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M(1)t= M(1)t 1+xt-xt-n/n 市场预测与决策市场预测与决策陈晓慧陈晓慧(8) 2009.1.chap8 趋势外推预测法趋势外推预测法 u趋势外推法概述趋势外推法概述u曲线趋势外推法曲线趋势外推法u增长曲线趋势外推法增长曲线趋势外推法u 趋势外推预测法概述趋势外推预测法概述一、趋势外推法 (Trend extension )1.Concept当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。2. Postulate（ 1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（ 2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。二二 、趋势模型类型、趋势模型类型 (Tend model types)1.多项式曲线多项式曲线 (Multinomial curve)2.指数曲线外推模型指数曲线外推模型一般形式 ：对数曲线3.增长曲线外推法：增长曲线外推法：修正的指数曲线罗吉斯曲线龚珀兹曲线二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分一阶差分环比指数一阶差分环比指数注意：注意：增长曲线模型增长曲线模型 在理论上的变化规律都遵循着一阶在理论上的变化规律都遵循着一阶差分差分 、二阶差分、二阶差分 、三阶差分、三阶差分 、一阶差分、一阶差分 环比指数环比指数为一常数的特征。为一常数的特征。一阶差分一阶差分v差分概念差分概念一、直线趋势外推法一、直线趋势外推法 (Liner tend )1、 principle最小二乘法最小二乘法 (Least square method),将时间序列拟合成一条预测直线趋势，使 预测值 与 实际值 之间的离差和为最小。(t1,y1)(t2,y2) (t4,y4)(t3,y3)ei图 拟合直线方程原理u 曲线趋势外推预测法曲线趋势外推预测法BA设有 n个点即： (t1,y1),(t2,y2),(t n,yn),如图， AB为拟合直线， n个观察值对该直线的离差分别为e1,e2, ,e n。令：ty（ 1）在 Q中 ,描述了直线方程 与 n个观察点的接近程度。误差的大小随直线的位置变化而变化。即 误差误差的值会随着的值会随着 a和和 b变化而变化变化而变化 。即是 a和 b的二元函数。2.forecast model为了使误差最小 ,即 Q为最小值 ;可分别对 a,b求偏导 ,并令其为 0.则有 :（ 2）（ 2）（ 4）（ 5）（ 3）(6)(7)3.拟合直线方程的步骤拟合直线方程的步骤(1)绘制散点图(2)列表计算求待定系数所需的数据(3)确定待定系数 a、 b,建立预测模型(4)用拟合直线方程求预测值Action： 在确定直线方程时 ,时间序列为奇数时 ,取中间数 (n+1/2)的编号为 0,那么 x的编号就构成了以 0中心,的正、负数对称的编号。例如 ,当 n=9时 ,9+1/2=5,那么就可以编成 -4,-3,-2,- 1,0,1, 2,3,4,这时由于 x=0, 可简化计算。此时的 a,b公式为 :某家用电器厂 1994年 2004年利润数据资料如表所示，试预测 2005、 2006年利润各为多少？年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004销 售 额 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020解：解： （ 1）画散点图并观察各个点变化趋势是否可用直线方程来拟合。（ 2）列表计算求待定系数所需要的数据资料，由于时间序列为 11个，即 n+1/2=11+1/2=6。故以1990年为中点编号：-5， -4， -3， -2， -1，0， 1， 2， 3， 4， 5。 1994 1995 1996 1997 1998 1999 12001000800600400200图 直线绘制图表 某家用电器厂 1985年 1995年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元中心中心线性趋势外推法举例线性趋势外推法举例年份 利 润 yi t t tyt 左左边边t t tyt 右右 边边1994 200 -5 25 -1000 191.0 0 0 0 191.01995 300 -4 16 -2000 273.7 1 1 300 273.71996 350 -3 9 -1050 356.4 2 4 700 356.41997 400 -2 4 -800 439.1 3 9 1200 439.11998 500 -1 1 -500 521.8 4 16 2000 521.81999 630 0 0 0 604.5 5 25 3150 604.52000 700 1 1 700 687.2 6 36 4200 687.22001 750 2 4 1500 769.9 7 49 5250 769.92002 850 3 9 2550 852.6 8 64 6800 852.62003 950 4 16 3800 935.3 9 81 8550 935.32004 1020 5 25 5100 1018.0 10 100 10200 1018.0 6650 0 110 9100 55 385 42350表 某家用电器厂 1994年 1904年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元表的以左边 t=0, yt=6650, t=110;tyt =9100.表的右边以 0， 1， ,10对自变量 t 进行编号 ,并求得：t=55, t=385; tyt =42350(3)确定待定系数 ,建立预测模型 按 表的左边 t编号 ,有： a= yt/n=6650/11=604.3;b= ty/ t=9100/110=82.7故左边预测的直线方程为： 按表右边的 x编号方法有：（ 4）用拟合直线方程求预测值分别按左、右边直线方程进行预测结果相同，故拟合直线有效。