《高等数学b》第十章___微分方程与差分方程__第8节__二阶常系数线性差分方程

第八节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为(1)其中 a , b 为常数 , 且 b 0 , f ( x ) 为 x 的已知函数 . 当 f ( x ) 0 时 , 称方程 为二阶常系数齐次线性差分方程 . 下面介绍它们的求解方法 . 若 f ( x ) 0 , 则称方程 (1) 为二阶常系数非齐次线性差分方程 . 对于二阶常系数齐次线性差分方程(2)根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，即得通解 . 显然 , 原方程 (2) 可以改写成 (3)由此我们可以看出 , 可用指数函数 来尝试求 , 看是否可以找到适当的常数 , 使 满足方程 (2) . 令 , 代人方程 (2) , 得 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解又因 , 即得 (4)称它为齐次方程的 特征方程 , 特征方程的根简称为特征根 , 由此可见 , 为齐次方程 (2)的特解的充要条件为 是特征方程 (4)的根 . 和二阶常系数齐次线性微分方程一样 , 根据特征根的三种不同情况 , 可分别确定出齐次方程 (2)的通解 . 1. 若特征方程 (4)有两个不相等的实根 与 , 此时 与 ; 是齐次方程 (2)的两个特解 , 且线性无关 .于是齐次差分方程 (2)的通解为 ( 为任意常数 ) 2. 若特征方程 (4) 有两个相等的实根此时得齐次差分方程 (2) 的一个特解 为求出另一个与 线性无关的特解 , 不妨令( 不为常数 ) , 将它代人齐次差分方程 (2) 得由于 , 故 将之改写为 即由于 是特征方程 (4) 的二重根 , 因此 且, 于是得出 显然 是可选取的函数中的最简单的一个 , 于是可得差分方程 (2) 的另一个解为 从而差分方程 (2) 的通解为 ( 为任意常数 ) 3. 若特征方程 (4) 有一对共轭复根 这时 , 可以验证差分方程 (2) 有两个线性无关的解 : 其中 , 从而差分方程 (2)的通解为 ( 为任意常数 ) 从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性 微分方程 的步骤完全类似，我们将它总结如下 : 第一步 写出差分方程 (2) 的特征方程 (4)第二步 求特征方程 (4) 的二个根第三步 根据特征方程 (4) 的两个根的不同情形，写出差分方程 (2) 的通解 . (可见教材 的表 )例 1 求差分方程 的通解 . 解 特征方程 有两个不相等的实根 从而原方程的通解为 ( 为任意常数 ) 例 2 求差分方程 的通解 . 解 原方程可改写成如下形式 它有两个相等的实根 所以原方程的通解 为 ( 为任意常数 ) 其特征方程为 例 3 求差分方程 的满足初始条件 的特解 . 解特征方程为先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，特征方程的根为 于是故原方程的通解为 ( 为任意常数 ) 由初始条件 得 故所求特解为 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对于二阶常系数非齐次线性差分方程 (1)根据通解的结构定理 , 求差分方程 (1)的通解 , 归结为求对应的齐次方程 的通解和非齐次方程 (1)本身的一个特解 . 由于二阶常系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决 , 所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程的一个特解 的方法 . 在实际经济应用中 , 方程 (1) 的右端 f ( x ) 的常见类型是 ( 为常数 , 0 且 1 )两种类型 .( 表示 n 次多项式 )及下面我们介绍用待定系数法求 f ( x ) 为上述两种情形时 的求法 .此时 , 方程 (1) 为 可改写为 设 是它的解 , 代人上式 , 即得 由于 是一个已知的多项式 , 因此 应该也是一个多项式 . 由于齐次方程 (2) 的特征方程为 因此 (1) 若 1 不是特征方程的根 , 即 1 + a + b 0 , 那么说 明 应是一个 n 次多项式 , 于是令把它代入方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可求出 从而求得(2) 若 1 是特征方程的单根 , 即 1 + a + b 0 , 且 2 + a 0 , 那么 是一个 n 次多项式 , 即说明 应是一个n + 1 次多项式 , 于是令 将之代人方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可确定出 从而求得(3) 如果 1 是特征方程的二重根 , 即有 1 + a + b = 0 , 且 2 + a = 0 , 那么 应是一个 n 次多项式 , 即说明应是一个 n + 2 次多项式 , 于是令 把它代人方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可确定从而可求得综上所述 , 可得如下结论 : 如果 , 则二阶常系数非齐次线性差分方程 (1) 具有形如的特解 , 其中 是与 同次 ( n 次 )的待定多项式 ,而 k 的取值如下确定 :(1) 若 1 不是特征方程的根 , 是 k = 0 ; (2) 若 1 是特征方程的单根 , 是 k = 1 ; (3) 若 1 是特征方程的二重根 , 是 k = 2 . 例 4 求差分方程 的通解 . 解 (1) 先求对应的齐次方程 的通解 特征方程为 特征方程的根为 于是 (2) 再求原方程的一个特解 由于 1 不是特征方程的根 , 于是令 代人原方程得 解得 于是 (3) 原方程的通解为 ( 为任意常数 ) 例 6 求差分方程 的一个特解 . 解 所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为 由于 1 是特征方程的二重根 , 于是令特解为 代人原方程得 解出 a = 4 . 于是 ( 为常数且 0 , 1 ) 此时 , 方程 (1) 成为引入变换 , 令 则原方程化为 即这是右端为一个 n 次多项式的情况 . 按前面所讨论的方法 , 即可求出 从而 例 6 求差分方程的通解 . 解 (1) 先求对应的齐次方程 的通解 其特征方程为 特征方程的根为 故 (2)