教师培训课件：数学学习的理论探讨

数学学习的理论选讲一、教师成为研究者20世纪 80年代以来，教师教育出现了一种 “反思性转向 ”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了 “教师即研究者 ”（ Elliott， 1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。 教师即技师（ Teacher as technician）教师即研究者（ Teacher as researcher） 学者教师陈凤洁、黄毅英和萧文强（ 1994）提出了 “学者教师 ”（ scholar teacher）的想法，这种教师勇于迎接时代挑战， “无论对数学、教育及学生特点均能掌握，本身也须为思考者、研究者与课程设计者 ”。萧文强（ 2007）认为，要成为一位 “学者教师 ”，应该有 “处处留心皆学问 ”的情怀，因此，数学教师需要进行数学研究，但这种数学研究与一位数学工作者通常进行的研究虽然精神相同，内容与性质都有别。因为教师必须运用学生懂得的语言去解释，也要照顾到学生的学业程度和知识背景。学者教师的研究数学工作者 中小学数学教师 问题处于学术领域的前沿 在文献上通常找不到答案 尽量把问题表述成一般形式 尽量寻找一般的解答 设法运用任何数学知识、方法与技巧 优美解答是追求的准则 问题源自教学上的需要 在文献上可能找到也可能找不到答案 往往只着意问题的特殊情况 有时对寻找具体的解答更感兴趣 只能运用某些范围内的数学知识、方法和技巧 优美解答不一定是追求的准则，有时貌似 “笨拙 ”的解答反而更派用场教师成为研究者是教师本身专业发展的需要 “教师成为研究者 ”有利于教师去发现和解决发生在自己课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以及提升教育质量。 “研究者 ”与 “教师 ”看问题的视角往往是不一样的， “教师成为研究者 ”有利于促进教师对学生学习的理解。 “学 ”是 “教 ”的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学才能对症下药。在理解学生的学习方面，教师的经验固然重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单纯的经验有时也会将教学引入歧途。 “教师成为研究者 ”有助于促进教师之间、教师与专业研究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流。教师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线。 教师专业发展的必由之路职初教师专家教师合格教师模仿学习实践 +反思问题观点理论视频案例教师成为研究者是教学研究领域的需要 研究风格的转变 自上而下（ 演绎法 ） 自下而上（ 归纳法 ） 定性研究 定量研究 定性研究（ 质的研究 ）v 教育学方法（ 望远镜 ） 心理学方法（ 显微镜 ） 数学教育研究方法（ ？ ）v 理论研究（ 改变理论 ） 实证研究（ 检验假设 ） 行动研究（ 改变行为 ）v 象牙塔（ 独立研究 ） 课堂（ 合作研究 ）v 基于书面资料（ 博览群书 ） 基于因特网（ 搜索与鉴别 ）案例研究成为教师研究的主要途径！教师成为研究者是课程改革的需要 数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内容的新的处理。随之而来的则是一些新的问题和老师们的种种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等。为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论。于是，又形成了新的困惑。无怪乎，台湾的报纸用三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那就是： “忙、盲、茫 ”。要改变这种现象， “教师成为研究者 ”至关重要。因为面对新的情境，老的经验往往并不适用。只有采取研究的态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒。 教师参与研究的程度 汉森（ Henson, 1996）曾将教师参与研究的程度分为三级：1. 第一级为 “协助者 ”（ helper）的角色，即仅提供教室与学生给外来的研究者使用；2. 第二级为 “初级研究者 ”（ junior partner）的角色，即虽共同参与研究，但并不参与任何研究上的决策；3. 第三级为 “实质研究者 ”（ researcher）的角色，即不论单独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的地位。研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改进自身的教学。 几点建议选择一个适合自己的研究方向 数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在 7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。从 “小 ”做起 喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是 “望远镜 ”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是 “显微镜 ”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句话是：文章不在长短，有一得之见即可。这一得之见指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈。我们不能期望一篇短文能够讲出许多的大道理。注意相关文献的积累 做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到： “我认为 ” 这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，像 中学数学月刊 这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累。掌握基本的研究方法 长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了。 增加合作与交流 现代社会越来越强调人与人的合作交流，数学教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。这种做法，于人于己都有益处。 提纲I. 前言II. 范希尔的几何思维水平III. 克鲁切茨基的数学能力心理学IV. 韬尔的高等数学思维研究V. 安德森的 ACT-R理论VI. 杜宾斯基的 APOS理论I. 前言呼唤数学领域自身的学习理论！理论的意义1. 支持预测；2. 为研究提供框架；3. 具有解释的能力；4. 能够应用于广泛的现象；5. 有助于组织对复杂的相关现象的思考；6. 作为数据分析的工具；7. 提供一种深层次的交流观点的语言。数学学习领域的理论建构两条途径： 第一条途径是 “一般学习理论 + 数学例子 ”，也就是将一般的学习原理应用于具体的数学学习情境，然后根据数学学习的特点修正原来的理论，或者提出新的假设去寻找更合适的理论依据。1. 另外一条途径则 源自数学学习中的问题与经验 , 通过建立模型去解释数学学习的心理过程 。这一类研究人员通常是数学专业出生，对数学有较为深入的理解，但在教育学和心理学的理论功底上有所欠缺，其研究的重点主要在于大学生和中学生的数学学习。相比之下，心理学界对数学学习的讨论主要集中在小学阶段。 学习理论研究的趋势：走进课堂三十年前 , 教育工作者们很少关注认知科学家的工作 , 在认知科学研究的初期 , 研究者们的工作是远离课堂的 . 今天 , 认知研究者们更多的是与教师合作 , 在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论 , 因为在教室里 , 他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用 . 摘自 人是如何学习的 II. 范希尔的几何思维水平起因在 50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（ Freudenthal, 1958）。范希尔夫妇（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于 1957年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。 评价前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（ 1959）在 1963年就由皮什卡罗（ A. M. Pyshkalo）作了详尽的报道。 10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在1974年召开的大西洋城 NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普（ Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，并同时介绍了前苏联几何教学的 “惊人进展 ”。威兹普的报告后来以 “几何教学心理学中的一个重大突破 ”为标题发表在Martin 和 Bradbard主编的著作上（ Wirszup， 1976）。 与此 同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平发展的（ Freudenthal, 1973, p123）。所有这一些，使范希尔理论 引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪 80年代几何教学研究的一个热点。 水平的划分层次 0 视觉 ( visuality) 层次 1 分析 (analysis) 层次 2 非形式化的演绎 (informal deduction) 层次 3 形式的演绎 (formal deduction) 层次 4 严密性 ( rigior ) 层次 0 视觉 ( visuality) 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述 . 如：儿童可能会 某个图形是三角形，因为它看起 像一个三明治。层次 1 分析 (analysis) 儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。 如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但 能 解如果内角愈大，则对边愈长的性质。层次 2 非形式化的演绎 (informal deduction) 儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。 如：学生 解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多 一些性质的限制。因此，学童能作一些非正式的说明但还 能作系统性的证明 .层次 3 形式的演绎 学生可以了解到证明的重要性和了解 “不定义元素 ”、 “定理 ”和 “公理 ”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。 层次 4 严密性 在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。水平的修正 （ Van Hiele， 1986） 1. 直观水平 （ visual level） 整体地认识几何对象。 Fuys, geddes, Lovett和 Tischler（ 1988）认为这一阶段是 “学习者依据几何图形的外表来认识，