现代cad基础与应用第二章2

机械类专业基础核心课程主讲 :刘子建 教授汽车楼 322， 88823080， 助教：周晋超等综合实验楼 468， 88821726精品课程网站： /2010/jxcad 课程中心网站： *计算机如何显示出图形和字符？思考几个问题计算机如何表示圆、椭圆等曲线？圆柱、圆锥等曲面？计算机如何表示船体、汽车等的外形？如何设计自由曲线和曲面？*第 2章 CAD建模的理论基础 自由曲线设计要满足的需求 工程 需求： 曲线光顺，一般要求 二阶导数连续 ；第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 （本章的重点和难点） 设计 需求 ： 表达灵活，控制自如， 便于创意设计 ； 操作 需求： 便于交互式操作 和设计； 计算 需求： 便于计算机数值处理 。*第 2章 CAD建模的理论基础 本节学习的思路 满足 工程 需求： 了解 工程 和 力学 等问题与自由曲线的关系；第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 满足 设计 需求 ： 掌握不同参数曲线的 特性 和应用范围； 满足 操作 需求： 理解参数曲线的 几何不变性 等特性； 满足 计算 需求： 掌握 矢量和矩阵知识 在曲线设计中的作用。*第 2章 CAD建模的理论基础 几个基本概念 型值点： 用来定义曲线的 一组离散点 ；第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 曲线的拟合 ： 由 一系列给定的 型值点构造曲线段 的方法； 样条曲线： 将多个 曲线段 光滑连接形成的曲线； 曲线的插值： 通过给定型值点求出曲线上 其他点 的方法。*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -工程背景 三次 样条曲线的工程背景： 船体的建造及船体放样实例第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础Parts assembling (分段小组立 /中组立 ) ship body assembling & system assembling(船体合拢和船上舾装 ) Assembling at Dock(码头舾装 )* 三次参数样条曲线 -力学背景 三次 样条曲线的 力学背景 ： 弹性细梁在集中荷载作用下的变形曲线：符合弹性力学的 Bernoulli-Euler定律第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础CAD建模的理论基础（ 2）左式中， EI为抗弯刚度系数M(x)为弯矩函数当梁的变形很小时，有* 三次参数样条曲线 -描述方式问题 1：三次 样条曲线能否满足 工程需求 ？第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础问题 3：为什么说 “参数化表示 是形状数学描述的标准形式 ”（ Ferguson,1964）？ 曲线表示的几何不变性CAD建模的理论基础（ 2）问题 2： 直角坐标表示 的 三次 样条曲线可以满足计算机环境下产品 设计 、交互式 操作 和数据高效 计算 的要求吗？* 三次参数样条曲线 -特点分析第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 参数曲线的优点：（ 1） 控制参数 多，控制性能好；（ 2）便于用 矢量和矩阵 表示；（ 3） 通过对参数的规格化处理便于控制曲线的 有界性 ；（ 4）曲线的形状仅与定义它的特征矢量的相对位置有关，而与所在的坐标系无关（ 曲线表示的几何不变性 )。CAD建模的理论基础（ 2）*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段数学描述第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础设用向量表示的一组型值点 Pi（ i=1,2， ,n ）定义了由 n-1段三次多项式表示的参数样条曲线，其中第 i段曲线的表达式可以写成(0tti) （ 2-1）*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础i=1,2,n*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础(2-2)*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 中有 令*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 即有： 写成矩阵形式：(2-3)*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -曲线段的待定系数法求解第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 不妨令： 这说明， 当第 段曲线的 2个端点及其端点切向量已知的话，则 曲线段 的参数方程就可以求出来！ 则： 称 为调和函数*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数样条曲线 -利用光顺条件求解样条曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础问题：如何定义三次参数 样条曲线 ？求解步骤 ：（ 1）已知曲线段连接成样条曲线的二阶 连续条件 ，求得 n-2个 切向矢量连续 方程 ；（ 2）由样条曲线两端点的边界条件（夹持端、抛物段、自由端）求取 2个端点的切向矢量方程 ；（ 3）获得关于各结点切向矢量的 n个联立线性方程组 ，可 求解出 n个切向矢量值 ，带入式（ 2-3），即为所求的样条曲线表达式。*第 2章 CAD建模的理论基础第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 Hermite曲线 事实上，令 就得到 Hermite曲线。*第 2章 CAD建模的理论基础 Hermite曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 令 则 Hermite曲线方程 为：Hermite几何向量Hermite矩阵*第 2章 CAD建模的理论基础 三次参数曲线的分量形式第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础课后作业：如何由 Gh出发推导 Hermite曲线方程？*思考两个问题1、参数曲线（三次）能满足 工程 （ A）、 设计 （ B）、 操作 （C）、 计算 （ D）需求吗！请选择支持你的观点的因素，在括弧中填入相应字母。船体放样（ A ）；木样条与贝努利 -欧拉定律（ A ）；型值点（ A、 B ）；参数曲线段与参数样条曲线（ A、 D ）；向量与矩阵表示方法（ D ）；参数曲线的几何不变性（ C ）；待定系数法（ D ）；参数曲线的边界条件（ D、 B ）。2、三次参数样条曲线设计和操作方便吗？*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 1972年，由法国雷诺公司汽车设计师 Bezier提出。设有 n+1个型值点 ,则 n次 Bezier曲线的参数方程为 型值点的位置向量；称为 Berstein系数，又称基底函数。（ 2-9）*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线（例）第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础形状控制的特点： 将定义 n次 Bezier曲线的 n+1个型值点 用直线段连接成控制曲线形状的 特征多边形 ，用光滑的参数曲线 逼近 这个特征多边形， 调整特征多边形的形状 即可达到 控制参数曲线形状 的目的，用这种方式支持计算机交互式环境下自由曲线、曲面的 操作 控制，以及 设计 创意。*1987年柏林工业大学授予 Bezier荣誉博士学位时的评语Bezier用面向几何而不是面向代数的思想，在形状设计之类的工程问题中，考虑到人类设计者的能力和要求，即计算机应用中人的行为、地位和创造性的不可替代性。 Bezier创造的设计方法使人对设计对象的控制达到了直接的几何化的程度。*第 2章 CAD建模的理论基础 二次 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 n=2时，由式（ 2-9）有 二次 Bezier曲线参数方程为 :*第 2章 CAD建模的理论基础 三次 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 n=3时，需要 4个型值点来确定 Bezier曲线。 由 Bezier曲线的定义式（ 2-9）可以得到：*第 2章 CAD建模的理论基础 Bezier曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 三次 Bezier曲线的性质：端点性质 :凸包性；几何不变性；课后作业： 已知三次 Bezier曲线的 端点性质和 Hermite矩阵 Mh，如何求出 Bezier曲线的矩阵表达式？*第 2章 CAD建模的理论基础 三次 Bezier样条曲线第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础*第 2章 CAD建模的理论基础 B样条曲线 (B-Spline)第 1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础美国通用汽车公司戈登（ Gordon）和黑森费尔（ Riesenfeld） 1974年研究 Bezier曲线时引入 B-Spline。它继承了 Bezier的优点，而且更加灵活适用，成为曲线设