江苏省南京市江宁高级中学10-11学年高二下学期期末考试(数学)

1i0s是输出 i结束否2 ,1ias输入 , 开始 ias南京市江宁高级中学 2010-2011 学年第二学期高二年级期末考试数学试卷 命题人葛寄宇 2011 年 7 月 2 日（满分 160 分 时间 120 分钟）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。1.已知集合 ， ，且 ，则 等于 0,1A,03BaABa2已知复数 zi，则 2z的模为 3.已知 4cos()5，则 cos 4.样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在 内的频数为 6,10)5.已知等比数列 na中，各项都是正数，且 231,a成等差数列，则 8967a等于 6. “直线： 01)(yx与直线： 0yax平行”的充要条件是 7.若双曲线 的离心率为 ，则 = .2,ab2b8.函数 sin0,fxAx的图象如图所示，则 .9设变量 , 满足约束条件xy1,2,xy则目标函数 的最大值为 2z10.右图是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入 ，则输出的 的值是 )( 1sinNiaii11.给定下列四个命题：分别与两条异面直线都相交的两直线一定是异面直线；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一条直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。- 2 -其中，为真命题的序号为 12.由“直角三角形两直角边的长分别为 a,b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线可求得该直角三角形外接圆的半径 ”。对于“ 若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，侧棱长分2bar别为 a,b,c”，类比上述的处理方法，可得三棱锥的外接球半径为 R= .13. 外接圆的半径为 ，圆心为 ，且 ， ，则ABC1OABC0|OAB等于 14.直线 ykx与曲线 |ln2|xye有 3 个公共点时，实数 k的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15 （本小题满分 14 分）已知锐角ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 .且 .,abc22()tan3Abc（1）求角 A 的大小;（2）求 的值.sin(10)3tan(10)16.（本小题 14 分）在正三棱柱 1ABC中，点 D是 BC的中点，1B（1 ）求证： 平面 1；（2 ）试在棱 1C上找一点 M，使 1BA17. （本小题满分 14 分）如图 1， ， 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段 和曲线段 分别OABCDEF是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥 上某点 分别修建与M， 平行的栈桥 、 ，且以 、 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGKMK。建立如图 2 所示的直角坐标系，测得线段 的方程是 ，GK 20(2)xyx曲线段 的方程是 ，设点 的坐标为 ，记 。 （题中所EF0(54)xyx(,)stzst涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）DC1B1A1CBA（1 ）求 的取值范围；z（2 ）试写出三角形观光平台 面积 关于 的函数解析式，并求出该面积的最小值。MGKMGKSz18.（本小题 16 分）已知椭圆 C：21(0)xyab，点 A、B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点，直线 AB与圆 G： 224c（ 是椭圆的焦半距）相离，P 是直线 AB 上一动点，过点 P 作圆 G 的两切线，切点分别为 M、N（1 ）若椭圆 C 经过两点 2(1,)3、 (,1)，求椭圆 C 的方程；（2 ）当 c为定值时，求证：直线 MN 经过一定点 E，并求 OP的值（O 是坐标原点） ；（3）若存在点 P 使得PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围yxNMBA OP19. （本小题满分 16 分）设等比数列 的首项为 ，公比为 为正整数） ，且满足 是 与 的等差na12(q3a185GDBFECAOxy图 2DBFECAO图 1- 4 -OA BDFEC中项；数列 满足 。