概率论与数理统计习题解答(第8章)

第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差 2 = 1.21，随机抽取 6 件，记录其长度（毫米）分别为32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在显著性水平 = 0.01 下，能否认为这批零件的平均长度为 32.50 毫米？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度 ，),(2NX则需要检验的是：00:H01:由于 已知，选取 为检验统计量，在显著水平 = 0.01 下， 的拒绝域为：2nXZ 0H|05.2Zzz查表得 ，现由2.57890.Zn=6, , , 31.6nix1.50.320计算得： 3.058161.-70nXz05.Z可知，z 落入拒绝域中，故在 0.01 的显著水平下应拒绝 ，不能认为这批零件的平均长度0H为 32.50 毫米。EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟 72 次，某医生测得 10 例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平 = 0.05 下， “四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数，则需要检验的是：),(2NX00:H01: 由于方差未知，选取 为检验统计量，在显著水平 = 0.05 下， 的拒绝域为：nsXT 0H)9(|)1(|2/05.2tt查表得 ，现由2.6157)9(05.tn=10, , ，.41nix35.16122niixs计算得 2.453761035.6740 nsXt)9(025.t可知，t 落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应拒绝 ， “四乙基铅中毒”患者的脉搏0H和正常人的脉搏有显著差异。3. 从某种试验物中取出 24 个样品，测量其发热量，算得平均值 ，样本均1958x方差 设发热量服从正态分布，在显著性水平 = 0.05 下，是否可认为该试验物发316s热量的平均值不大于 12100？解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量 ，则需要检验的),(2NX是： 00:H01:此为右边检验，由于方差未知，应选用 t 统计量检验，在显著水平 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为=)1(0nsxtt)124(05.t由表得 ，现有 n=24， ， ， 计算得到714.)23(05.t 9836s0- 1.7531nsxt0可知，t 未落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下不能拒绝 H0 ，可以认为元件的平均寿命显著不小于 225 小时。5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5，标准差为 15 分(1) 问在显著水平 = 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？(2) 在显著水平 = 0.05 下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为 162？解: (1):按题意需检验H0 ： H1 ： 770此为双边检验，由于方差未知，应选用 t 检验，在显著水平为 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为= =)1(20nsxtt)136(025.t31.2t现有 n=36， ，s=15， 计算得到5.6x7040.64647 落入22s 60921202 sn了 H0 的拒绝域，应该拒绝 H0，即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。7. 对 7 岁儿童作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对 7 岁儿童的身高有显著影响（显著性水平 = 0.05）？（提示：先做方差齐性检验，再做均值检验.）性别 人数(n) 平均身高( )x标准(S)男 384 118.64 4.53女 377 117.86 4.86解：设男孩的身高服从 ，女孩身高服从 。根据题意需对),(211NX),(22NX量总体的均值进行比较，由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即检验和 是否有显著差异，然后再检验 和 是否有显著差异。21 12（1）检验假设H0 ： H1 ： 212由于 ， 未知，选取统计量 F= ，在显著水平 = 0.05 下，拒绝域为：12 s2即)()(1 nnF和和)3768(F)76,38(025.95.0 和F计算得，8175.0)36(975.0， 23.)76,8(025.拒绝域为 。由观测数据得到 n1=384，n 2=377，91F， ，s 1=4.53，s 2=4.86，F= 未落入拒绝域，不64.18x86.72 860.4.5321能拒绝 H0 ，在 0.05 的显著水平下，可以认为性别对儿童身高的方差无显著差异。