2012考研数学公式(符号更新版)

高等数学公式导数公式： axaxxxln1)(logcotscsane)(otscan2 22221)cot(arn1)(cosarinxxxxCaxaxdCshcxadaCxxddxCdx )ln(lncscotseaneotianseco222222CaxxadCaxaxdCxxdCdrcsinl21nrct1oslncsaneeiotcosan2222 Caxaxadxa Caxaxdax IndInnn rcsin22l)(221cossi2 22 22 22020基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 1， 2tan， 1cos， 1sin udxuxux 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：和差角公式： 和差化积公式：函数角 A sin cos tan cot- -sin cos -tan -cot90- cos sin cot tan90+ cos -sin -cot -tan180- sin -cos -tan -cot180+ -sin -cos tan cot270- -cos -sin cot tan270+ -cos sin -cot -tan360- -sin cos -tan -cot360+ sin cos tan cotxarthcxrsxechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exxxcot1)cot(an1tan sicos)cos( nini 2sin2sincosco2sin2cosinco积化和差公式：倍角公式：半角公式： cos1insco12cot s1insco12tan s cosi 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iinsi Caba22反三角函数性质： xrcxxx otrctn arcosrc 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()1(! nknnnnnkkn uvvuknvuvuCv 中值定理与导数应用：2333tan13tancoscos4cosini22 222tan1tancoco scosin1sscoinin B)(AB)(ABAB)(AB)(ABA1coscos2cosininin1拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabf ab)(F)()( )曲率： .1的 圆 ：半 径 为 ;0直 线 ： .)1(lim点 的 曲 率 ：M 弧 长 。：s化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变M点 到从:.平 均 曲 率 ： 其 中,1弧 微 分 公 式 ： 3202aKa yds MsKtgydxds 定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()(抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：空间解析几何和向量代数：。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，,cos)(向 量 的 混 合 积 ： .例 ： 线 速 度 ：.sin,cos两 向 量 之 间 的 夹 角 ： ,是 一 个 数 量,Pr)(Pr 轴 的 夹 角 。与是cos向 量 在 轴 上 的 投 影 ： )()()(点 的 距 离 ：2空 间 2222222121 2121221221 bacbacbacb rwvbcakjibac bbababajj uABAB zyxMdzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxu u （ 马 鞍 面 ）双 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ：、 双 曲 面 ： 同 号 ）（、 抛 物 面 ：、 椭 球 面 ：二 次 曲 面 ： 参 数 方 程 ：其 中空 间 直 线 的 方 程 ： 面 的 距 离 ：平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 ：、 一 般 方 程 ： ， 其 中、 点 法 式 ：平 面 的 方 程 ：13,2211 ;,1302 ),(,)()()(122222 00000 2200 0000 czbyaxqpzyxcba ptznymtxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvyGFJyu xxxx GFvuFvJvuyxF vu 隐 函 数 方 程 组 ：微分法在几何上的应用： ),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()( (,)(000 00000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxztztx zzyxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 ： ：、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 ： ， 则 ：上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 ：处 的 法 平 面 方 程 ：在 点 处 的 切 线 方 程 ：在 点空 间 曲 线 方向导数与梯度： 上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 ：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfixfyxpyxfzl yfxfllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(2 02 00000BACyxA CyxfByxfAyxfyxfyxf y重积分及其应用： DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo IyI dxydyxzAyxfzrdrfdf232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：的 面 积曲 面柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyI MMyMxM drrFddrrFdyzxf rrrvrxzrfzrF dzrFdxyzfyrx zyx r )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( sinsicosin),si,c(),( ,),(,(,sinco 222 20),022 2， ， 转 动 惯 量 ： ， 其 中 重 心 ： ， 球 面 坐 标 ：其 中 ： 柱 面 坐 标 ：曲线积分： )()()()(,),( ),(,),( 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在设 长 的 曲 线 积 分 ） ：第 一 类 曲 线 积 分 （ 对 弧。， 通 常 设 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一 个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间 的 关， 则 ：的 参 数 方 程 为设 标 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( )cos(),),(),(),()(0),),0 yxdyxQyxPyxu udQ yPxQGyxPG ydxdxyADyPxQyP QPQdyxdL dPyx ttttPdyxQyxPt DLDLLLL 曲面积分： dsRQPRdxyQzPdyxzdzxyQdyzPxzxRdxyzR dxyzRdzxyQdyP dfszxfzxyzy xyDDD )cosco(),(,),( , ),(),( ),(),( ),(,1,),( 22 系 ：两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 号 。