小学数学教学论文：兼谈“儿童数学思维启蒙”片断教学中的几个案例

架设思维训练的“桥梁” 兼谈“儿童数学思维启蒙”片断教学中的几个案例前言：近日参加了“儿童数学思维启蒙教育研究”课题组的一个教研活动，活动形式是片断教学和现场评课。现场听到了来自课题组的 11 节教学片断课和 60 个数学教师代表队的现场反思。我个人感觉这次活动办得非常好。活动主题鲜明，上课片断课的老师题材新颖、目标明确；参与反思的老师视野开阔、思考有深度；点评专家功底深厚，有眼光、有见地；更为重要的是，这次活动带给了所有老师一个有意义的思考角度儿童数学思维启蒙。回味着课堂片断中的精彩和遗憾，我也在思考：在课堂上，我们到底该为儿童数学思维的发展做些什么？怎么做才能更好地促进儿童数学思维的发展？思考再三，我认为，架设一座桥梁，使学生的思维从感知到抽象、从简单到复杂、从肤浅到深刻顺利过渡，是我们可以做到的，也是必须做到了。感知抽象儿童思维的发展绝不是一次性地飞跃，小学生的思维形式仍然处于由具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡期，即使是抽象的东西，对他们来说，很大程度上仍然直接与一些形象事物相联系。因此，教师在教学时，便要把握儿童思维的这一重要特点，应用一些直观的手段组织学生操作和实验，展示知识的发生、发展过程，形成清晰的表象，然后逐步摆脱对直观材料的依赖，抽象概括出数学知识的本质和核心。玩石头一课，核心思想是“移多补少” 。全课围绕一个问题“在保持总数不变的情况下，怎样使两行（几行）的石头同样多？”层层深入，为学生领悟移多补少思想，形成抽象模型可谓是煞费苦心。且看老师教学设计1.摆一摆：第一行 第二行 在保持总数不变的情况下，怎 样使两行的石头同样多？用可操作的“石头”摆一摆，学生可能觉得纯粹是好玩。于是，他们可能凭直觉把第一行比第二行多的 4 颗全“给”第二行，结果发现不行；他们接下来可能会一颗一颗地移，直至两行同样多。这两种可能都是学生对于具体事物的初步感知，这种感知显然只是思维启蒙的初级状态。2.想一想：第一行 第二行 在保持总数不变的情况下，怎 样使两行的石头同样多？还是两行“石头” ，只是要求从“摆一摆”变成了“想一想” 。有了前面具体操作的经验，学生的关注点可能会从关注两行的石头数变成关注第一行比第二多的颗数。他们仍然可能一颗一颗地在心中想象着“移” ，但更多的学生可能会借助第一次的经验，渐渐发现“第一行比第二行多几颗”与“从第一行向第二行移几颗”之间的关系。显然，这一环节已经在向半抽象过渡，只是这种想法仍然未上升成学生的理性思考。3.说一说：第一行第二行 遮住部分的石头数量相等，在保持 总数不变的情况下，怎样使两行的石头同样多？这两行“石头”发生了一点变化，并不知道每行的具体数量，只是“第二行比第一行多的个数”仍然非常直观，不过，意图已经非常明确，把学生的眼光完全聚焦到“多多少”上来，学生已能较轻松地知道，只要把多出部分的一半“给”第一行，两行就同样多了，学生思维已经直指“移多补少”的本质。4.做一做：第一堆 90 颗第二堆 80 颗在保持总数不变的情况下，怎 样使两堆石头同样多？没有了直观上的“一一对应” ，形象的“石头”也已经完全抽象成数字“符号” ，尽管仍然有“石头”这个词语，但学生显然已经不关心这是两堆“石头”还是两堆“珠宝” ，能轻而易举地列出（9080）2 这个算式，对于这个算式意义的理解自是水到渠成。5.挑战：第一行 第二行 第三行 在保持总数不变的情况下，怎 样使三行石头同样多？美丽的“变式”！如果说前面学生已经非常顺利地完成了从感知到抽象的过渡的话，这一变，便使学生有了重新审视在自己头脑中建立起来的“模型”的机会。原来“移多补少”并不都是“移一半” ，也不都是“2” ，为培养学生思维的全面性埋下了伏笔。