第8章 学案43

学案 43 空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系自主梳理1空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(a 0)，b 与 a 共线的充要条件是_(4)共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x，y )，使得 pxayb，推论的表达式为 x y 或对空间任意一点 O 有，MP MA MB _或 x y z ，其中 xyz_.OP OP OA OB OM (5)空间向量基本定理如果三个向量 e1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x，y， z)，使得 p_，把 e1，e 2，e 3叫做空间的一个基底2空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则 ab_.(2)共线与垂直的坐标表示设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，若 b0，则 a b_，_，_，a b_(a，b 均为非零向量) (3)模、夹角和距离公式设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则|a | _，aacosa，b _.ab|a|b|若 A(a1，b 1，c 1)，B( a2，b 2，c 2)，则| | _.AB 3利用空间向量证明空间中的位置关系若直线 l，l 1，l 2 的方向向量分别为 v，v 1，v 2，平面 ， 的法向量分别为 n1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行 垂直直线与直线l1l 2v 1v 2 v1v 2( 为非零实数) l1l 2v 1v 2v 1v20直线与平面l vn 1vn 10lv xv1y v2 其中lvn 1 vn 1( 为非零实数)v1，v 2 为平面 内不共线向量，x，y 均为实数平面与平面n 1n 2n 1 n2( 为非零实数) n 1n 2n 1n20自我检测1若 a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且 a b，则x_，y_.2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若a， b， c，则 用 a，b，c 表示为_A1B1 A1D1 A1A B1M 3在平行六面体 ABCDABC D中，已知BADAABAAD 60，AB 3，AD 4 ，AA5，则| |_.AC 4下列 4 个命题：若 pxayb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 pxayb；若 x y ，则 P、 M、A、B 共面；MP MA MB 若 P、M 、A、B 共面，则 x y .MP MA MB 其中真命题是_(填序号 )5A(1,0,1) ，B(4,4,6) ，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点_(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例 1 已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证：PMQN.变式迁移 1 如图，在正四面体 ABCD 中，E、F 分别为棱 AD、BC 的中点，则异面直线 AF 和 CE 所成角的余弦值为_探究点二 利用向量法判断平行或垂直例 2 两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 相交于 AB，EBC 90，点M、N 分别在 BD、AE 上，且 ANDM.(1)求证：MN平面 EBC；(2)求 MN 长度的最小值变式迁移 2 如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF 1，M 是线段 EF 的中点2求证：(1)AM平面 BDE；(2)AM面 BDF.探究点三 利用向量法解探索性问题例 3 如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F ，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC16，PAPC10.(1)设 G 是 OC 的中点，证明 FG平面 BOE；(2)在AOB 内是否存在一点 M，使 FM平面 BOE？若存在，求出点 M 到 OA，OB的距离；若不存在，说明理由变式迁移 3 已知在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB 13a，D 为 A1C1 的中点，E 为 B1C 的中点(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦值；(2)在线段 AA1 上是否存在点 F，使 CF平面 B1DF？若存在，求出 AF；若不存在，请说明理由1向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量， 简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐 标法表示几何量，简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步 骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算，研究点、 线、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1下列命题：若 A、B 、C、D 是空间任意四点，则有 0；AB BC CD DA |a |b| a b|是 a、b 共线的充要条件；若 a、b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C，若 x y z (其中OP OA OB OC x、y、z R)则 P、A、B 、C 四点共面其中不正确命题的序号为 _2若 A、B 、C、D 是空间中不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则BCD 的形状是_三角形AB AC AC AD AB AD 3. 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面ABC，ABBC AA 1，ABC90，点 E、F 分别是棱 AB、BB 1 的中点，则直线 EF 和BC1 所成的角等于_4设点 C(2a1，a1,2)在点 P(2,0,0)、A (1，3,2)、B (8，1,4)确定的平面上，则a_.5在直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿 x 轴把直角坐标系折成 120的二面角，则 AB 的长度为_6. (2010信阳模拟) 如图所示，已知空间四边形 ABCD，F 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，若 ( )，则 _.EF AB DC 7(2010铜川一模)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，给出以下向量表达式：( ) ； ( ) ；A1D1 A1A AB BC BB1 D1C1 ( )2 ； ( ) .AD AB DD1 B1D1 A1A DD1 其中能够化简为向量 的是 _( 填所有正确的序号 )BD1 8(2010丽水模拟) 如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB2，E 为 PB的中点，cos ， ，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直DP AE 33角坐标系，则点 E 的坐标为_二、解答题(共 42 分)9(14 分) 如图所示，已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AEFC 11.