白淑敏崔红卫概率论与数理统计课后习题答案

白淑敏 崔红卫概率论与数理统计习 题 1.11试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在 5 个同样的球（标号 1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有 5 个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用 x 表示，则有，其中 m 为小包白糖的重量， 为称量结果的误差限易见每次称量会(,)xm有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生2写出下列试验的样本空间（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间0 ，t 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过 2 为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标解（1） =（正正正） ， （正正反） ， （正反正） ， （反正正） ， （正反反） ， （反正反） ， （反反正） ， （反反反）；（2） =0，1，2，3，；（3） =（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6).（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x，y）,则 x，y 应满足条件故此试验的样本空间为21.2(,)|1.xy3将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 =“两次掷出的点数相同” ， AB=“点数之和为 10”， =“最小点数为 4”试分别指出事件 、 、 以及 CCA、 、 、 、 各自含有的样本点ABAB解 =(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ， (4,4) ，(5,5) ，(6,6) ;=(4,6) ，(5,5) ，(6,4); =(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4);C;(1,)2,(3)4,(5),6(4,)AB=(1,1)，(2,2)，(3,3) ，(5,5)，(6,6);=(4,5)，(4,6)，(5,4) ， (6,4);(5,).BC4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是 0 次，1 次，2 次， 记事件 kA（k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼唤次数小于 k”，试用 间的运算表示下列事件：kA（1） 呼唤次数大于 2 ；（2） 呼唤次数在 5 到 10 次范围内；（3） 呼唤次数与 8 的偏差大于 2 解 (1) ；(2) ；(3) .3A1561A5试用事件 、 、 及其运算关系式表示下列事件：BC（1） 发生而 不发生；（2） 不发生但 、 至少有一个发生；（3） 、 、 中只有一个发生；A（4） 、 、 中至多有一个发生；BC（5） 、 、 中至少有两个发生；（6） 、 、 不同时发生解 (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；AB()CABC ABC(5) ； (6) 6在某大学金融学院的学生中任选一名学生若事件 表示被选学生是女生，事件表示该生是大学二年级学生，事件 表示该生是运动员B（）叙述 的意义ABC（2）在什么条件下 成立？（3）在什么条件下 成立？ 解（1）该生是二年级女生，但非运动员（2）全学院运动员都是二年级女生（3）全系男生都在二年级7化简下列各事件：（1） ； ()AB（2） ；（3） ；()（4） AB（5） .()()()A解(1) ；(2) ；AB(3) ；(4) ； (5) .ABABAB习题 1.21已知事件 、 、 的概率分别为 0.4，0.3，0.6求 ()P解 由公式 及题设条件得()()()PABPAB0.43.601又 ()()().401.32设 ， ， ，求（1） 4PABCPAB()()6CPBA、 、 中至少有一个发生的概率；（2） 、 、 都不发生的概率。BC解（1）由已知 ，且有 ，所以由概率的单调性知()0()0C再由概率的加法公式，得 、 、 中至少有一个发生的概率为AB()()() 32=0.6541PABCPABCPAB（2）因为“ 、 、 都不发生”的对立事件为“ 、 、 中至少有一个发C生” ，所以得 P（ 、 、 都不发生）=1-0.625=0.375。ABC3设 ， ， ，求 ) ， ， ()p()q()PABr(PAB() (B解 . 由PABPAB得 pqr则 PABPABqprp114设 、 、 是三个随机事件，且有 ， ， ABCCAB、()0.9P= 0.8 ，求 ()P()P解 因 1P则 10.82PBC又由 知 ，于是,AA.9.7PBC5某城市共有 、 、 三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有 45%的B人喜欢阅读 报，34%的人喜欢阅读 报，20% 的人喜欢阅读 报，10%的人同时喜欢阅A读 报和 报， 6%的同时人喜欢阅读报 和 报，4% 的人同时喜欢阅读 报和 报，1%ABACCB的人 、 、 三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件C的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读 报；A（4）只喜欢读一种报纸.