18 二次函数的图象和性质

x/米y/米O二次函数的图象和性质一、选择题1、（2013湖州市中考模拟试卷 7）函数 2yaxbyxc和 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）答案：C2、（2013湖州市中考模拟试卷 8）抛物线 先向右平移 1个单位，再向上平移 3个2yx单位，得到新的抛物线解析式是（ ）A B C D213yx213yx2yx答案：D3、（2013湖州市中考模拟试卷10）已知抛物线 （ 0）过 、2yaxbca)0,2(A、 、 四点，则 与 的大小关系是( )0,(O),3(1yB),(2C1A B C D不能确定1y2y2答案：A4、(2013 年河南西华县王营中学一摸)将抛物线 向左平移 3个单位长度，再向上2xy平移 2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）A B C D3xy23xy12xy12xy答案：A5、（2013 安徽芜湖一模）已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与 x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题： b2 a=0； abc0； a2 b+4c0；8 a+c0其中正确结论的是_答案：6、（2013 吉林镇赉县一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）xy42A.4米 B.3 米 C.2 米 D.1 米答案：A7、（2013 吉林镇赉县一模）如图， O的半径为 2， C1是函数 的图象， C2是函数2xy的图象， C3是函数 的图象，则阴影部分的面积是 平方21xyxy3单位（结果保留 ）.答案： 358、（2013 江苏东台实中）抛物线 的对称轴是 （ ）412xyA、 B、 C、 D、2xx4x答案：B9、（2013 江苏东台实中）函数 的图像与 y轴的交点坐标是（ ）42yA、（2，0） B、（2，0） C、（0，4） D、（0，4）答案：D10、（2013 江苏东台实中）二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正cbxay2确的是：（ ）A a0 b0 B a0C a0 c0 c0答案：D11、（2013 江苏东台实中）已知函数 的图象如图所示，则函数cbxay2的图象是（ ）baxy答案：B12、（2013 江苏东台实中）将抛物线 y=2x经过怎样的平移可 得到抛物线 y=2(x+3) 4.( )0A、先向左平移 3个单位，再向上平移 4个单位 B、先向左平移 3个单位，再向下平移 4个单位C、先向右平移 3个单位，再向上平移 4个单位D、先向右平移 3个单位，再向下平移 4个单位 答案：B13、（2013 江苏东台实中）已知函数 与 x轴交点是 ，20132xy )0,(nm则 的值是（ ）)014)(2014(22nmA、2012 B、2011 C、2014 D、2013答案：A14、（2013 江苏射阴特庸中学）已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A a0 B当 x1 时， y随 x的增大而增大C c0 D3 是方程 ax2+bx+c=0的一个根答案：D15、（2013 江苏扬州弘扬中学二模）如图是二次函数 y1=ax2+bx+c和一次函数 y2=mx+n的图象，观察图象写出 y2 y1时， x的取值范围（ ）A x0 B0 x1C2 x1 D x1答案：C16、（2013 江苏射阴特庸中学）已知二次函数的图象（-0.7 x2）如右图所示.关于该函数在所给自变量 x的取值范围内，下列说法正确的是( )A有最小值 1，有最大值 2 B有最小值-1，有最大值 1C有最小值-1，有最大值 2 D有最小值-1，无最大值答案：C17、（2013 江苏扬州弘扬中学二模）点 A（2， y1）、 B（3， y2）是二次函数 y=x22 x+1的图象上两点，则 y1与 y2的大小关系为 y1_ y2（ 填“”、“”、“=”）答案：0答案：（1） （4 分）（2）图略（3 分）（3）62y 31x7、（2013 江苏东台实中）某企业投资 100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利 33万元，该生产线投资后，从第 1年到第 年的维修、保养费用累计为 y（万元），且 bxay2，若第 1年的维修、保养费用为 2万元，第 2年为 4万元。（1）求 与 x之间的关系式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？