nb2 *3()0(,)2nntbtRN（1 ） 求数列 的通项公式；a（2 ） 试确定实数 的值，使得数列 为等差数列；tn（3） 当数列 为等差数列时，对每个正整数 ，在 和 之间插入 个 2，得到一nbkka1kb个新数列 。设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 。cnTnc1mTcm20. （本小题满分 16 分）已知函数 是偶函数，a 为实常数。bxf21)(（1 ）求 b 的值；（2 ）当 a=1 时，是否存在 ，使得函数 在区间 上的函数值组成的0mn()yfx=mn，集合也是 ，若存在，求出 m，n 的值，否则，说明理由；，（3）若在函数定义域内总存在区间 (mn)，使得 在区间 上的函数值()yfx，组成的集合也是 ，求实数 a 的取值范围，附加题部分21.（选做题）从 A，B，C ，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分21.A 选修 41 几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦 BD、CA 的延长线相交于点 E， EF 垂直 BA 的延长线于点 F。（1 ）求证：DEA= DFA;（2 ） 。F221B（4-2 矩阵与变换，本题满分 10 分）已知矩阵 A将点 (1,0)变换为 (2,3)，且属于特征值 3的一个特征向量是 1，求矩阵 A21C （4-2 极坐标与参数方程，本题满分 10 分）椭圆中心在原点，离心率为 12，点 (,)Pxy是椭圆上的点，若 23xy的最大值为 10，求椭圆的标准方程21.D 选修 45 不等式选讲已知函数 ()12fxx， 不等式 ()tfx在 R上恒成立（1 ）求 t的取值范围；（2 ）记 的最大值为 T，若正实数 ,abc满足 22bcT，求 2abc的最大值二、必做题 本大题共有 2 小题，每题 10 分，共 20 分。22. （本小题满分 10 分）一个口袋装有 5 个红球，3 个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出 3 个球，其中白球的个数为 .X求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；求 的分布列及 的数学期望.23. （本小题满分 10 分）如图，在棱长为 3 的正方体 中， .1ABCD1AECF求两条异面直线 与 所成角的余弦值；1E- 6 -姓名_班级_学号_装订线求直线 与平面 所成角的正弦值.1AC1BEDF2010-2011 学年第二学期高二年级期末考试数学答卷纸 7/2/2011一.填空题(本题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分)1._ 2._ 3._4._ 5._ 6._7._ 8._ 9._10._ 11._ 12._13._ 14._二.解答题15. (本小题 14 分)16. (本小题 14 分)DC1B1A1CBA17. (本小题 14 分)18. (本小题 16 分)yxNMBA OPGKMDBFECAOxy图 2DBFECAO图 1- 8 -19(本小题 16 分)20(本小题 16 分) 装订线姓名_班级_学号_装订线2010-2011 学年第二学期高二年级期末考试数学附加题答卷纸 7/2/201116. (本小题 14 分)选第 题选第 题- 10 -2010-2011 学年第二学期高二年级期末考试23、 23、 22、数学试卷答案 命题人葛寄宇（满分 160 分 时间 120 分钟）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。1.-2； 2.2； 3 ；4 .64； 5 6 .7. ；8. ； 9. 5；10.21； 72321a3411. 、 ；12. ；13.3；14 （0，1 ）cba二、解答题：15解:(1)由已知: 2costan2si3AbcAc , 锐角ABC , 7 分3sin(2)原式= cos503ini70(1tan50)si7= 2cos621isin = 14 分i450n016 （1）证明：连接 ，交 于点 , 连接 .1AB1OD 、 分别是 、 的中点，ODC 3 分1AC 平面 ， 平面 ，1BO1ABD 平面 6 分1D（2） 为 的中点 7 分M1C证明如下：在正三棱柱 中， ，四边1AB1BC形 是正方形1 为 的中点， 是 的中点， ，9 分MCD1DBCM ， 1B1BC O MDC 1B1 A1 CB A- 12 -又 ，112BD， 11 分CM1BMD 是正三角形， 是 的中点，AC 平面 平面 , 平面 平面 ， 平面 ，B1A1BCADBC 平面 D 平面 ，M1C 13 分AB ，1 平面 D 平面 ，1AB1 14 分M17. （本小题满分 15 分）17.解：（1）由题意，得 在线段 CD： 上，即 ，(,)Mst20(2)xyx20st又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK，所以 510s2()(10)5,12ztss所以 的取值范围是 。 