综上所述，笔者认为， “玩石头”一课的设计非常好，只可惜，在教学时，执教老师不了解学生在每一环节中的思维状态，进而该玩时不玩，该抽象时仍然满足于课件的直观，该“挑战”时却只是勿勿一过，致使课堂效果不佳，凭添许多遗憾。简单复杂儿童思维的发展通常是在外部环境和内部矛盾的互相作用中实现的，而这种发展的过程通常是从简单到复杂、从肤浅到深刻、从片面到全面的一个渐进过程。我们在对儿童进行思维启蒙时，既不可能“一口吃出个大胖子” ，也不能“原地踏步徘徊不前” ，甚至“倒退到原始社会” 。在这个渐变的过程中，我们要做的应是为学生的这种渐变创设最佳的时空，搭建一条坡度合适的“上坡桥” 。填数游戏一课将风靡全球的“数独游戏”引入课堂，对培养学生逻辑思维能力的作用显而易见。看似复杂的“数独游戏” ，通过教师匠心独具地设计，变得那么亲近。尽管课的后半段在层次设计上出了一些问题，但这种设计思路仍值得我们借鉴。1.（出示一个已经填好的 99 的数独表格）观察，老 师填的数有什么特点？完整地呈现数独表格，让学生观察它的特点，有利于学生了解数独游戏的规则，同时也有利于培养学生多角度思考的能力。三年级学生的思维大部分都是受到局限的，他们可能习惯用自己惯有的方式思考问题，因此有的学生可能发现此表每行数字的特点，有的学生可能发现此表每列数字的特点，有的学生可能发现此表每个九宫格中数字的特点，综合大家的发现，纵观整个表格，得出“每行每列每个小九宫格都是由 19 组成，并且没有重复”这一特点，是完成本课必备的铺垫。2.（出示一个比较复杂的数独表格，其中有一些数是没填好的）你能根据 刚才发现的特点完成这个填数游戏吗？直接出示一个较复杂的数独表格，似乎跨度太大，但这种设计却是教师“有意”而为之。这相当于告诉学生一个终级目标，学生的“无从下手”正好为他们迫切想知道方法注入了一剂“强心剂” 。在这时，老师引导学生“以退为进” ，从简单入手，寻找解决这类问题的一般方法则是“顺水推舟” 。3.（出示一个每行、每列、每个九宫格都只缺一个数的表格）学生尝试填上缺少的数。因为有了对数独表格的初步认识，对于每行、每列、每个小九宫格都只缺少一个数的表格，学生只需用到简单的推理即可快速填出每个空。注意，这时，前面的观察已经起到了作用，学生也必须调动已有的经验进行简单的逻辑推理了，只不过这里的逻辑关系是单线条的。既然“每行、每列、每个小九宫格都是是 19 九个数” ，那么观察已经出现的 8个数，找到缺少的那个数，就轻而易举地解决这个问题了。4.（出示一个稍复杂的数格，其中有一个九 宫格只缺一个数，其余各行、各列、各九宫格都缺少两个或两个以上的数）想要完成这个填数游戏，你会怎么办？3 7 4 9 2 1 61 4 2 6 7 5 95 6 1 3 2 7 46 9 7 5 1 8 48 4 3 9 2 55 3 2 4 8 9 66 5 8 4 3 9 14 9 8 1 3 7 22 1 9 7 4 8（因没有记住原题，上表中数字与原表不同。 ）情况又变得复杂一些了，但学生总是会在自己的“最近发展区”寻找突破口。比较巧妙的是，这里有一个九宫格只缺一个数，有相当多的行和列中缺少的是两个数，只需根据各行、列数的特点便能很快推出各空格中的数。对于小学生而言，这显然并不是一件“轻而易举“的事，但学生很容易发现中间这一空缺的是“6” ，当这一空填好后，教师将学生的视线引向了第一个九宫格。这个九宫格缺少的显然是“8”和“9” ，但对于第一行二列、第三行一列到底是哪格填写 8、哪格填写 9，引发了学生的推理，这种推理需要学生有纵观全局至少是纵观行、列的本领。事实上，多数学生能“猜”出第三行一列填“9” ，但他们的理由令听课的老师哄堂大笑“因为旁边的 549” 。从这一细节可以看出，学生用的不是推理，或者说他们的猜想不能与推理有机地结合，这才导致闹了“老师不愿意出现”的笑话。