答案：(1) （5 分）y2（2）设投产后的纯收入为 /y，则 yx103/ 即：56)1(0322/ xxy（2 分）由于当 16时， /y随 的增大而增大，且当 x=1，2，3 时， /y的值均小于 0，当 x=4时， .0)4(2/ （2 分）可知：投产后第四年该企业就能收回投资。（1 分）8、（2013 江苏东台实中）如图，抛物线 21yxmn交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点C，点 P是它的顶点，点 A的横坐标是 3，点 B的横坐标是 1（1） 求 m、 n的值；（2） 求直线 PC的解析式；（3）请探究以点 A为圆心、直径为 5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由 （参考数据 ， ， ）41.732.36.答案： （1） （4 分）（2） （ 3分） (3) A与直线 PC相交3,nm21xy(可用相似知识，也可三角函数，求得圆心 A到 PC的距离 d与 r大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。)（3 分）9、（2013 江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）与 x轴相交于点A(-2，0)和点 B，与 y轴相交于点 C，顶点 D(1，- ).92（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）求四边形 ACDB的面积；（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.答案：(1)设二次函数为 y=a(x-1)2-9/2， 1 分求得，a=1/2， 3 分y x ODCBAy x ODCBAy=1/2(x-1) 2-9/2 4 分(2)令 y=0,得 x1=-2，x 2=4，B(4，0)， 6 分令 x=0, 得 y=-4,C(0，-4)， 7 分S 四边形 ACDB=15.四边形 ACDB的面积为 15. 8分(3)如：向上平移 9/2个单位,y=1/2(x-1) 2; 向上平移 4个单位,y=1/2(x-1) 2-1/2;向右平移 2个单位,y=1/2(x-3) 2-9/2;向左平移 4个单位 y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.10 分10、（2013 江苏射阴特庸中学）如图 a，在平面直角坐标系中， A(0，6)， B(4，0).（1）按要求画图：在图 a中，以原点 O为位似中心，按比例尺 1:2，将 AOB缩小，得到 DOC，使 AOB与 DOC在原点 O的两侧；并写出点 A的对应点 D的坐标为 ,点B的对应点 C的坐标为 ；（2）已知某抛物线经过 B、 C、 D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接 DB，若点 P在 CB上，从点 C向点 B以每秒 1个单位运动，点 Q在 BD上，从点 B向点 D以每秒 1 个单位 运动，若 P、 Q两点同时分别从点 C、点 B点出发，经过 t秒，当 t为何值时， BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图 1分; C (-2,0),D(0,-3). 3 分来源:学科网(2)C(-2,0),B(4,0).设抛物线 y=a(x+2)(x-4),将 D(0,-3)代入,得 a=3/8. 5分y=3/8(x+2)(x-4),即 y=3/8x2-3/4x-3. 6分大致图象如图所示. 7 分(3)设经过 ts,BPQ 为等腰三角形，此时 CP=t,BQ=t,BP=6-t.OD=3,OB=4,BD=5. 若 PQ=PB,过 P作 PHBD 于 H,则 BH=1/2BQ=1/2t,由BHPBOD,得 BH:BO=BP:BD,t=48/13s. 9 分若 QP=QB,过 Q作 QGBC 于 G,BG=1/2(6-t).由BGQBOD,得 BG:BO=BQ:BD,t=30/13s. 10 分若 BP=BQ,则 6-t=t,t=3s. 11分当 t=48/13s或 30/13s或 3s时,BPQ 为等腰三角形.12 分aABO xy 64 46yxO BAQPDC x4BO6Ay11、（2013 江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线 的图象与 ykxy241轴相交于点 B（0， 1），点 C（ m， n）在该抛物线图象上，且以 BC为直径的 M恰好经过顶点 A（1）求 k的值；（2）求点 C的坐标；（3）若点 P的纵坐标为 t，且点 P在该抛物线的对称轴 l上运动，试探索：当 