7 分75z（2）由题意，得 ,所以0(,)()KsGt1120140()()22MGSststtGKMDBFECAOxy图 2DBFECAO图 1则 ， 14075(),022MGKSzz 因为函数 在 单调递减 (4)z ,所以当 时，三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米。 14 分50z18.yxNMBA OP18解：（1）令椭圆 ，其中 ，21mxny21,mnab得 ，所以 ，即椭圆为 4 分392714n,942194xy（2 ）直线 ，:xyABab设点 ，则 中点为 ，0(,)P,OP0(,)2xy所以点 所在的圆的方程为 ，,MN22000()4yx化简为 ， 6 分2200xy与圆 作差，即有直线 ，24c20:4cMNxy因为点 在直线 上，所以 ，0(,)PxyAB1ab- 14 -所以 ，所以 ，20()()04bcxya204bxyac得 ，故定点 ， 9 分22,cxyb2(,)Eab 220(,)(,)4cOPExa10 分（3）由直线 AB 与圆 G： （ 是椭圆22cxy的焦半距）相离，则 ，即 ， ，2abc224()abc2224()()acac得 460e因为 ， 所以 ， 12 分1235e连接 若存在点 使 为正三角形，则在 中，,ONMPPMNRtOPN，2Prc所以 ， ，ab22()ab，得222()()cc42310e因为 ，所以 ， 15 分01e235由， ，2所以 16 分510e19.解： （1）由题意 ，则 ，解得 或31568a2468q2q2因为 为正整数，所以 ，qq又 ，所以 。12a*()nN（2）当 时， 得 ，n130,2tb124bt同理： 时，得 ； 时，得 ，64tn3t则由 ，得 。132b3t而当 时， ，得 。t()02nnb2nb由 ，知此时数列 为等差数列。1n（3）由题意知，12342567893,2,8,cacacca则当 时， ，不合题意，舍去； m1T当 时， ，所以 成立； 223ccm当 时，若 ，则 ，不合题意，舍去；从而 必是数列 中的某31m1m 1mcna一项 ，1ka则 12342 22km kbbb bTaaa 个 个 个 个313()()k k ，2(2)k k又 ，所以 ，112kmkca 1k12k即 ，所以 ，20k 2()因为 为奇数，而 为偶数，所以上式无解。*()N1k即当 时， 。 312mTc综上所述，满足题意的正整数仅有 。220.解：(1)由已知可得， ，且函数的定义域为 D= 1()|fxab()()2b， ，又 是偶函数，故定义域 D 关于原点对称()yf- 16 -于是， b=0( )2bbD否 则 ， 当 0时 ， 有 -且 ， 即 必 不 关 于 原 点 对 称又对任意 ()0.xDfx， 有 ， 可 得因此所求实数 b=0（2）由(1)可知， 1()()()2|fxa， ，考察函数 的图像，可知：()|f()(0)fx在 区 间 ， 上 是 增 函 数 ，又 ， 在区间 上是增函()fx在 区 间 ， 0上 是 减 函 数 0mnyf=mn，数。因 在区间 上的函数值组成的集合也是 ，yf=m， n有 即方程 ，也就是 有两个不相等的正根。,21nx21012x，此方程无解。故不存在正实数 m,n，满足题意。084(3) 由(1)可知， 1()(0)()2|fxaD， ，考察函数 的图像，可知：()|f()()fx在 区 间 ， 上 是 增 函 数 ，()fx在 区 间 ， 0上 是 减 函 数因 在区间 上的函数值组成的集合也是 ，故必有 ()yf=mn， mn，n、 同 号当 时， 有 ，即方程0()fx在 区 间 ， 上 是 增 函 数 ， 12an，也就是 有两个不相等的正实数根，因此 ，12xa210xa2048a解得 2()10)mnxa此 时 ， 、 取 方 程 的 两 根 即 可当 时，0有()fx在 区 间 ， 上 是 减 函 数 ，化简得 ，解得12anm()0na10() 0)2amnn此 时 ， 、 的 取 值 满 足 ， 且 即 可综上所述，所求实数 0aa的 取 值 范 围 是 或附加题部分21.（选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分21.A 选修 41 几何证明选讲证明：（1）连结 AD，AB 为O 的直径，ADB=90,。又EFAB，EFA=90，A、D、E、F 四点共圆，DEA=DFA 。（2）由（1）知， ， BEA又ABCAEF， ，即 ，CFACF = ，ABDF 2)(BE故 。221 B解：设 ，由 得， ， 5 分abcd1203cac由 得， ，所以13cabcd20bd所以 10 分230A21 C解：离心率为 ，设椭圆标准方程是 ，122143xyc它的参数方程为 是参数 5 分cos3inxy()OA BDFEC- 18