)17 .3673已知一组数据 x1，x 2，x 3， x4，x 5 的平均数是 2，方差是 ，那么另一组数据x133x12,3x 22,3x 32,3x 42,3x 52 的平均数和方差分别为 ( )A2， B2,1 C4， D4,313 13答案 D解析 因为 2，s 2 ；所以 3 24，S 29s 23，故选 D.x13 X x4某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_答案 (1)7 (2)2解析 (1) (78795491074) 7.x110 7010(2)s2 (77) 2(87) 2(77) 2(97) 2(5 7) 2(47) 2(97) 2(107)1102(77) 2(47) 2