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文档简介

机械类专业基础核心课程主讲 :刘子建 教授汽车楼 322, 88823080, 助教:周晋超等综合实验楼 468, 88821726精品课程网站: /2010/jxcad 课程中心网站: *计算机如何显示出图形和字符?思考几个问题计算机如何表示圆、椭圆等曲线?圆柱、圆锥等曲面?计算机如何表示船体、汽车等的外形?如何设计自由曲线和曲面?*第 2章 CAD建模的理论基础 自由曲线设计要满足的需求 工程 需求: 曲线光顺,一般要求 二阶导数连续 ;第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 (本章的重点和难点) 设计 需求 : 表达灵活,控制自如, 便于创意设计 ; 操作 需求: 便于交互式操作 和设计; 计算 需求: 便于计算机数值处理 。*第 2章 CAD建模的理论基础 本节学习的思路 满足 工程 需求: 了解 工程 和 力学 等问题与自由曲线的关系;第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 满足 设计 需求 : 掌握不同参数曲线的 特性 和应用范围; 满足 操作 需求: 理解参数曲线的 几何不变性 等特性; 满足 计算 需求: 掌握 矢量和矩阵知识 在曲线设计中的作用。*第 2章 CAD建模的理论基础 几个基本概念 型值点: 用来定义曲线的 一组离散点 ;第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 曲线的拟合 : 由 一系列给定的 型值点构造曲线段 的方法; 样条曲线: 将多个 曲线段 光滑连接形成的曲线; 曲线的插值: 通过给定型值点求出曲线上 其他点 的方法。*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -工程背景 三次 样条曲线的工程背景: 船体的建造及船体放样实例第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础Parts assembling (分段小组立 /中组立 ) ship body assembling & system assembling(船体合拢和船上舾装 ) Assembling at Dock(码头舾装 )* 三次参数样条曲线 -力学背景 三次 样条曲线的 力学背景 : 弹性细梁在集中荷载作用下的变形曲线:符合弹性力学的 Bernoulli-Euler定律第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础CAD建模的理论基础( 2)左式中, EI为抗弯刚度系数M(x)为弯矩函数当梁的变形很小时,有* 三次参数样条曲线 -描述方式问题 1:三次 样条曲线能否满足 工程需求 ?第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础问题 3:为什么说 “参数化表示 是形状数学描述的标准形式 ”( Ferguson,1964)? 曲线表示的几何不变性CAD建模的理论基础( 2)问题 2: 直角坐标表示 的 三次 样条曲线可以满足计算机环境下产品 设计 、交互式 操作 和数据高效 计算 的要求吗?* 三次参数样条曲线 -特点分析第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 参数曲线的优点:( 1) 控制参数 多,控制性能好;( 2)便于用 矢量和矩阵 表示;( 3) 通过对参数的规格化处理便于控制曲线的 有界性 ;( 4)曲线的形状仅与定义它的特征矢量的相对位置有关,而与所在的坐标系无关( 曲线表示的几何不变性 )。CAD建模的理论基础( 2)*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段数学描述第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础设用向量表示的一组型值点 Pi( i=1,2, ,n )定义了由 n-1段三次多项式表示的参数样条曲线,其中第 i段曲线的表达式可以写成(0tti) ( 2-1)*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础i=1,2,n*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础(2-2)*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 中有 令*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 即有: 写成矩阵形式:(2-3)*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 不妨令: 这说明, 当第 段曲线的 2个端点及其端点切向量已知的话,则 曲线段 的参数方程就可以求出来! 则: 称 为调和函数*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -利用光顺条件求解样条曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础问题:如何定义三次参数 样条曲线 ?求解步骤 :( 1)已知曲线段连接成样条曲线的二阶 连续条件 ,求得 n-2个 切向矢量连续 方程 ;( 2)由样条曲线两端点的边界条件(夹持端、抛物段、自由端)求取 2个端点的切向矢量方程 ;( 3)获得关于各结点切向矢量的 n个联立线性方程组 ,可 求解出 n个切向矢量值 ,带入式( 2-3),即为所求的样条曲线表达式。*第 2章 CAD建模的理论基础第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 Hermite曲线 事实上,令 就得到 Hermite曲线。*第 2章 CAD建模的理论基础 Hermite曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 令 则 Hermite曲线方程 为:Hermite几何向量Hermite矩阵*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数曲线的分量形式第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础课后作业:如何由 Gh出发推导 Hermite曲线方程?*思考两个问题1、参数曲线(三次)能满足 工程 ( A)、 设计 ( B)、 操作 (C)、 计算 ( D)需求吗!请选择支持你的观点的因素,在括弧中填入相应字母。船体放样( A );木样条与贝努利 -欧拉定律( A );型值点( A、 B );参数曲线段与参数样条曲线( A、 D );向量与矩阵表示方法( D );参数曲线的几何不变性( C );待定系数法( D );参数曲线的边界条件( D、 B )。2、三次参数样条曲线设计和操作方便吗?*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 1972年,由法国雷诺公司汽车设计师 Bezier提出。设有 n+1个型值点 ,则 n次 Bezier曲线的参数方程为 型值点的位置向量;称为 Berstein系数,又称基底函数。( 2-9)*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线(例)第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础形状控制的特点: 将定义 n次 Bezier曲线的 n+1个型值点 用直线段连接成控制曲线形状的 特征多边形 ,用光滑的参数曲线 逼近 这个特征多边形, 调整特征多边形的形状 即可达到 控制参数曲线形状 的目的,用这种方式支持计算机交互式环境下自由曲线、曲面的 操作 控制,以及 设计 创意。*1987年柏林工业大学授予 Bezier荣誉博士学位时的评语Bezier用面向几何而不是面向代数的思想,在形状设计之类的工程问题中,考虑到人类设计者的能力和要求,即计算机应用中人的行为、地位和创造性的不可替代性。 Bezier创造的设计方法使人对设计对象的控制达到了直接的几何化的程度。*第 2章 CAD建模的理论基础 二次 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 n=2时,由式( 2-9)有 二次 Bezier曲线参数方程为 :*第 2章 CAD建模的理论基础 三次 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 n=3时,需要 4个型值点来确定 Bezier曲线。 由 Bezier曲线的定义式( 2-9)可以得到:*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 三次 Bezier曲线的性质:端点性质 :凸包性;几何不变性;课后作业: 已知三次 Bezier曲线的 端点性质和 Hermite矩阵 Mh,如何求出 Bezier曲线的矩阵表达式?*第 2章 CAD建模的理论基础 三次 Bezier样条曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础*第 2章 CAD建模的理论基础 B样条曲线 (B-Spline)第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础美国通用汽车公司戈登( Gordon)和黑森费尔( Riesenfeld) 1974年研究 Bezier曲线时引入 B-Spline。它继承了 Bezier的优点,而且更加灵活适用,成为曲线设

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