见表 特点特点（ 1）拟合直线方程的 一阶差分为一常数一阶差分为一常数 ，即：（ 2） 直线外推法直线外推法 只适用 时间序列呈直线趋势时间序列呈直线趋势 预测。（ 3）无论远、近的数据不考虑权重。（ 4）用 最小二乘法最小二乘法 拟合直线方程消除了不规则的影响，使 内插值和外推值内插值和外推值 都落在拟合的直线上。二、二次曲线外推法二、二次曲线外推法 (Twice curve extension)在实际预测中 ,常常碰到的是其他的曲线形式。在这样的情况下 ,就要用到 曲线外推曲线外推趋势法趋势法 。这种方法仍然是利用 最 二乘法二乘法 来拟合曲线方程。介绍如下：设曲线预测模型为：（一）（一） model（ 1）利用最小二乘法得：（ 2）原理原理拟合直线方程根据最小二乘法原理，使观察期对于估计值的离差平方和 ，再求偏导并令其等于 0，求出 a,b,最后建立直线方程进行预测。但这种方法的问题是在拟合直线过程，对时间的近期和远期的数据同等对待，求出的预测方程不够精确。而加权拟合法就较好的解决了这个问题。 (例题略 )三、加权拟合直线方程三、加权拟合直线方程生物的生长过程经历了出生、成长、成熟三个阶段，在这三个阶段生物的生长速度是不一样的。例如 ,南瓜的重量增长速度 ,在第一阶段增长的较慢 ,在成长时期则突然加快 ,而到了成熟期又趋减慢 ,形成一条 S形曲线 -增增长曲线长曲线 。增长曲线增长曲线是描绘经济指标随时间变化呈某种生物变化规律的一种曲线 。用 增长增长 曲线曲线 进行预测的方法称为 增长增长 曲线曲线 预测法。它是一种很常用的方法。例如 新技术、新产品的开发和更新换代过程新技术、新产品的开发和更新换代过程 ,需求增长需求增长 规律等均可用 增长曲线增长曲线 来描述。u 增长曲线预测方法增长曲线预测方法1.人类增长曲线人类增长曲线年 龄 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30身高 48 76 112 140 168 172 176 178 180 181人类身高的成长曲线的生长规律如表人类身高的成长曲线的生长规律如表 5-1所示所示 单位：单位： cm年龄身高图图 人身高成长曲线人身高成长曲线 一、例子一、例子如表 是南瓜重量随时间变化的生长曲线 。天 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24克 120 200 400 1000 2600 3300 3800 4300 4900 5100 5300 5400图 南瓜重量生长曲线天重量2.生物增长曲线生物增长曲线如图 自行车寿命周期曲线导 入期 成 长期成熟期 衰推期 t销量3.商品寿命曲线1.Model其中：其中： a,b 参数，参数，t 时间序列时间序列 ,yt 经济目标值经济目标值 b 10 b 1图 简单指数型增长曲线图( 0， a)t（ 1）（一）简单指数（一）简单指数yt2.Application condition当时间序列呈单纯的增加或减少的趋势，且当时间序列呈单纯的增加或减少的趋势，且 各期各期的增长率或减少率基本相等的增长率或减少率基本相等 ，则可用指数曲线描述时，则可用指数曲线描述时间序列是比较好的。间序列是比较好的。将（将（ 1）取对数，有：）取对数，有：（ 2）（ 3）由由 (3)和和 (4)可知：可知： 其对数曲线方程为一条直线其对数曲线方程为一条直线 ; 其对数曲线一阶差分为一常数。其对数曲线一阶差分为一常数。3.Characteristic（ 4）2. Characteristic一阶差分环比指数为一常数一阶差分环比指数为一常数 。1.Model （ 1）（二）修正指数曲线（二）修正指数曲线 (Amend exponential curve)k 0， 0 a 1， 0 b 1y0=K+a图 7-6 修正曲线的几种类型t tt t图 (d) 衰退后期图（ b）饱和期图 (a) 成长期图（ c） 衰退期前期k 0， a 1， b 1k 0， 0 a 1， b 1 k 0， a 0， 0 b 13.修正曲线模型的几种类型图修正曲线模型的几种类型图式中 :k,a,b为待定参数 .由 (1)可得一阶、二阶导数为：(1)(2)（三）罗吉斯曲线（三）罗吉斯曲线1.Modelk 0， a 10 b 1图 罗吉斯曲线罗吉斯曲线y0=1/(k+a)y =1/k 2.characteristic罗吉斯罗吉斯 曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。曲线转变为向下凹趋势。（ 1）当）当 t=0时时 ,有：有： y0 =1/k+a,（ 2）当）当 t 时，时， yt 1/k当当 t- 时，时， yt 0 都是罗吉斯曲线的渐进线。都是罗吉斯曲线的渐进线。罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似 ，它所描述，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。1.Model （ 1）（ 3）（ 2）2.Characteristic 导数的导数的 一阶差分环比指数为一常数或其对数方程一阶差分环比指数为一常数或其对数方程为一修正曲线为一修正曲线 。（四）龚柏兹曲线（四）龚柏兹曲线 (Gompertz curve)0 a 1 ， 0 b 1y0=K t tt t图图 (d) 衰退期衰退期图（图（ a）成长期和成熟前期）成长期和成熟前期 图图 (b) 成熟期后半期和衰退期成熟期后半期和衰退期图（图（ c）成长期）成长期0 a 1， b 1a 1 ， b 1 a 1， 0 b 1y0=K4.龚柏兹曲线的几种类型图龚柏兹曲线的几种类型图 3.应用范围应用范围耐用消费品或技术含量较高商品的市场需求变化。1.常用的增长曲线常用的增长曲线 (In common use the growth curve )修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。利用这三种曲线可描述产品市场增长周期的不同阶利用这三种曲线可描述产品市场增长周期的不同阶段段 ,从而揭示产品增长周期