， 取 曲 面 的 右 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 前 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 上 侧 时 取 正 ， 其 中 ：对 坐 标 的 曲 面 积 分 ：对 面 积 的 曲 面 积 分 ：高斯公式： dsAvsRQPdsAsnzRyQx dsRQPRdxyzPdyvzyxPnn i )cocos( .,0iv,di )coscos()(成 ：因 此 ， 高 斯 公 式 又 可 写 ，通 量 ： 则 为 消 失的 流 体 质 量 ， 若即 ： 单 位 体 积 内 所 产 生散 度 ： 通 量 与 散 度 ：高 斯 公 式 的 物 理 意 义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstARzQdyPxARQPzyx yPxQRzPyRzQPxdxyzdy RdzyPxRPzQyR 的 环 流 量 ：沿 有 向 闭 曲 线向 量 场旋 度 ： ， ， 关 的 条 件 ：空 间 曲 线 积 分 与 路 径 无上 式 左 端 又 可 写 成 ： kjirot coscos)()()( 常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(112 级数审敛法：散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li21lim1211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数 1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnnun 幂级数：01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx nmmm 欧拉公式： 2sincosincoixiixiix exe 或三角级数： 。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 ： 。，其 中 ， 0 ,cos,in2cos,incs,i1 )in()i()( 100 xxxtAbaAxbattf nnn傅立叶级数：是 偶 函 数 ，余 弦 级 数 ： 是 奇 函 数 ，正 弦 级 数 ： （ 相 减 ）（ 相 加 ） 其 中 ， 周 期 nxaxfnxdfab bffnxdfbfanxbxfnn nnnnnn cos2)(2,10cos)(20 i3,i124316246142853)3,1(si)(12,0co)si(2)( 000222210 周期为 的周期函数的傅立叶级数：l2llnlnnnndxlfblfa llxblxxf )3,21(si)(1,0co2)si(2)(10 其 中 ， 周 期微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程： )1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm概率公式整理1随机事件及其概率吸收律： AB)( AB)()(A反演律： BABnii1niiA12概率的定义及其计算 )(1)(AP若 B)()(APB对任意两个事件 A, B, 有 )()(ABPP加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()(PPBA )()1)()()()( 211111 nnnkjikjinjijiniini APAPA 3条件概率 ABP)(乘法公式 )0()( AP)(121 1221 nnn AAP 全概率公式niiABP1)()( )()1iniiBAPBayes 公式)(ABPk)(kni iikkBAP1)()4随机变量及其分布分布函数计算 )()(aFbXPXaP5离散型随机变量(1) 0 1 分布 1,0,)()(1kpkXP(2) 二项分布 ),(nB若 P ( A ) = p nkCkXnkn ,10,)1(* Possion 定理 0limnp有 ,210!)1(likeCknknn (3) Poisson 分布 )(P,210,!)(kekXP6连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(baU其 他,01)(xxf1,)(abxF(2) 指数分布 )(E其 他,0)(xexf0,1)(xexF(3) 正态分布 N ( , 2 ) xexfx)(xtFd21)(2)(* N (0,1) 标准正态分布 xexx21)(txd)(27.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvufF,(),边缘分布函数与边缘密度函数 xXvf),()(dfyYuvfF),()(f8. 连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G )其 他,0)(1),(yxAyxf(2) 二维正态分布 yxeyxf yxx,12),( 22121 )()()()(2 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()(),( xfyfxyf XXYyYdfxfdyxff YXX )(),()( yyYY)(xfYX)(,yfY)(yfxYX)(fXY)(,xfX)(xfX10. 随机变量的数字特征数学期望 1)(kpxXEdf)(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(EX 的 k 阶绝对原点矩)|(X 的 k 阶中心矩 )(kEX 的 方差 )()(2XDX ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(YEX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩lYE)()(X ,Y 的 二阶混合原点矩)(YEX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差)()(YEX ,Y 的相关系数 XYDE)(X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) )2协方差 )()(),cov( YEXEYX)()(21DD相关系数 )(,covYXXY线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算 AB C cc dAc Ad 或 。0TTBA。TcT2121nCnnAaaAD转置值不变 T逆值变 1Acn, 2121，3 阶矩阵21,BA321,BABAB01,cjiE有关乘法的基本运算njijijiij babaC21线性性质 ，BAA2121Bcc结合律 CATTBAlklkllA不一定成立！kkB，E，A与数的乘法的不同之处不一定成立！kkB无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵 的每个多项式可以因式分解，例如EAEA32无消去律（矩阵和矩阵相乘）当 时 或0AB0B由 和由 时 （无左消去律）0ACB特别的 设 可逆，则 有消去律。左消去律： 。A右消去律： 。如果 列满秩，则 有左消去律，即 0B C可逆矩阵的性质i）当 可逆时，A也可逆，且 。TTTA1也可逆，且 。kAkk1数 ， 也可逆， 。0c11Acii） ， 是两个 阶可逆矩阵 也可逆，且 。ABnB11AB推论：设 ， 是两个 阶矩阵，则 E命题：初等矩阵都可逆，且jiEji,1cici1jiEji,1命题：准对角矩阵可逆 每个 都可逆，记kAA021iA11210kAA伴随矩阵的基本性质：EA*当 可逆时， 得 ， （求逆矩阵的伴随矩阵法）A*1且得： 11*AA11*伴随矩阵的其他性质 , 1*nA1 TT ,1cn *AB ，kk 。 时， n2*2A*dcba关于矩阵右上肩记号： ， ， ，*Tk1i) 任何两个的次序可交换，如 ，TA*等1ii) ，11 ,BBTT*A但 不一定成立！kk线性表示s,021si有解 ss xx 2121,有解s, Tsx,1有解，即 可用 A 的列向量组表示Ax， ，srCB,21 n,21则 。nsr,21 ，st,21则存在矩阵 ，使得CCst ,2121 线性表示关系有传递性 当 ，pst r,21 则 。pt r,2121等价关系：如果 与 互相可表示 s,21 t,21 ts,2121 记作 。ts,2121 线性相关，单个向量 ， 相关1s0x0， 相关 对应分量成比例 相关221, 21, nbaba:21向量个数 =维数 ，则 线性相（无）关snn1, 01n， 有非零解nA,210AxA如果 ，则 一定相关nss,21的方程个数 未知数个数0Axns如果 无关，则它的每一个部分组都无关s,21如果 无关，而 相关，则s,21 ,21s s,21证明：设 不全为 0，使得cs,1 01ccs则其中 ，否则 不全为 0， ，与条件 无关矛盾。于0csc,1 01sc s,1是 。s1当 时，表示方式唯一 无关s,1s1（表示方式不唯一 相关）s1若 ，并且 ，则 一定线性相关。st,11 stt,1证明：