其实，在这之前，我们需要增添一个环节让学生学会初步推理。试想我们在第 3、4 环节之间增设一个“台阶” ，仍让中间的九宫格缺一个数，中间这一列缺两个数，其余各行所缺的数均也中间这个九宫格或中间这一列存在联系，当学生准确填出中间这一格后，便能迅速填出中间这一列的另一个数，进而通过这一突破口带活全盘，学生在填的过程中自然会左看右看上看下看，反复比较。有了这个基础，再填如上的表格，学生发现第一列已经有“8” ，非“8”即“9” ，自然能顺利而准确地说出理由来。填数游戏这一课中所涉及的数独游戏都属于简单级，但对于三年级孩子而言，简单级里也有由“简单”与相对“复杂”的多种层次，教师在进行教学时，设计的的“层次”要与学生的年龄相适应，架设的桥梁坡度应得当，步伐不宜过大。肤浅深刻很多简单的数学问题里蕴含着非常深刻的数学思想，这种数学思想正是引领学生思维从肤浅到深刻的核心。虽然很多数学老师的都已达成这种共识，但具体到某个内容可以向学生何种数学思想，怎么渗透时，包括本人在内的很多老师都会表现出“底气不足” 。我们常常试图把某种思想“教”给学生，而不能引导学生通过观察、比较、分类等活动帮学生建立思维模型，这是新课标增加了“向学生渗透基本数学思想方法”以后，很多老师的困惑。个人认为，夯实自身的基本功是解决这种困惑的首要途径。唯有教师心中明白所教内容是什么，其中蕴含了什么数学思想方法，才能在教学时游刃有余，搭建一座“立交桥” ，多角度培养学生，才会将学生的思维从肤浅引向深刻。对于握握手 好朋友一课中的问题，我们并不陌生，大多数老师都知道这个内容属于“排列组合”范畴，培养学生“数形结合”的思想成了教学时的重要目标。那么在实施教学时老师是怎么做的呢？我们来看看这次赛课中的老师是如何处理的。1. 同桌互相握手，取名叫“ 相互握手一次”；2. 两个学生和老师，两两握手，一共握了几次？人数很少，老师采取了现场演示，先由两生分别和老师握，问：“还有谁与谁没握？”目的很明显，引导学生“有序地思考” 。3. 四个人，每两个人相互握一次手，一共握了多少次？人数略增，教师试图让学生经历探究的过程，先让学生猜，学生猜 2、3、4、6、8 次的都有，五花八门；然后让四人小组试一次，直到下一个环节，还有几个小组的同学兴致盎然，意犹未尽；接着老师叫了其中的一组上台展示，学生一番热闹过后，到底是得出了共有 6 次；最后老师在黑板上画了一条线段图，再一次通过线段图得出，一共握了3216 次。 4.如果是 5 个人，每两人相互握一次手，一共会握多少次呢？满以为这回学生会象老师一样画出一条线段图来解决这个问题了，没想到老师仍然叫上了 6 个同学上台演示，我真担心总人数再扩大至更多，幸好这种担心是多余的。黑板上已经出现了一组有规律的算式了。2 人 1 次3 人 213 次4 人 3216 次5 人 432110 次5.如果是 6 个人、14 个人，每两人相互握一次手，一共会握多少次呢？学生似乎发现了其中的规律，已经能快速列出诸如“54321”之类的算式了。如此， 握握手 好朋友一课似乎大功告成。乍看上去，这种设计层层递进，从“猜”到“做” ，从“无序”到“有序” 。但我却总觉得有点不对劲，有了第 1、2 个环节的铺垫，第 3 环节中学生怎么仍然有学生猜出 2 次、3 次的结果？如此说来，前面的环节到底有何作用？！学生的小组活动是为了得到“几次”这个结果还是为了展示学生得到这个结果的方法？如果老师能把目标落在后者，估计学生的方法会不止一种。事实上，我们除了可以用“数形结合”的方法，还有别的思路，譬如，n 个人两两握手一共握（12n）次是已经解决了的问题，如果人数变成（n1）个，只是增加了一个人，就让这个人和其余 n 个人各握一次，12n（n1） ；再如：n 个人两两握手，每人都