解 设 、 、 分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读 报 、AB报、 报BC由题设知()0.45,().34,()0.2PPC16().ABAC（1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率 ()()() =0.45+3.201.6.04.1.8PPBCPBAA（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率()()() 10.8=2PBCPBC(3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 报的概率A()()() ()=0.45.106.1=3AAPBPCB(4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 报的概率()()() ()=0.34.10.1=2ABCAPBPCAB该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 报的概率()()() ()=0.2.60.4.1=ABCAPCPBAC故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率()()()() =0.3+21.=062PABCPABCPABC6设 ， 则下列说法哪些是正确的？ ()0（1） 和 不相容；（2） 和 相容；（3） 是不可能事件；（ 4） 不 一 定是不可能事件（5） 或 ；（6） 。()0PA()B()(PAB解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；又因为 ，所以（6）正确 .()()(习题 1.31将 10 本书任意放到书架上，求其中仅有的 3 本外文书恰排在一起的概率解 设 “3 本外文书排在一起” 。10 本书总的排法有 10！种；3 本书排成一列共有A3！种，将这 3 本书排列后作为一个元素与另外 7 本书在一起有 8！种排法，所以，事件含有的样本点数为 ，故!83!10.65PA2假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解 设 “能打开门” 。样本空间的样本点总数是 ，事件 含有的样本点数A21045CA为 ，则2137C213702() 0.534CPA3某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是 5 ，末位是 3 ，中间号不是 0 ，只好试拨求其试拨一次即拨对的概率解 设 “试拨一次即拨对” 。由题意，样本空间的样本点总数为 个，而正确的号A 37A码只有一个。因此 371()0.4865PA4从装有 5 只红球 4 只黄球 3 只白球的袋中任意取出 3 只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同解（1）设 “取到 3 只同色球” 。任取 3 只球的样本点总数是 ，取到 3A 3120C只红球的样本点数是 ，取到 3 只黄球的样本点数是 ，取到 3 只白球的样本510C34点数是 ，则3 335412015() 0.682CPA（2）设 “取到的球颜色各不相同” 。任取 3 只球的样本点总数是 ，取到B 3120C的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是 ，5436则 1543260().27CPB5将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出 1 球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率解（1）设 “取到 3 只同色球” 。 样本空间的样本点总数是 ，取到 3 只A 3278红球的样本点数是 ，取到 3 只黄球的样本点数是 ，取到 3 只白球的样本512346点数是 ，则373354()12671 0.258PA设 “取到的球颜色各不相同” 。 任取 3 只球的样本点总数是 ，取到的B 31728球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则 135460CA135460() .283217CAPB6一部四卷的文集,按任意次序放到书架上,问各卷自左向右,或自右向左的卷号的顺序恰好为 1,2,3,4 的概率是多少?解 设 =文集排列为 1,2,3,4 或 4,3,2,1 的次序，而一切可能的排列总数为A有利于所讨论的事件的排序项序总数为 k=2,即按 1,2,3,4 及 4,3,2,1 两种次序排列。4!,n则所求概率为=0.083321()4!kPAn7从 5 双不同的的鞋中任取 4 只,求这 4 只鞋中至少有两只配成一双的概率.解（1）设 =“4 只鞋中至少有两只配成一双 ，因为有利于事件 A 的取法总数为（即先从 5 双中任取一双，再在其余 8 只中任取 2 只的取法共有 种。258C 1258C是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用 中扣掉） ，所以有158C125840.69.PA8两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率解 设 =“前两个邮筒内没有信 ”。因为每封信有 4 种投法，所以两封信共有A种投法，而 所包含的样本点数为 ，从而24162()0.516PA9一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率解 设 =“6 位同学中有 4 个人的生日在同一个月份” 。