函数的连续性

函 数 增量的 概 念设变 量 从它 的一 个 初 值 变 到 终值 则称与 初 值 的差 为变 量 的 增量 (改 变 量 ),记 作 即增量 可以是正的 , 也可以是 负 的 . 当 为 正时 , 变 量 的 终值 大于初 值当 为负时 , 小于初 值注 : 而是一 个 不可分割的记号 不是 与 的 积 ,记号 .设 函 数 在点 的某一 领 域 内 有定 义 1定 义 .个领 域 内从 变 到 )时 ,相 应 地 , 函 数从 变 到 则称为 函 数 的 对应 增量当 自 变 量 在 处 取得增量 (即 在 这连续 函 数 的 概 念设 函 数 在点 的某一 领 域 内 有定 义 .定 义 2如果 当 自 变 量在点 的增量 趋 于零 时 ,函 数对应 的增量 也 趋 于零 , 即或则称 函 数 在 处 连续 , 称为 的 连续 点 .注 : 该 定 义 表明 , 函 数 在一点 连续 的本 质 特征是 :自变 量 变 化很小 时 , 对应 的函 数值 的 变 化也很小 .例如 , 函 数 在点 处 是 来连续 的 , 因 为在定 义 2中 , 若令 即则当 时 ,即 当 时 ,有因而 , 函 数 在点 处连续 的定 义 又可 叙 述如下 :定 义 3 设 函 数 在点 的某一 个领 域 内有定 义 . 如果函 数 当 时 的 极 限存在 ,且等于 它 在点 处 的函 数值 即则称 函 数 在点 处 连续 .例 1 试证 函 数在 处连续 .证又由定 义 2知， 函 数 在 处连续 .函 数 的左 连续与 右 连续若函 数 在 内 有定 义 ,且则称 在点 处 左 连续 ;若函 数 在 内 有定 义 ,且则称 在点 处 右 连续 .定理 1 函 数 在 处连续 的充要 条 件是函 数 在 处既 左 连续 又右 连续 .例 2 讨论 在处 的 连续 性 .解右 连续 但不左 连续 ,故函 数 在点 处 不 连续 .例 3 已知函 数在点 处连续 ， 求 的 值 .解因 为 点 处连续 ， 则即连续 函 数与连续区间在 区间内 每一点都 连续 的函 数 ,叫做在 该区间内的 连续 函 数 ,或者 说 函 数 在 该 区间内连续 .如果函 数 在 开区间 内连续 ,并 且在左端点处 右 连续 ,在右端点 处 左 连续 ,则称连续 函 数 的 图 形是一 条连续 而不 间断 的曲 线 .例如 ,有理整函 数 在 区间 内 是 连续 的 .函 数 在 闭区间 , ba 上 连续 .例 4证即函 数 对 任意 都是 连续 的 .证 明函 数 在 区间 内连续 .当 时 ，例 5 讨论 在处 的 连续 性 .解所以 , 的左、右 极 限存在但不相等 .即 在点在点 处 不 连续 .函 数例 6解讨论 函 数在 处 的 连续 性 .所以 在 处不连续例 7处 的 连续 性 .解讨论 函 数 在因 为在即 的右 极 限不存在 .例 8 讨论 函 数解在 处 的 连续性 .在 处没 有定 义 , 且不存在 .所以 , 函 数 处 不 连续 .例 9 取何 值时 ，在 处连续 .解要使 必 须故 当 且 仅当 时 ， 函 数 处连续 .在连续 函 数 的四 则运 算定理 1 若函 数 在点 处连续 ,则在点 处 也 连续 .例如 , 在 内连续 ,故在其定 义 域 内连续 .复 合函 数 的 连续 性定理 3 设 函 数 在点 处连续 ,且而函 数 在点 处连续 ,则复 合函 数 在点 处 也 连续 .例如 , 在 内连续 ,函 数在 内连续 ,函 数在 内连续 .所以注 : 根据 这个 定理 , 求 复 合函 数 的 极 限例 10求解初等函 数 的 连续 性定理 4 一切初 级 函 数 在其定 义区间内 都是 连续 的 .定理 4的 结论 非常重要 , 因 为 微 积 分的 研 究遇到的函 数 基本上是初等函 数 ,其 连续 性的 条 件 总 是 满 足的 ,从 而使微 积 分具有强大的生命力和广 阔 的 应 用前景 . 此外 , 根据定理 4, 求初等函 数 在其定 义区间内 某点的 极 限 ,只需求初等函 数 在 该 点的函 数值即 定 义区间 ).例 11 求因 为 是初等函 数 , 且 是其定义区间内 的点 ,所以 在点 处连续 ,于是最大 值 和最小 值 定理定 义 对 于在 区间 上有定 义 的函 数 如果有 使得 对 于任一 都有则称 是函 数 在 区间 上的最大 (小 )值 .例如 ,在 上 ,在 上 ,定理 5(最大 值 和最小 值 定理 )在 闭区间 上 连续 的函 数 一定有最大 值 和最小 值 .定理 6(有界性定理 )在 闭区间 上 连续 的函 数 一定在 该区间 上有界 .零点定理定 义 如果 使 则 称为 函 数的零点 .定理 7(零点定理 )设 函 数 在 闭区间 上 连续 ,且 与 异号 (即即至少有一点 使那 么 在 开区内 至少有函 数间 的一 个 零点 ,即方程 在 内 至少存在一 个实 根 .例 12证证 明方程少有一 个实 根 .令则 在 上 连续 .又由零点定理 , 使即方程根在 区间 内 至在 内 至少有一 个实内 容小 结1. 函 数 的 连续与间断连续 函 数 的 概 念函 数 的左 连续与 右 连续连续 函