应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第三章部分习题解答

应用多元统计分析第三章习题解答1第三章 多元正态总体参数的假设检验3-1 设 X Nn(,2In), A为对称幂等阵 ,且 rk(A)=r(rn),证明证明 因 A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非 0即 1,且只有 r个非 0特征值，即存在正交阵 (其列向量 ri为相应特征向量 )，使2第三章 多元正态总体参数的检验3其中非中心参数为第三章 多元正态总体参数的检验43-2 设 X Nn(,2In), A， B为 n阶对称阵 .若 AB 0 ,证明 XAX与 XBX相互独立 . 证明的思路： 记 rk(A)=r. 因 A为 n阶对称阵 ,存在正交阵 ,使得 A=diag(1, r 0,0)令 Y X， 则 Y Nn( ,2In), 第三章 多元正态总体参数的检验且5又因为X BX=Y B Y= Y HY其中 H= B 。如果能够证明 X BX可表示为 Yr+1， , Yn的函数，即 H只是右下子块为非 0的矩阵。则 X AX 与 X BX相互独立。第三章 多元正态总体参数的检验6证明 记 rk(A)=r.若 r=n,由 AB O,知 B Onn,于是 XAX与 XBX独立； 若 r=0时 ,则 A 0,则两个二次型也是独立的 .以下设 0 r n.因 A为 n阶对称阵 ,存在正交阵 ,使得第三章 多元正态总体参数的检验7其中 i0 为 A的特征值 (i=1, r).于是令 r第三章 多元正态总体参数的检验由 AB O可得 DrH11 O ， DrH12 O .因 Dr为满秩阵 ,故有 H11 Orr， H12 Or(n-r) .由于 H为对称阵，所以 H21 O(n-r)r .于是8由于 Y1， , Yr ,Yr+1 , Yn相互独立，故XAX与 XBX相互独立 .第三章 多元正态总体参数的检验令 Y X， 则 Y Nn( ,2In), 且9设 X Np(,), 0,A和 B为 p阶对称阵 ,试证明 (X-) A(X-)与 (X-) B(X-)相互 独立 AB 0pp.第三章 多元正态总体参数的检验3-310由 “ 1.结论 6” 知 与 相互独立 第三章 多元正态总体参数的检验11性质 4 分块 Wishart 矩阵的分布 :设 X() Np(0,) ( 1, n)相互独立，其中又已知随机矩阵则第三章 多元正态总体参数的检验试证明 Wishart 分布的性质 (4)和 T2分布的性质 (5).3-412第三章 多元正态总体参数的检验证明 : 设记 , 则即13第三章 多元正态总体参数的检验当 12 =O 时 ,对 1,2, n, 相互 独立 .故有 W11与 W22相互独立 .由定义 3.1.4可知14性质 5 在非退化的线性变换下 ,T2统计量保持不变 .证明 :设 X() ( 1, n) 是来自 p元总体Np(,)的随机样本 , X和 Ax分别表示正态总体 X的样本均值向量和离差阵 ,则由性质 1有第三章 多元正态总体参数的检验令其中 C是 pp非退化常数矩阵， d是 p1常向量。则15第三章 多元正态总体参数的检验所以16第三章 多元正态总体参数的检验3-5 对单个 p维正态总体 Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验 H0:=0(=0已知 )的似然比统计量及分布 .解 :总体 X Np(, 0)( 0 0),设 X()( =1, n) (n p)为来自 p维正态总体 X的样本 .似然比统计量为P66当 =0已知 的检验17第三章 多元正态总体参数的检验18第三章 多元正态总体参数的检验19第三章 多元正态总体参数的检验因所以由 3“一 2.的结论 1”可知20第三章 多元正态总体参数的检验3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验 ) 设总体 XNp(