每位同学的生日可能是 12 个A月份中的一个月份，6 位同学的生日可能有 种不同分布方式，而事件 的样本点数为62A，于是，所求概率为412C4126()0.73CPA10某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时设甲、乙两船在 24 小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解 设 x,y 分别表示两船到达某地的时刻,用 A 表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间(,)|024,xyy事件 ,| 1Ax或显然这是一个几何概型，故2213+()=0.87934mAP的 面 积的 面 积习题 1.4设 ， 问 (1) 什么条件下 可以取最大值，其值是()0.5A()0.6B()PAB多少？（）什么条件下 可以取最小值，其值是多少？P解（）因为.|0.5|ABAPB要使 最大，则需 最大，当 时， 可以取最大值，()P|P(|)1()A此时；()=0.5AB(2) 因为+.6()PABPPAB所以 时， 取最小值，此时()1()()=1.-0AB2设箱中有 5 个零件，其中 2 个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率解 设 表示第 i 次取到合格品，则所求概率为(1,23)iA123121312()(|)(|) 540PAPAA3由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记为事件 ）的概率为 ,刮风415（记为事件 ）的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 求B71510(|),(|)().PAPA及解 由题设知 ， ， ，则44(15B()1PAb()1/03(|)754PAB()/(|)8()()4719 503PABPAB4某工厂生产的产品中 36 为一等品，54 为二等品，10 为三等品从中任意取出 1 件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率解 设 “取出的产品为一等品” ， “取出的产品为二等品” ， “取出的产ABC品为三等品” ，则 36%,54,10%.PPC故所求概率为 36.41AC5 一批电子元件中，甲类的占 80 ，乙类的占 12 ，丙类的占 8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为 0.9 、0.8 和 0.7 今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率解 设 “任取一个元件为甲类” ， “任取一个元件为乙类” ， “任取一个ABC元件为丙类” ， “达到指定要求” ，则有D80%,12,8%PPC.90.0.7ADB故由全概率公式，有 BPDC0.89.1208.70.826某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱甲厂每箱装 100个，废品率为 0.06 ，乙厂每箱装 120 个，废品率是 0.05 ，求：（1）任取一箱，从中任取 1 个为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混放，则任取 1 个为废品的概率为多少？解 （1）设 “任取一箱为甲厂的产品 ”， “任取一箱为乙厂的产品” ， 1A2A“任取一个产品为废品 ”，则 构成完备事件组，由全概率公式，有B12,A122PBPAB30.6.50.65（2）甲厂产品 30 箱，每箱 100 个，废品率为 0.06，故共有甲厂产品 个，103其中次品 个；乙厂产品 20 箱，每箱 120 个，废品率为 0.05，故共有乙30.618厂产品 个，其中次品 个；两厂产品混到一起，共有产124240.5120品 3000+2400=5400 个，其中有次品 180+120=300 个，所以，从中任取一个为废品的概率是 301().56548PB7甲袋中有 3 只白球 4 只红球，乙袋中有 5 只白球 2 只红球从甲袋中任取 2 球投入乙袋，再从乙袋中任取 2 球求最后取出的 2 球全是白球的概率解 设 表示“第一次取到 只白球” ， 表示“第二次取到 2 只均为白球”iAi0,1iB，则是 的一个分割且 ，即012,2347,iiCPA0121,7PA又 01255,8PBAB故由全概率公式，可得20iii54170.4871828设一箱产品共 100 件，其中次品个数从 0 到 2 是等可能的开箱检验时，从中随机抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收（1）求该箱产品通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率解（1）设 表示“次品个数为 ”， 表示“该箱产品通过验收” 则由题iA0,12iB意，有 01213PAPA9101928290, CB由全概率公式，得 001122PBAPABPAB12033于是该箱通过验收的概率为 19(2) 所求概率为 0000 1.37.PABPA习题 1.51. 