（2） 根据（1）的结论，可以在 的条件下检验假设21H0： H1：22选 t= 为检验统计量，在显著水平 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为：nSx21计算得 。)759()(02.2tt 9634.1)75(02.t计算 再求出 t 得s 37184237846.)1(5.)13( 8.612)()1( 2 nnsxt=2.290739 96304.t可知，t 落入 H0 的拒绝域中，故在 0.05 显著水平下应拒绝 H0 ，认为性别对儿童身高有显著差异。8. 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产品尺寸的方差 2 不得超过0.1，为检验该自动车床的工作精度，随机的取 25 件产品，测得样本方差 S2 = 0.1975，问该车床生产的产品是否达到所要求的精度（显著性水平 = 0.05）? 86.3x解：按题意需检验H0： H1：.2.02取统计量 ，在显著性水平 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为：202)1(sn计算得)5()(.2 4153.6)2(05.由观测数据 n=25， = 0.1975， ， ，2s83x.得 36.41503 落入 H0 的拒绝域中，故在 0.05 的显著4.71.0)5()(2202 水平下应拒绝 H0 ，认为床生产的产品没有达到所要求的精度。9. 一台机床大修前曾加工一批零件，共 =10 件，加工尺寸的样本方差为1n.大修后加工一批零件，共 件，加工尺寸的样本方差为)(251ms2n.设加工尺寸服从正态分布，问此机床大修后，精度有无明显提高（显著性水4平 = 0.05）？解：按题意需检验H0： H1：212取检验统计量 ，在显著性水平 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为：SF2计算得 。 )19()1(5.01 和和n 2735.)19(5.0和F由观测数据 n1 =10，n 2 =12， ， ，则 -2.2735 未落在 H0 的拒242S.642绝域中，故在 0.05 显著水平下，应接受 H0，可认为此机床大修后，精度有明显提高。10. 由 10 名学生组成一个随机样本，让他们分别采用 A 和 B 两套数学试卷进行测试，成绩如下表:试卷 A 78 63 72 89 91 49 68 76 85 55试卷 B 71 44 61 84 74 51 55 60 77 39假设学生成绩服从正态分布，试检验两套数学试卷是否有显著差异（显著性水平 = 0.05） 解：本题中的每一行数据虽然是同一张试卷的成绩，但 10 个数据的差异是由 10 个不同学生造成的， 因此表中的每一行都不能看成是一个样本的观察值， 再者，对每一对数据而言，他们是同一个学生做不同试卷的成绩，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此,我们不能用两独立样本均值的 t 检验法作检验。而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两套试卷本身的差异所引起的。所以，构造新的随机变量 有 其中 则,YXZ),(2N,2121niYXZii ,.21,为 的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异 nZ.,21属于随机误差，随机误差可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。故问题可以转化为检验假设 0:,0:1H设 的样本均值为 ,z样本方差为 2s，采用单个正态分布均值的 t 检验，拒绝域为：nZ.,21 ,26.)9()(/0 025.2/ ttnszt由 7.4,1,s可得 ，所以拒绝 ，在显著性水平 = 0.05 下，可以认为两套数26.35.t 0H学试卷有显著差异。错误解法：设试卷 A 的成绩服从 ，试卷 B 的成绩服从),(21NX， 根据题意，需要进行两总体的均值比较，但由于两总体方差未知，需要),(2NX首先进行方差齐性检验，即 和 是否有显著差异，然后再检验 是否有显著差21 21和异。（1）检验假设H0: H1:212由于 未知，选取统计量 ，在显著性水平 = 0.05 下，拒绝域为：21和 SyxF2即)()( 212 nnF和)9(F)9,(025.75.0和计算得， 。24836.0)9(75.0， 0594.)(025.，拒绝域为 。由观测数据得到Fn1=10，n 2=10， ， ， ， ，.7x6.1y.82Sx 82.17y，由于 0.2483860.9092024.025994 则 F 未落入 H0 的拒绝域902.8.42SyxF中，不能拒绝 H0 ，在 0.05 的显著水平下，可以认为两试卷成绩的方差无显著差异。（2）根据（1）的结论，可以在 的条件下检验假设21H0 ： H1 ：22选统计量 为检验统计量，在显著性水平 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为：nSyxt21，计算得 )18()2(025.12tnt 1092.)8(025.t计算得2.1009227051.12)()1( 2nnSyxt可知，t 为未落入 H0 的拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应接受 H0 ，认为两套试卷的成绩无显著差异。