概率论与数理统计答案

1. 观察某地区未来 3 天的天气情况，记 表示“有 天不下雨”， 用事件运算的关系式表示：“三天均下雨” “三天中至少有一天不下雨” 。 正确答案：2. 一根长为 的棍子在任意两点折断，则得到的三段能围成三角形的概率为 。 正确答案：3.两事件 与 相互独立，且满足 ， ，则 。 正确答案：4. 已知随机变量 的概率分布为 ，则 ， 。 正确答案：1， 5. 设随机变量 X 服从区间0，5上的均匀分布，对随机变量 X 的取值进行了三次独立观察，则至少有两次观察值不超过 2 的概率为 。 正确答案：0.352 6. 随机变量 ，则由切比雪夫不等式有 。 正确答案：7. 已知随机变量 X 和 Y 的协方差矩阵为 ，则 =。 正确答案：， 2 8. 设总体 X 服从正态分布 ，其中 未知，现取得样本容量为 64 的一个样本，则 的 0.95的置信区间的长度为 。 正确答案：0.989. 设总体 X 服从正态分布 ， 是总体的样本，则 ， 正确答案：， 10. 设随机变量 的概率密度为 ，则 的概率密度为 。 正确答案：二、选择题（每题 2 分，共 10 分）1.设 A，B 为两随机事件，且 ，则( )。正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D2.已知随机变量 X 的概率密度函数 ( 0,A 为常数)，则概率（ 0）的值（）。正确答案 A. 与 无关，随 的增大而增大B. 与 无关，随 的增大而减小C. 与 无关，随 的增大而增大D. 与 无关，随 的增大而减小 正确答案：C3.若 ， ，那么 的联合分布为（）。 正确答案 A.二维正态分布，且B.二维正态分布，且 不定C.未必是二维正态分布D.以上都不对 正确答案：C4.总体均值 的 95%置信区间的意义是 ( )。 正确答案 A. 这个区间以 95%的概率含样本均值B. 这个区间以 95%的概率含 的真值C. 这个区间平均含总体 95%的值D. 这个区间平均含样本 95%的值 正确答案：B5. 对正态总体的数学期望 进行假设检验，如果在显著水平 下接受 ，那么在显著水平0.01 下，下列结论中正确的是 ( )。 正确答案 A. 必须接受B. 可能接受，也可能拒绝C. 必拒绝D.不接受，也不拒绝 正确答案：A三、判断题（每题 2 分，共 10 分)1.若 则 A 与 B 互不相容。( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B窗体底端2.设 ，则 F(x)为连续型随机变量的分布函数。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B3. 是总体 的样本，且 则 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A4.若 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关；反之亦成立。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B5.在假设检验中，记 为备择假设，则称“ 不真时，接受 ”为犯第一类错误。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A四、计算题（每题 10 分，共 30 分）1每箱产品有 10 件,其中次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时, 依次从中抽取两件(不重复), 如果发现有次品,则拒收该箱产品。试计算:（1）一箱产品通过验收的概率；（2）已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有 2 个次品的概率。正确答案：解：设 =“每箱产品中含有 件次品” B=“一箱产品通过验收” 则 ， 且 （1）由全概率公式得（2） 2独立地将一枚质地均匀的硬币连抛三次，以 表示三次中出现正面的次数， 表示三次中正、反两面次数差的绝对值。求 （1） 和 的联合概率分布和边缘概率分布；（2） .正确答案：解： （1） 的联合概率分布为即（2）由联合概率分布可求得和 的边缘概率分布为所以可求得 3设随机向量 的密度函数求（1）参数 的值;（2）X 和 Y 的边缘密度函数，并判断 X 和 Y 的独立性；（3） ，其中区域 D 是直角坐标平面上以点(0,0) ，(3,0)，(0,2)为顶点构成的三角形区域。正确答案：解：（1）由 （2） X 与 Y 相互独立 （3）五、综合应用题（每题 10 分，共 20 分）1某保险公司的老年人寿保险有 1 万人参加,每人每年交 200 元。若老人在该年内死亡,公司付给家属 1 万元。 假设老年人死亡率为 0.017, 试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率。