实际问题与一元二次方程增长率

把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译 ”为一元二次方程。列方程解一些实际问题的过程是一个 “数学建模 ”的过程，这个过程中常常需要 文字 语言、 图形 语言、 符号 语言的相互转换 1.(P53-6)要组织一场篮球联赛 , 每两队之间都赛 2场 ,计划安排 90场比赛 ,应邀请多少个球队参加比赛 ?2.(P34-7)参加一次聚会的每两人都握了一次手 ,所有人共握手 10次 ,有多少人参加聚会 ?两年后甲种药品成本为两年后甲种药品成本为 _ 元元 ,则一年后甲种药品成本为则一年后甲种药品成本为 _元元 ,两年前生产 1吨甲种药品的成本是 5000元 ,生产 1吨乙种药品的成本是 6000元 ,随着生产技术的进步 ,现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000元 ,生产 1吨乙种药品的成本是 3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 解解 :设甲种药品成本的年平均下降率为设甲种药品成本的年平均下降率为 x,5000(1-x)5000(1-x)2依题意得依题意得解方程解方程 ,得得答答 :甲种药品成本的年平均下降率约为甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%.P49算一算算一算 :乙种药品成本的年平均下降率是多少乙种药品成本的年平均下降率是多少 ?22.5%两种药两种药品成本的品成本的年平均下年平均下降率降率 相同相同.两年前生产 1吨甲种药品的成本是 5000元 ,生产 1吨乙种药品的成本是 6000元 ,随着生产技术的进步 ,现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000元 ,生产 1吨乙种药品的成本是 3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大 ? 经过计算经过计算 , 成本下降额较大的药品成本下降额较大的药品 ,它的成本下降它的成本下降率一定也较大吗率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况应怎样全面地比较对象的变化状况 ?经过计算经过计算 ,成本成本 下降额下降额 较大的药品较大的药品 ,它的成本它的成本 下降率下降率不一定较大不一定较大 ,应比较降前及降后的价格应比较降前及降后的价格 .甲种药品成本的年平均甲种药品成本的年平均 下降额下降额 为为 (5000-3000)2=1000(元元 )乙种药品成本的年平均乙种药品成本的年平均 下降额下降额 为为 (6000-3600)2=1200 (元元 )乙种药品成本的年平均下降额较大乙种药品成本的年平均下降额较大 .但是但是 ,年平均下降额年平均下降额 (元元 )不等同于不等同于 年平均下降率年平均下降率 (百分数百分数 )下降率类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在 ,有一定的模式若平均增长 (或降低 )百分率为 x,增长 (或降低 )前的是 a,增长 (或降低 )n次后的量是 b,则它们的数量关系可表示为其中增长取 +,降低取 解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1.某厂今年一月的总产量为 500吨 , 三月的总产量为 720吨 ,平均每月增长率是 x , 列方程 ( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500B巩固练习A 、 50 (1+x)2=175B 、 50+ 50(1+x)2=175C 、 50 (1+x) +50 (1+x)2=175 D 、 50+50 (1+x) +50 (1+x)2=175D巩固练习2.某经济开发区今年一月份工业产值达 50 亿元，第一季度总产值 175亿元 .问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率是 x, 根据题意得方程为 ( )3.某校去年对实验器材的投资为 2万元 ,预计今明两年的投资总额为 8万元 ,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x,则可列方程为 .小试牛刀A(1+x)2=BA(1-x)2=B如何解增长率问题 ?(1)原来数量为 A,后来数量 B,经过某两个 时间单位 ,求增长率 (降低率 ) x.(2)某季度数量为 B,头一个月数量为 A,求后两个月的增长率 x .A+A(1+x)+A(1+x)2=BD（ 2008年泰州市） 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60元降至现在的 48.6元，则平均每次降价的百分率是 _ （ 2008襄樊市） 某种商品零售价 经过 两次降价后的价格 为 降价前的 81% ， 则 平均每次降价（ ）A B C某企业前年年初投入 100万元生产农机设备，又将前年年底获得的利润与年初投资的和作为去年年初的投资 .到去年年底，两年共获利润 68.75万元 .已知去年利润增长率比前年利润增长率多 10个百分点，求前年和去年的利润增长率 .增长利润利润基数 利润增长率解：设 前年利润增长率为 x，则去年的利润增长率为 x+0.1.100x+100(1+x)(x+0.1) =68.75 x1 = 0. 25, x2 = 2.35 (不合题意 ,舍去 ) .