四、应用题 1. 某部门对当前市场的价格情况进行调查以鸡蛋为例，所抽查的全省 20 个集市上，售价分别为（单位：元/500 克）3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.183.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30已知往年的平均售价一直稳定在 3.25 元/500 克左右，假设鸡蛋的销售价格服从正态分布，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年（显著水平 = 0.05）？解法一：设鸡蛋的平均售价为 ，若设鸡蛋的销售价 ，按题意需检验),(2NX25.3:0H25.3:0这是右边检验问题,由于方差未知，应选用 t 检验，在显著水平 = 0.05 下，拒绝域为：729.1)9()1(/ 05.0 tntsxtn由样本观测值计算得到 ,40.31nix0724.)(122niixsn 729.46.20691.5./0 nsxt由于 落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应拒绝 ，可以认为全省当前的鸡472t 0H蛋售价明显高于往年。解法二：这是单个正态总体均值比较的问题，若设鸡蛋的销售价 ，则),(2NX需要检验的是：00:H01:这是左边检验问题，由于方差未知，选取 为检验统计量，在显著水平 = 0.05nsXT下，拒绝域为： )19()1(05.tt查表得 ，现由-1.7293)(05.tn=20, , ，.1nix0.72491niixs计算得 2.476300.72495.3nsXt)1(5.t可知，t 未落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下不能拒绝 ，可以认为全省当前的鸡蛋0H售价明显高于往年。注意：本题方法二没有方法一好，想一想为什么？2. 有若干人参加一个减肥锻炼，在一年后测量了他们的身体脂肪含量，结果如下表所示：男生组： 13.3 19 20 8 18 22 20 31 21 12 16 12 24女生组： 22 26 16 12 21.7 23.2 21 28 30 23假设身体脂肪含量服从正态分布，试比较男生和女生的身体脂肪含量有无显著差异（显著水平 = 0.05） 解：依题意，男女生的脂肪含量是分别来自正态总体 和 ，),(21N),(2212,均未知，故首先要验证方差齐性，对两组数据做假设检验 . : : 2120 HH拒绝域为： 87.3)9,(025.1FS或 .),(025.21F由样本观测值计算得 ,10,321n29.8,390.622SS.29.821SF7.3907.故不能拒绝 ，可以认为两总体方差相等。0H接下来进行两独立正态总体的均值比较：若设男生脂肪含量 ，女生脂肪含量 ，则需要检验的是：),(21NX),(2NX20:21:H选 为检验统计量，在显著水平 = 0.05 下，H0 的拒绝域为：21nSYXTw )21(|)2(|05.12tnt 查表得 ，现由 n1 = 13，n 2 = 10，0796.)(025.t， ，18.1nix.921iy， ，36.901221niis 28.9212niiys 5.738103.)(6.9)1()()(212 nssw计算得到 2.079611.43035.7812.21 nsyxtw可知，t 未 落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应接受 H0，可以认为男生和女生的身体脂肪含量无显著差异。3. 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高劳动效率可以用平均装配时间反映现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品，记录下各自的装配时间（单位：分钟）如下表所示：甲法： 31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26乙法： 26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28假设装配时间服从正态分布，问两种方法的装配时间有无显著不同（显著水平 = 0.05）？解：这是两独立正态总体的均值比较问题，设甲法的装配时间 ，乙法),(21NX的装配时间 ， 由于 均未知，故首先要验证方差齐性，需),(2NX212,要检验假设 . : , : 2212210HH拒绝域为： 或58.3),(025.21FS 2793.0)1,(025.12FS由样本观测值计算得： ,12n6.,0.22S68.01.2521SF.3793.0故不能拒绝 ，可以认为这两种方法的装配时间的方差相等。0H第二步，进行均值检验，需检验假设 21210:,:H取检验统计量 其中,12nSYXtw .)()(21nSSw拒绝域为： 0739.2)()2(1)(| 05.12/ tntnsyxtw现由 n1 = 12，n 2 = 12，3.751ix，28.6712niy10.245121niixs，6.011222niiys， 857.2.)(0.45)()()(212 nsw计算得到 2.0738.649122.857.-31 nsyxtw落入拒绝域，故在 0.05 的显著水平下，可以认为这两种方法的装配时间有显著不同。4. 为了考察两种测量萘含量的液体层析方法：标准方法和高压方法的测量