正确答案：解：设 X 表示一年内死亡的老年人数，则 ， ，由拉普拉斯中心极限定理知，X 近似服从正态分布 由题意即求 2设总体 ， 为来自总体 X 的样本， 为样本值，试求 的最大似然估计，并验证其最大似然估计量是 的无偏估计量。正确答案：解：解得：最大似然估计值为 最大似然估计量为 六、分析题（10 分）1一自动车床加工零件的长度服从正态分布 ，车床正常工作时，加工零件长度的均值为 10.50 厘米。经过一段时间后，要检验这机床是否工作正常，为此随机抽取了该车床加工的 31 个零件，测得其平均长度为 11.08 厘米，标准差为 0.516 厘米。若加工零件长度的方差不变，问在显著性水平 下，此车床是否工作正常？（附表：）正确答案：解： 设 X 表示加工零件的长度，则 选用枢轴量 在 成立时， 对于 ， 由 ，得拒绝域 对于 故应拒绝 ，即认为该车床工作不正常。一、填空题（每题 2 分，共 20 分）1. 观察某地区未来 3 天的天气情况，记 表示“有 天不下雨”， 用事件运算的关系式表示：“三天均不下雨” “三天中至多两天不下雨” 。 正确答案：， 2. 一箱产品中有 10 个正品和 4 个次品，随意地每次从中取出一个（不放回），则第三次取到次品的概率是 。 正确答案：3.两事件 与 相互独立，且满足 ， ，则 。 正确答案：0.44. 设随机变量 X 的分布函数为 ，则 A= ，B= 。 正确答案：，5. 某元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为 1000 小时，则 3 个这样的元件同时使用 1000小时后至少损坏两个的概率为 。 正确答案：(或 0.6936)6. 随机变量 ，则由切比雪夫不等式有 。 正确答案：7. 已知随机变量 X 和 Y 的协方差矩阵为 ，则 = 。 正确答案：， 10 8. 设总体 X 服从正态分布 ，其中 未知，现取得样本容量为 36 的一个样本，则 的0.95 的置信区间的长度为 。 正确答案：1.969. 设总体 ， 是来自总体的样本， 为样本均值，则， 正确答案：10. 设随机变量 ,则 Y 的概率密度函数为 。 正确答案：二、选择题（每题 2 分，共 10 分）1.以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 为( )。正确答案 A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲、乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 正确答案：D2.设随机变量 X 的概率密度为 则区间(a,b)是（）。正确答案 A. B. C. D. 正确答案：A3.设二维随机向量 ，则下列结论中错误的是（）。 正确答案 A. ，B.X 与 Y 相互独立的充分必要条件是C.D. 正确答案：D4.设 为 的无偏估计量，且 则 必为 的( )。 正确答案 A. 无偏估计B. 有偏估计C. 一致估计D. 有效估计 正确答案：B5. 设样本 取自正态总体 ， 分别为样本均值和样本标准差，则( )。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C三、判断题（每题 2 分，共 10 分)1.概率为 1 的事件一定是必然事件。( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B2.连续型随机向量（X，Y）的分布函数 一定是 上的连续函数。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A3. 若 X 和 Y 不相关，则有 。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B4.若随机变量 ，则 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B5.在假设检验中，显著型水平 越小，则犯第一类错误的概率就越小。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A四、计算题（每题 10 分，共 30 分）1某超市销售一批照相机共 10 台，其中有 3 台次品。某顾客去选购时，超市已售出 2 台，该顾客从余下的 8 台中任意选购一台，求:（1）该顾客购到正品的概率；（2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少？正确答案：解：设 =“售出的 2 台照相机中含 台次品”B=“顾客购到正品”则 且 （1）由全概率公式得（2） 2独立地将一枚质地均匀的硬币连抛三次，以 表示前两次中正面出现的次数， 表示三次中正面出现的次数。求 （1） 和 的联合概率分布和边缘概率分布；（2） .