(1)求证：E、B、F、D 1 四点共面；(2)若点 G 在 BC 上，BG ，点 M 在 BB1 上，GMBF，垂足为 H，求证：EM平面23BCC1B1.10(14 分)(2009福建)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD 平面ABCD， NB平面 ABCD，且 MDNB1，E 为 BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由11. (14 分)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N分别是 AB、CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值学案 43 空间向量及其运算答案自主梳理1(1)大小 方向 (2) 相同 相等 (3) 存在实数 ，使 ba (4) x y 1 OM MA MB (5)xe1ye 2z e32(1)a 1b1a 2b2a 3b3 (2) ab a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 (R) ab0 a1b1a 2b2a 3b30(3) a21 a2 a23a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23 b21 b2 b23 a2 a12 b2 b12 c2 c12自我检测1. 16 32解析 a b， ，x ，y .2x1 1 2y 39 16 322 a bc12 12解析 B1M B1A1 A1A AM A1B1 A1A (12AB 12AD )ac (ab) a bc .12 12 123. 97解析 ，AC AB BC CC AB AD AA | |2 2 2 22 2 2 3 24 25 2234AC AB AD AA AB AD AD AA AA AB cos 60245cos 60235cos 6097，| | .AC 974解析 正确 中若 a、b 共线， p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立 正确中若 M、A、B 共 线，点 P 不在此直 线上， 则 x y 不正确MP MA MB 5共面解析 (3,4,5)， (1,2,2)， (9,14,16) ，设 x y ，AB AC AD AD AB AC 即(9,14,16)(3x y,4x2y, 5x2y) Error!，从而 A、B、C、D 四点共面课堂活动区例 1 解题导引 欲证 ab，只要把 a、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明 ab0 即可，这是基向量 证明线线垂直的基本方法证明 如图所示.设 a， b， c .OA OB OC ( ) (bc)，OM 12OB OC 12 ( ) (ac )，ON 12OA OC 12 a (bc)PM PO OM 12 12 (bca) ，12 b (a c)QN QO ON 12 12 (acb) 12 c(ab)c (ab)PM QN 14 c2 (ab) 2 (| |2| |2)14 14OC BA | | | |， 0.AB OC PM QN 即 ，故 PMQN.PM QN 变式迁移 1 23解析 设 ， ， 为空间一组基底，AB AC AD 则 ，AF 12AB 12AC ( )CE 12CA 12CD 12CA 12AD AC .AC 12AD AF CE (12AB 12AC )( AC 12AD ) 2 12AB AC 12AC 14AB AD 14AC AD 2 2 2 214AB 12AC 18AB 18AC 2.12AC 又| | | | | |，| | | | |2.AF CE 32AC AF CE 34AC cos ， .AF CE AF CE |AF |CE | 12AC 234|AC |2 23异面直线 AF 与 CE 所成角的余弦值为 .23例 2 解题导引 如图所示，建立坐标系后，要证 MN 平行于平面 EBC，只要证 的横坐标为 0 即可MN (1)证明 如图所示，以 、 、 为单位正交基底建立空间直角坐标系，BA BC BE 则 A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，设 ，则 ANAE DMDB MN MD DA AN BD DA AE (1,1,0)(0 ，1,0)(1,0,1)(0， 1，)00，同理， 0， 0.BDC 为锐角三角AB AC AB AD AD AC AD AD BD BC CD CB 形360解析 如图建立坐标系，设 ABBCAA 12， 则 E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)， (0，1,1)， (2,0,2)，EF BC1 cos ， .EF BC1 22 8 12EF 与 BC1 所成的角是 60.416解析 由 1 2 得：PC PA PB (2a1，a1,2) 1(1，3,2) 2(6，1，4)，Error! 解得 a16.52 11解析 过 A、B 分别作 AA1x 轴，BB 1x 轴，垂足分别为 A1 和 B1，则 AA13，A 1B15，BB12， ，AB AA1 A1B1 B1B 2 2 2 22 3 25 22 2232cos 6044.AB AA1 A1B1 B1B AA1 B1B | | 2 .AB 116.12解析 ，EF EA AB BF 又 ，EF ED DC CF 2 ， ( )， .EF AB DC EF 12AB DC 127解析 ( ) ；A1D1 A1A AB AD1 AB BD1 ( ) ；BC BB1 D1C1 BC1 D1C1 BD1 ( ) 2 2 ；AD AB DD1 BD DD1 BD1 ( ) ( )B1D1 A1A DD1 B1D1 A1A DD1 .B1D1 BD1 8(1,1,1)解析 设 DPy0 ，则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E ， (0,0，y) ，(1，1，y2) DP .AE ( 1，1，y2)cos ， .DP AE DP AE |DP |AE |12y2y 2 y24 y8 y2 33解得 y2，E(1,1,1) 9证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 (3,0,1)， (0,3,2) ，BE BF (3,3,3) (3 分)BD1 所以 .BD1 BE BF 故 、 、 共面BD1 BE BF 又它们有公共点 B，E、B、F、D1 四点共面 (7 分)(2)设 M(0,0，z)，则 .GM (0， 23，z)而 (0,3,2)，BF 由题设，得 3z2 0，得 z1.(10 分)GM BF 23M(0,0,1)， (3,0,0) ME 又 (0,0,3)， (0,3,0) ， 0，BB1 BC ME BB1 0，从而 MEBB1，MEBC.ME BC 又 BB1BCB，ME平面 BCC1B1.(14 分)10.解 (1)如图所示，以点 D 为坐 标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz.依题意，得 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E .(2 分)(12，1，0) ，NE ( 12，0， 1)( 1,0,1)(4 分)AM cos ， ，NE AM NE AM |NE |AM | 1252 2 1010异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦 值为 .1010(7 分)(2)假设在线段 AN 上存在点 S，使得 ES平面 AMN. (0,1,1)，可设 (0， ，)，AN AS AN 又 ，EA (12， 1，0) .(9 分)ES EA AS (12， 1，)由 ES平面 AMN，得Error! 即Error!(11 分)故 ，此时 ，| | .12 AS (0，12，12) AS 22经检验，当 AS 时，ES平面 AMN.22故线段 AN 上存在点 S，使得 ES平面 AMN，此时 AS