代数与几何综合

1代数与几何综合专题代数、几何综合题是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样. 代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了运用数学思想方法分析与解决问题的能力.例 1. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成 形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)，如图 1-1.Q图 1-1如果由信纸折成的长方形纸条(图)长为 26 cm，宽为 x cm，分别回答下列问题：(1)为了保证能折成图的形状(即纸条两端均超出点 P)，试求 x 的取值范围(2)如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点 P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离(用 x 表示)分析：将图中的纸条分别沿 PM、 PQ 折叠，把折好的纸条打开，则得到如图 1-2 所示的带有折痕（虚线）的纸条（数学化）. 我们发现其中等腰直角三角形的斜边长正好等于纸条的宽的 2 倍， PM等于 5 倍的纸条宽，从而可列方程求解.A P M BM图 1-2解：（1）由折纸的过程可知，要保证折后纸条两端均超出点 P，则必须满足，BPM/ ，解得 ；2650x5260x2（2）图是轴对称图形，由纸条两端超出点 的长度相等，P也即 ，折叠时起点 与点 的距离为 ，而 ，256/xBMAPMAPMx . 点 M 与点 A 的距离是（ ）cm.x231 231点评：本题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具有挑战性. 既考查了图形变换及轴对称、方程和不等式的知识，又考查了实践能力和数学建模能力.例 2.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（a，0） ， （其中 a0） ，直线 l 过动点 M（0，m） （0m2） ，且与 x轴平行，并与直线 AC、BC 分别相交于点 D、E，P 点在 y 轴上（P 点异于 C 点）满足PE=CE，直线 PD 与 x 轴交于点 Q，连接 PA（1）写出 A、C 两点的坐标；（2）当 0m1 时，若PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形（注：若HNK 满足 HN=2HK，则称HNK 为以 H 为顶点的倍边三角形） ，求出 m 的值；（3）当 1m2 时，是否存在实数 m，使 CDAQ=PQDE？若能，求出 m 的值（用含 a 的代数式表示） ；若不能，请说明理由分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图 1 所示，解题关键是求出点 P、点 Q 的坐标，然后利用 PA=2PQ，列方程求解；3（3）如答图 2 所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为： ，据此列方程求出 m 的值解：（1）在直线解析式 y=2x+2 中，令 y=0，得 x=1；x=0，得 y=2，A（1，0） ，C（0，2） ；（2）当 0m1 时，依题意画出图形，如答图 1 所示PE=CE，直线 l 是线段 PC 的垂直平分线，MC=MP，又 C（0，2） ，M（0，m） ，P（0，2m2） ；直线 l 与 y=2x+2 交于点 D，令 y=m，则 x= ，D（ ，m） ，设直线 DP 的解析式为 y=kx+b，则有，解得：k=2，b=2m2，直线 DP 的解析式为：y=2x+2m2令 y=0，得 x=m1，Q（m1，0） 已知PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ， ，即 ，整理得：（m1） 2= ，解得：m= （ 1，不合题意，舍去）或 m= ，m= （3）当 1m2 时，假设存在实数 m，使 CDAQ=PQDE依题意画出图形，如答图 2 所示由（2）可知，OQ=m1，OP=2m2，由勾股定理得：PQ= （m1） ；A（1，0） ，Q（m1，0） ，B（a，0） ，AQ=m，AB=a+1；OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA= 直线 lx 轴，CDECAB，4 ；又CDAQ=PQDE， ， ，即 ，解得：m= 1m2，当 0a1 时，m2，m 不存在；当 a1 时，m= 当 1m2 时，若 a1，则存在实数 m= ，使 CDAQ=PQDE；若 0a1，则m 不存在点评： 本题涉及坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理 理解方程等知识点题目综合性较强，有一定的难度第（3）问中，注意比例式的转化 ，这样可以简化计算自主检测一填空题51. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1yx2的图象与 x 轴交于 A、与 y 轴交于点 B，点 C 在直线 AB 上，且 OC= 12AB，反比例函数 k的图象经过点 C，则所有可能的k 值为_.2. 如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm。动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点D 移动。经过_秒时，P、Q 两点之间的距离是 10cm？3.如图，直线 AB 交双曲线 于 、 B，交 x 轴于点 C,B 为线段 AC 的中点，过点 B 作xkyBM x 轴于 M，连结 OA.若 OM=2MC,S OAC=12.则 k 的值为_.（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）4.已知整数 k5，若 ABC 的边长均满足关于 x 的方程 280kx，则 ABC 的周长是_ _二选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB为边在第一象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 上将正方形沿 x 轴负方向(k0)平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图所示，在矩形 ABCD 中，垂直于对角线 BD 的直线 ，从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到 D设直线 l 被矩形所截线段 EF 的长度为 y，运动时间为 t，则 y 关于 t 的函数的大致图象是（ ）xy0 DCBA第 1 题6三解答题1.