初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案

初三数学二次函数的最值问题解析例 1. 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（2，0） ，B（3，0）两点，且函数有最大值是2，（1）求：二次函数图象的解析式（2）设此二次函数图象的顶点为 P，求：ABP 的面积分析：与几何知识结合的函数问题，要注意几何量的大小与点的坐标间的关系。解：（1）二次函数的图象与 x 轴交于点 A（2，0） ，B（3，0）设解析式为即所求解析式为另解：图象过（2，0） ， （3，0）对称轴为顶点为（）设，把代入即可（2），AB 边上的高即 P 到 x 轴的距离，为函数最大值 2例 2. 如图，在矩形 ABCD 中，BD20，ADAB，设ABD，已知 sin 是方程的一个实数根，点 E、F 分别是 BC、DC 上的点，ECCF8，设 BEx，AEF 的面积等于 y（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 E、F 两点在什么位置时，y 有最小值？并求出最小值解：（1）解方程可得在 RtABD 中，ADBDsin设 BE 为 x，则有，（2）当时，y 有最小值是 46故当 BE10，CF2 时，y 有最小值是 46例 3. 如图，ABC 中，BC4，B45， ，M、N 分别是 AB、AC 上的点，MNBC，设 MN为 x，MNC 的面积为 S。（1）求出 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。（2）是否存在平行线段 MN，使MNC 的面积等于 2，若存在，求出 MN 的长；若不存在，请说明理由。解：（1）过点 A 作 ADBC，垂足为 D，则有设MNC 的 MN 上的高为 hMNBC（2）若存在这样的平行线段 MN，使则方程必有实数解，即方程必有实数解，但该方程的判别式，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段 MN，使例 4. 某商场购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数。（1）试求 y 与 x 之间的关系式（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少元？解：（1）设，依题意，得解得：（2）设月利润为 w，则，w 有最大值。当时，w 最大，最大利润为 1920 元。例 5. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力 y 随着时间 t 的变化规律有如下关系式：（1）讲课开始后，第 5 分钟时与讲课开始后第 25 分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解 24 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：（1）当时， ，当时，讲课开始后第 25 分钟时学生的注意力比讲课开始后第 5 分钟更集中（2）当时， ，该图像的对称轴为，在对称轴左侧，y 随 t 的增大而增大，所以，当时，y 有最大值 240，当时， ，y 随 t 的增大而减小，所以，当时，y 有最大值 240所以，讲课开始后 10 分钟时，学生的注意力最集中，能持续 10 分钟（3）当时，令当时，令，所以，学生注意力在 180 以上的持续时间为（分钟）所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。例 6. 已知，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于A、B 两点，点 A 在点 B 的左侧，求：此抛物线的解析式。解：（1）当 A、B 两点在原点同侧时，如图 1图 1，C（0，4） ，OC4，OB1B（1，0）A（5，0）设二次函数解析式，由于抛物线过点 C，即二次函数解析式（2）当 A、B 两点在原点异侧时，如图 2图 2又C（0，4） ，OC4，OB1，B（1，0）由即 AB4，A（3，0）设二次函数解析式为，由于抛物线过点 C即二次函数解析式为例 7 已知一次函数（1）根据表中给出的 x 值，计算对应的函数值，并填在表格中：（2）观察第（1）问表中有关数据，证明如下结论：在实数范围内，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立。（3）试问：是否存在二次函数，其图象经过点（5，2） ，且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，若存在，求出函数的解析式，若不存在，请说明理由。解：（1）（2）证明：当自变量 x 取任意实数时，均成立。（3）由经过（5，2） ，得 依题意，有 由、可得恒大于 0，则满足：令恒大于 0，则：满足综上，可得解析式为例 8 已知二次函数的图象经过点 A（3，6） ，并与 x 轴交于点 B（1，0）和点 C，顶点为 P（1）求这个二次函数的解析式（2）设 D 为线段 OC 上一点，满足DPCBAC，求：点 D 的坐标（3）在 x 轴上是否存在一点 M，使以 M 为圆心的圆与 AC、PC 所在的直线及 y 轴都相切？如果存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由。解：（1）将 A（3，6） ，B（1，0）代入得（2）过 A 作 AEx 轴，垂足为 E，设抛物线的对称轴交 x 轴于 F，则AEC、CFP 均为等腰直角三角形则EACFPCDPCBAC，EABFPDAEBPFD，易求（3）存在：过 M 作 MHAC，MGPC 垂足分别为 H、G，设 AC 交 y 轴于 S，CP 的延长线交 y 轴于 TSCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的内切圆圆心MGMHON，且 OMMCOC，得，在 x 轴的负半轴上，存在一点 M，同理：得，即在 x 轴上存在满足条件的两个点。【模拟试题】一、填空题：（1）抛物线的顶点坐标是_（2）抛物线的对称轴是_，有最_值是_（3）有一个抛物线形桥拱，有最大高度为 16m，跨度为 40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图 1 所示） ，则此抛物线的解析式为_图 1（4）二次函数的图象如图 2 所示，则函数值时，对应 x 的取值范围是_图 2（5）已知二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，在 x 轴上方的抛物线上有一点 C，且ABC 的面积等于 10，则 C 点的坐标为_（6）已知二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标是2 和 6，图象与 y 轴交点到原点的距离是 3，则这个二次函数是_（7）把配方成的形式是_（8）抛物线与 x 轴只有一个交点，则 m 为_二、选择题：（1）二次函数的图象如图 3 所示，则下列结论正确的是（ ）图 3A. B. C. D. （2）二次函数的图象与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）图 4（3）把抛物线的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）A. B. C. D. 三、解答题：（1）