正确答案：解：（1） 的联合概率分布为即 和 的边缘概率分布为（2）由联合概率分布边缘概率分布可求得 3设随机向量 的密度函数求（1）参数 的值;（2）X 和 Y 的边缘密度函数，并判断 X 和 Y 的独立性；（3） 。正确答案：解：（1）由 （2）X 与 Y 不相互独立 （3）五、综合应用题（每题 10 分，共 20 分）1甲、乙两电影院在竞争 名观众，假设每位观众随机等可能地选择两影院，且彼此相互独立，问甲影院至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 ？正确答案：解：设甲影院应设 n 个座位才满足要求，且设 X 表示选择甲影院的观众数。则 ， ，由拉普拉斯中心极限定理知，X 近似服从正态分布 由题意知： 即 则 从而得 ，取 .故甲影院至少应设 537 个座位，才能使观众因无座而离去的概率小于 1%2一个电子仪器的失效时间 T（小时）的概率密度函数为 （， ）设随机检验了 n 个电子仪器的失效时间为 ，样本观测值为 .求未知参数 的最大似然估计值与最大似然估计量。正确答案：解： ，解得：最大似然估计值为 ， 最大似然估计量为 ， 六、分析题（10 分）1某电器厂生产的一种云母片，由长期生产的数据知道，云母片的厚度服从正态分布，厚度的均值为0.13mm。今在某天生产的云母片中，随机抽取了 10 片，分别测得其厚度，计算得厚度的平均值为0.146mm，标准差为 0.015mm。问该天生产的云母片厚度的均值与往日是否有显著差异？（ ）（附表：）正确答案：解： 选用枢轴量 在 成立时， 对于 ， 由 得拒绝域 对于 故应拒绝 ，即该天生产的云母片厚度的均值与往日有显著差异。一、填空题（每题 2 分，共 20 分）1. 10 件产品中有 3 件次品，随机从中抽取两件，至少抽到一件次品的概率为 。 正确答案：2. 在区间 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 。 正确答案：3.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为 0.5、0.6、0.8 ，则至少有一人中靶的概率为 。 正确答案：0.964. 设连续型随机变量 的概率密度函数为 则 。 正确答案：1 5. 设 ，且 与 相互独立，则 = 。 正确答案：0.086. 已知随机变量 ， 则 = 。 正确答案：137. 设 是总体参数 的估计量，若 ，则称 是总体参数 的无偏估计量。正确答案：8. 设总体 ，其中 未知，则利用同一样本得到 的 90%与 95%的置信区间长度之比为 。 正确答案：41 : 49 (或 0.84)9. 设总体 服从正态分布 ， 是总体的样本，则 。 正确答案：10. 非负连续型随机变量服从的分布具有无记忆性特征，则它服从 分布。正确答案：指数二、选择题（每题 2 分，共 10 分）1.设 为两随机事件，且 ， , 则必有( ) 。正确答案 A. B. C. D. 正确答案：A2.设 分别为连续型随机变量 的密度函数和分布函数，则正确的是（） 。正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D3.设 为一随机变量，若 ，则正确的是（） 。 正确答案 A.B.C.D. 正确答案：B4.设样本 取自正态总体 ， 已知， 未知，则下列随机变量不是统计量的是 ( )。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C5. 设样本 取自正态总体 ， 分别为样本均值和样本标准差，则正确的是 ( )。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D三、判断题（每题 2 分，共 10 分)1.若随机事件 与 相互独立，且 ，则 与 一定相容。( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A2.若 ， ，那么 一定服从二元正态分布。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B3.总体均值 的 95%置信区间的意义是指这个区间以 95%的概率含 的真值 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A4.设随机变量 与 分别服从参数为 2 和 3 的泊松分布，则 服从参数为 5 的泊松分布。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B5.在假设检验中，记 为备择假设，则称“ 不真时，接受 ” 为犯第二类错误。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B四、计算题（每题 10 分，共 30 分）1对有 50 名学生的班级考勤情况进行评