某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到 580元设平均每次降价的百分率x为，则下面列出的方程中正确的是（ ） 实得年利率为(1- 20 )x某人将 1000元人民币按一年定期存入银行，到期后将本金和利息再按一年定期存入银行，两年后本利和共 1031.931元 .问这种存款的年利率是多少？（注意，所获利息应扣除的 20利息税 ,1.031931=1.01584）解 :设这种存款的年利率是 x根据题意得 1000 1+(1-20 )x 2=1031.9311直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式是什么？某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2,上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m求渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ 解： 设渠深为 xm，则上口宽为 (x+2) m, 渠底为(x+0.4) m ，根据题意得整理，得： 5x2+6x-8=0解得： x1=0.8m， x2=-2（不合题意 ,舍去） 上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m小试牛刀分 析： 因为渠深最小，为了便于计算不妨设渠深为 xm，则上口宽为 (x+2) m,渠底为 (x+0.4) m,那么 ,根据梯形的面积公式便可建模一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为 8m，宽为 5m如果地毯中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽 ?5xxxx（ 8 2x）（52x）818m2一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为 8m，宽为5m如果地毯中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽 ?解：如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为 _m宽为 _m 根据题意，可得方程： (8 2x) (5 2x) = 18（ 8 2x）（ 5 2x）（ 2008年白银等九市）如图 17 ，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边 如图 17 ，地毯中央的矩形图案长 6米、宽 3米，整个地毯的面积是 40平方分米 求花边的宽 图 1763要设计一本书的封面，封面长 27cm ,宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？如何理解 “正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 ”？你认为最关键的是哪句话？分析 :这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为 9:7要设计一本书的封面，封面长 27cm ,宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？解法一 :设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm，故上下边衬的宽度为 :左右边衬的宽度为 :解得 依题意得答： 要设计一本书的封面，封面长 27cm ,宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？解得 依题意得分析 :这本书的长宽之比是 9:7,正中央的矩形两边之比也为 9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为 9:7解法二 :设上下边衬的宽为 9xcm，左右边衬宽为 7xcm(以下同学们自己完成 )方程的哪个根合乎实际意义 ?为什么 ?有一张长方形桌子，它的长为 2m ,宽为 1m.有一块长方形台布，它的面积是桌子面积的 2倍，将台布铺在桌面上时，各边垂下的长相等 .求这块台布的长和宽（均精确到 0.01m） .解：设台布各边垂下的长为 xm，则台布的长为（ 2x+2） m, 宽为 (2x+1)m，根据题意，得整理，得解得 （不合题意，舍去） .答：台布的长约为 2.56m,宽约为 1.56m.某校为了美化校园 ,准备在一块长 32米 ,宽 20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路 ,余下部分作草坪 ,并请全校同学参与设计 ,现在有学生设计了一种方案 (如图 ),根据设计方案列出方程 ,求图中道路的宽是多少时可使草坪的 面积 为 540米 2.则横向的路面面积为 ，分析 :此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于 540米 2.解法一、32x 米 2纵向的路面面积为 .20x 米 2注意 :这两个面积的重叠部分是 x2米 2图中的道路面积是 米 2。如图，设道路的宽为 x米，所列的方程为整理，得解得 其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去 .取 x=2时 ,草坪面积为 : (米 2)答 :所求道路的宽为 2米。解法二：我们利用 “图形经过移动，它的面积大小不会改变 ”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原