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文档简介
第五讲 计数问题之几何计数教学课题:几何计数教学课时:两课时教学目标:1.掌握计数常用方法;2.熟记一些计数公式及其推导方法;3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数教学重难点:1、渗透分类计数和用容斥原理的计数思想2、巧妙运用图形的对称性以及相似性来简化计数过程.教具准备:本周通知:教学过程:1情景引入师:大家都知道武汉的 4 号地铁通车了,可是如果地铁像火车一样售票,任意两个站之间都要设计一种票,同学们你们知道一共要设计多少种票吗?我们来选取几个站点设计一下试试看,从青鱼嘴站开往梅苑小区站。青鱼嘴站 楚河汉街站 洪山广场站 中南路站 梅苑小区站 师:你们会吗?生:我会。师:真棒!你来说说,你是怎么做的?生:4+3+2+1=10 种师:非常正确,这就是我们根据 线段的基本段数进行分类得到的! 实际上, 这道题我们还可以用排列组合的方法做出来,你们会吗 ?生:从 5 个站里面选 2 个出来设计一种票,所以是 =10 种25C师:同学们,真棒!几何计数是小学奥数中比 较有特色的一部分内容,很有趣味,但是 难度跨度也很大,掌握起来并不容易。本讲需要同学 们充分利用前面已学的加法乘法原理,以及排列组合的知识来解决几何图形中的计数问题。二、新知探究模块一、数三角形(分类思想)例 2、数一数,图中有多少个三角形?分析:根据三角形边长的大小进行分类,要注意倒着的三角形。解答:边长为 1:1+3+5+7+9+11 =36 个边长为 2:1+2+3+4+5+1+2+3=21 个边长为 3:1+2+3+4+1 =11 个边长为 4:1+2+3 =6 个边长为 5:1+2 =3 个第五讲 计数问题之几何计数2边长为 6: 1 个总共: 36+21+11+6+3+1=78 个练:1、数一数图中共有多少个三角形?方法一:按照基本图形块数进行分类:一块的:4 个两块的:7 个三块的:2 个四块的:4 个六块的:2 个八块的:1 个总共:4+7+2+4+2+1=20 个方法二:分为两层,2 =20 个25C2.图中的正五边形中能数出多少个三角形来?解答:根据块数:一块:10 个两块:10 个三块:10 个五块:5 个总共:10+10+10+5=35 个总结:一般的,按照基本图形大小分类数图形是几何计数最基本的一种方法模块二、数长方形(四边形)例 1、求图中一共有多少条线 段?求图中一共有多少个矩形?分析:长方形的线段来源于两部分:长和宽的;矩形个数可以利用乘法原理先确定长再选取宽。解答:线段:4 +5 =70 条25C4矩形: =60 个第五讲 计数问题之几何计数3总结:一般的,对于任意长方形(平行四边形) ,若其横边上共有 n 条线段,纵边上共有 m 条线段,则图中共有长方形(平行四边形) mn 个例 3、右图是一个长为 9,宽为 4 的长方形网格,每一个小格都是一个正方形,那么:(1)从中可以数出多少个矩形?( 2)从中可以数出多少个正方形?(3)从中可以数出包含黑点的矩形有多少个?正方形有多少个?分析:包含黑点的矩形个数,先找最小的矩形,再考虑将其一条对角线延伸,如下图对角线上两个端点只要分 别在两个红色区域内均 满足。解答:(1)矩形: =450 个2510C(2)根据正方形的边长分类:49+38+27+16=80 个(3)包含黑点的矩形:818=144 个包含黑点的正方形:根据边长分类:1+4+4+4=13 个例 4、如图,其中同时包括两个的长方形有 24 个。分析:先找最小的符合要求的长方形,然后再延伸对角线。如下图所示,共 46=24 个。例 5、图中一共包含多少个矩形?多少个正方形?第五讲 计数问题之几何计数4分析:可以看成是 和 两个基本图形组成,重合了 部分。解答:矩形: + - =135 个246C273243C正方形:21+11+3=35 个例 6、图中的木板上钉着 12 枚 钉子,排成三行四列的 长方 阵。那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形?分析:三角形有三个顶点,即从 12 个点中选取 3 个,再排除 3 点共线的情况,3 点共线有横竖斜 3 种情形。解答: - - -4=200 个12C43总结:对于一些复杂几何计数问题,我们可以利用容斥原理的思想(包含与排除)来帮助我们解决例 7、如下图,8 枚圆形棋子放在 44 的棋盘中,用不同的方法连接各棋子的圆心,可以得到三种位置且大小不同的正方形。如果棋盘上每个格都放一枚圆形棋子(如 图),用不同的方法 连接各枚棋子的圆心,那么出现与左下图那样的位置不同(不论大小是不是相等)的正方形一共有_20_个。分析:根据正方形边长进行分类考虑。解答:(1) 这样的有 9 个第五讲 计数问题之几何计数5(2) 有 4 个(3) 有 4 个(4) 有 2 个(5) 有 1 个总共 9+4+4+2+1=20 个总结:根据边长的大小进行分类,也可以解决四边形计数问题师:同学们,你今天有什么收获?生:我会数三角形生:长方形、正方形师:真不错!老师还是要强调一下:一定要完全掌握加乘原理以及排列组合基本知识,同学们在解决计数问题时要渗透分类以及利用容斥原理等思想。3、板书设计:几何计数1、数三角形(分类思想) 例题按照基本图形大小进行分类2、数四边形1、加乘原理2、容斥原理3、根据边长分类四、课后练习练习巩固1、在下图中,不包含的长方形有_个。第五讲 计数问题之几何计数6 -916=297 个27C2、图中含有“ ”的长方形总共有_个。24=8 个3、下图中共有_个正方形。(16+9+4+1)5-(4+1 )4=130 个4、如图,线段 AB、BC、CD、DE 的长度都是 3 厘米。请问:图中一共有多少条线段?这些线段的长度之和是多少厘米?=10 条,3(4+6+6+4 )=60 厘米25C5、小明把巧克力棒摆成了如图 所示的形状,其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问:(1)一共有多少个巧克力棒?(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形?(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边),剩下的图形中还有多少个三角形?(1)103=30 根;(2)16+7+3+1=27 个(3)27-5=22 个6、如图,在一个 44 的方格表中,共有多少个正方形?第五讲 计数问题之几何计数716+9+4+1=30 个7、如图,数一数图中一共有多少条线段?多少个矩形?4+ 5=70 条25C4 =60 个8、如图 1
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