《二次函数》知识点归纳

二次函数知识点归纳一、定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量之间存在如下关系：=ax2+bx+，则称为 x 的二次函数。二、二次函数的三种表达式一般式：=ax2+bx+顶点式：=a2+，此时抛物线的顶点坐标为 P 交点式：=a 仅用于函数图像与 x 轴有两个交点时，x1、x2 为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为 A 和 B)，对称轴所在的直线为 x=注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是轴2 抛物线有一个顶点 P，坐标为 P。当 x=-时，最值=，当 a0 时，函数有最小值;当 a0 时，函数有最大值。当-=0时，P 在轴上;当=b2-4a=0 时，P 在 x 轴上。3 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0时，抛物线开口向上;当 a0 时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则 a 相等;若形状相同，开口方向相反，则 a互为相反数。4 二次项系数 a 和一次项系数 b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异” ，即：当对称轴在轴左边时，a 与b 同号。常数项决定抛物线与轴交点位置，抛物线与轴交于点。6 抛物线=ax2+bx+与 x 轴交点个数与方程 ax2+bx+=0 的根的判定方法：=b2-4a0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点，对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4a=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点，对应方程有两个相同的实数根。=b2-4a0 时，抛物线与 x 轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程二次函数=ax2+bx+，当=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程，即 ax2+bx+=0，此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。六、常用的计算方法、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式=ax2+bx+，分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出 a、b、 ，再代回设的一般式中即可求出解析式;若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式=a2+，再找一点坐标代入即可求出 a，再代回设的顶点式即可求出解析式;若给定有与 x 轴的交点坐标，则设为交点式=a，再找一点坐标代入即可求出 a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。2、若求函数与 x 轴的交点坐标，让=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标;3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式;4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式。、当需要判定函数=ax2+bx+与 x 轴没有交点时，需判定方程 ax2