已知：关于 x 的二次函数 y=x 2+ax（a0） ，点 A（n，y 1） 、B（n+1，y 2） 、C（n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，其中 n 为正整数（1）y 1=y2，请说明 a 必为奇数；（2）设 a=11，求使 y1y 2y 3成立的所有 n 的值；（3）对于给定的正实数 a，是否存在 n，使ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求 n 的值（用含 a 的代数式表示） ；如果不存在，请说明理由2.如图，已知抛物线 （a0）经过点 ，抛物线的顶点为 ，2(1)3yax(2)A， 0D过 作射线 过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半OMAD xOMCBx轴上，连结 BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 从点 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的P P时间为 问当 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？()tstDAOP（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒 1 个长度OCBQB单位和 2 个长度单位的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之CB停止运动设它们的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形 的面积t()sPtBCPQ最小？并求出最小值及此时 的长Pxy MCDPQOAB73. 已知：如图 3-1，在 中， ， ， ，点 由RtACB 904cmAC3cBP出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 1cm/s；点 由 出发沿 方向向点 匀速BAQC运动，速度为 2cm/s；连接 若设运动的时间为 （ ），解答下列问题：PQ(s)t2t（1）当 为何值时， ？tBC（2）设 的面积为 （ ），求 与 之间的函数关系式；A y2cmyt（3）是否存在某一时刻 ，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分？若存tPQRACB在，求出此时 的值；若不存在，说明理由；t（4）如图 3-2，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否C PQC存在某一时刻 ，使四边形 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说tP明理由A Q CPB图 3-1A Q CPB P图 3-28自主检测参考答案一填空题1. 或 ; 2. 或 ; 3. 8 ; 4. 10;1238524二选择题1.B; 2.A三解答题1.解：（1）点 A（n，y 1） 、B（n+1，y 2） 、C（n+2，y 3）都在二次函数y=x 2+ax（a0）的图象上，y 1=n 2+an，y 2=（n+1） 2+a（n+1）y 1=y2，n 2+an=（n+1） 2+a（n+1）整理得：a=2n+1a 必为奇数；（2）当 a=11 时，y 1y 2y 3n 2+11n（n+1） 2+11（n+1）（n+2） 2+11（n+2）化简得：0102n184n，解得：n4，n 为正整数，n=1、2、3、4（3）假设存在，则 BA=BC，如右图所示过点 B 作 BNx 轴于点 N，过点 A 作 ADBN 于点 D，CEBN 于点 Ex A=n，x B=n+1，x C=n+2，9AD=CE=1在 RtABD 与 RtCBE 中，RtABDRtCBE（HL） BAD=CBE，即 BN 为顶角的平分线由等腰三角形性质可知，点 A、C 关于 BN 对称，BN 为抛物线的对称轴，点 B 为抛物线的顶点，n+1=0，n=1存在 n，使ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形，n=12.解：（1） 抛物线2(1)3(0)yaxa经过点 (20)A， ，09二次函数的解析式为：2383yx（2） D为抛物线的顶点 (1)D， 过 作 NOB于 ，则 3DN，2233660ANA， OM当 P时，四边形 OP是平行四边形6(s)txy MCDPQOABNEH10 当 DPOM时，四边形 DAOP是直角梯形过 作 H于 ， 2， 则 1H（如果没求出 60可由 RttDNA 求 1H）5(s)t当 PDOA时，四边形 DP是等腰梯形264(s)Ht综上所述：当 t=6、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3）由（2）及已知， 0CBOBC， ， 是等边三角形则 6262(03)OBADPtQtt ， ， ，过 P作 EQ于 ，则3Et163(62)2BCSt=2368t当t时， BPQ的面积最小值为38此时3932444OEQPE， =， 22 93P3.解：（1）在 Rt ABC 中， ，由题意知： AP = 5 t， AQ = 52ACB2t，若 PQ BC，则 APQ ABC. . ， ACQBP542tt710（2）过点 P 作 PH AC 于 H如图 3-3. APH ABC， ，CABP ， .3H5tt53 图 3-3 BA Q P CH11 tttPHAQy 35)3(2121 2（3）若 PQ 把 ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ ， 解得： )24(3)5(ttt1t若 PQ 把 ABC 面积平分，则 ， 即 3 t=3ABCPQS2125 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，