S1 S S2时，求 t的取值范围（其中： S为 PAB的面积， S1为 OAB的面积， S2为四边形 OACB的面积）；当 t取何值时，点 P在 M上（写出 t的值即可）答案：解：（1） k=1 1 分（2）由（1）知抛物线为： 22)(414xxy顶点 A为（2，0）， 2 分 OA=2， OB=1；过 C（ m， n）作 CD x轴于 D，则 CD=n， OD=m， AD=m2，由已知得 BAC=90， 3 分w*ww.z#zs% CAD+ BAO=90，又 BAO+ OBA=90， OBA= CAD， Rt OAB Rt DCA， ，即 4 分OACDB21nm n=2（ m2）；又点 C（ m， n）在 上，2)(41xy ，2)(41解得： m=2或 m=10；w*ww.z#z9m5(0,)14当 时，点 5,6C15、(2013吉林中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点 坐 标为（2，4），直线与 轴相交于点 ，连结 ，抛物线 从点 沿 方向平移，与直线交于点 ，顶点 到 点时停止移动（1）求线段 OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点 的横坐标为 ，当 为何值时，线段 最短；（3）当线段 最短时，相应的抛物线上是否存在点 ，使 的面积与的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 PACHOPACxy（图3）HOPAC（图4）解：（1）设 所在直线的函数解析式为 ， （2，4）， , , 所在直线的函数解析式为 .3分（2）顶点 M的横坐标为 ，且在线段 上移动， （0 2）.顶点 的坐标为( , ).抛物线函数解析式为 .当 时， （0 2）. = = ， 又0 2，当 时， PB最短. 7 分（3）当线段 最短时，此时抛物线的解析式为 .假设在抛物线上存在点 ，使 . 设点 的坐标为（ ， ）. 当点 落在直线 的下方时，过 作直线 / ，交 轴于点 ， ， ， ， ， 点的坐标是（0， ）.点 的坐标是（2，3），直线 的函数解析式为 . ，点 落在直线 上. = .解得 ，即点 （2，3）.点 与点 重合.此时抛物线上不存在点 ，使 与 的面积相等. 9 分当点 落在直线 的上方时，作点 关于点 的对称称点 ，过 作直线 / ，交 轴于点 ， ， ， 、 的坐标分别是（0，1），（2，5），直线 函数解析式为 . ，点 落在直线 上. = .16、（2013温州市中考模拟）在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y1=mx2-（2m+3）x+m+3与 x轴交于点 A、点B(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C（其中 m0）。（1）求：点 A、点 B的坐标（含 m的式子表示）；（2）若 OB=4AO，点 D是线段 OC（不与点 O、点 C重合）上一动点，在线段 OD的 右侧作正方形 ODEF,连接 CE、BE，设线段 OD=t，CEB 的面积为 S，求 S与 t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；1412108642246810121420 15 10 5 5 10 15 20xyO答案：解： （1） A(1,0)、 （2）m=1(或解析式)当 2t4时，S=4t-8来源:Z#xx#k.Com17、（2013湖州市中考模拟试卷 3）已知：如图，抛物线 2yaxb与 x轴的交点是 (3,0)A、 (6,)B，与 y轴的交点是 C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 (,)Pxy（0 6）是抛物线上的动点，过点 P作 PQ y轴交直线 BC于点 Q.当 取何值时，线段 PQ的长度取得最大值？其最大值是多少?是否存在这样的点 P，使 OAQ 为直角三角 形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.点 C的坐标为（0，2）.设直线 BC的函数表达式是 ykxb.则有 62.kb解得：132.kb直线 BC的函数表达式是 123yx. 5分B(m+33,0)06,x 21()()39QpPyxx= 29 7分= 1()x. 8分当 3时，线段 PQ的长度取得最大值.最大值是 1. 9分当 90OAQ时，点 P与点 A重合， P（3，0） 10 分当 时，点 P与点 C重合， x（不合题意） 11 分当 90时，设 PQ与 x轴交于点 D. ,90OQAQA ，.又 90, ODQ QDA. DQAO，即 2ODA.