设 ，证明 、 相互独立的充分必要条件是0()1PBAB(|)(|)1PA证明 充分性因为P(AB )P( | ) = 1即1AB故有 PBAP 1ABPAB即 相互独立AB、必要性 因为 相互独立，则有、 ,PABPAB从而 , PA即1PABPA2. 甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击设甲、乙、丙射中的概率分别为 0.4 、0.5 、0.7 ，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为 0.2 ；若有二门炮射中，飞机坠毁的概率为 0.6 ；若三门炮射中，飞机坠毁的概率为 0.8 ；无人射中，飞机不会坠毁求飞机坠毁的概率解 设 “飞机坠毁” ， “ 门炮弹射中飞机” 显然， 构BiA1,23i123,A成完备事件组三门炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得 10.4.510.7.405.7P362.1.4A0.57.4130.5.7014P再由题意知123.,.6,0.8BAPBA由全概率公式，得310.2.416.08.43iiiP3. 假设每名射手命中目标的概率都是 0.3 问须多少名射手同时射击，方能以 0.99 以上的概率击中目标？解 设有 n 名射手同时射击，则目标被击中的概率为1()(0)nnkP由题意，求 n，使().9n即10.7. 0.7.1nn可得3.4. 某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：若一年内液晶显示器出现重大质量问题，商家保证免费予以更换已知此种液晶显示器一年内出现重大质量问题的概率为 0.005 ，试计算该商家每月销售的 200 台电脑中一年内须免费予以更换液晶显示器的台数不超过 1 的概率解 根据题意，这是一个 的 200 重的伯努利试验问题，所求概率为0.5p2011922()1.9.50.PC3678735. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占 60 ，其余的需重新调试经重新调试的产品中有 80 经检验合格，而 20 会被判定为不合格产品而不能出厂现该厂生产了200 台仪器，求下列事件的概率：（1） 全部仪器都能出厂；（2） 恰有 10 台不合格.解 设 “仪器需要重新调试” ，那么 “仪器能直接出厂” ； 又设 “仪器能AAB出厂” ，则 “仪器经调试后能出厂 ”，且易知 .于是BB ()|)0.64.8092PP考察 200 台仪器，相当于 的 200 重伯努利试验，则0.92p（1） 2020().9571P（2） .190020831XC6. 某厂的产品，80 按甲工艺加工，20 按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8 与 0.9 现从该厂的产品中放回地取 5 件来检验，求其中最多只有一件次品的概率解 设 “产品是按甲工艺加工的 ”，那么 “产品是按乙工艺加工的” ；又设AA“取出一件产品为次品 ”，则 由全概率公式，得 BPBPB0.82.01.8现从该厂的产品中放回地取 5 件来检验，相当于 的 200 重伯努利试()p验，则所求概率为 5(0)1P05145.820.82CC374697综合练习一一 填空题1.将一颗骰子连掷两次，该试验的样本空间为（ ）. (,)|1,2345,6ij2.三事件 至多发生两个可表示为（ ）.ABC、 、 ABC或3.若事件 互斥， ，则 （ 0.4. ）.与 ()0.6,()0.8P()P4. 已知两个事件 满足条件 且 ，则 ( 和 Ap)PB).1p5.设 为二随机事件， ，则 （ 0.6 ）.,AB()0.6,()0.2PAB()P6.将一枚硬币连掷两次，则出现一次正面一次反面的概率为（ ）.17. 已知两个随机事件 满足条件 ，则和 ().5,().4,()0.8AB( 0.4 ).)BAP8.设 5 产品中有 2 件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为（ ）.179.设某系统由元件 和两个并联的元件 串联而成，若 损坏与否相互独A,BCABC、 、立, 且它们损坏的概率依次为 0.3, 0.2, 0.1, 则系统正常工作的的概率为（ 0.089. ）.10.将一只骰子连续掷 3 次，则至少有一次出现 3 点的概率为（ ） .9126二 选择题1.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ (d) ） .(a) 样本空间 (b) 必然事件 (c) 不可能事件 (d) 随机事件2设 A, B 是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（ (d) ） 。(a) (b) 与 相容()PABAB(c) 与 互不相容 (d) )(P3设当 同时发生时，事件 C 必发生，则（ (b) ）.和(a) (b) ()1PCAB1AB(c) (d) ()P4设 ，则 ( (d) ).0.1,()0.5B() 2 () .30.4abc5设 为三个随机事件, 且 , 则AC、 、 95.0)(,8.CBAP（ (a) ）)(BP0.10.25 () 0.35 () .4abcd6设对于事件 有 , ，,AC41)(CPB0,则 至少发生一个的概率为 ( (d) )8)()(PB,357 ( () )82abc7设 为两个随机事件，且 ， 则有（ (c) ）,A0PB(|1A(a) (b) )(PBA)PB(c) (d) (8事件 相互独立，且 （ (b) ） 。,0.7,.6,PA() 0.8 () 0.28 () 0.18 () 0.42abcd9设两个相互独立的事件 都不发生的概率为 , 发生 B 不发生的概率与AB与 9A发生 不发生的概率相等，则 ( (c) )BA)P2521() () 9933abd10若 则 （ (a) ）., 0.,().8,CAB()PABC()0.7() 8 9 0.1c三 解答题1判断关于事件的结论 AB是否成立,为什么?解 利用事件运算的分配律，有()ABAB显然， 一般不等于 A,故结论 不一定成立，,只有 时，AB结论成立 .2设 6 位同学每位都等可能地进入十间教室中任何一间自习，求下列事件的概率：（1） 某指定教室有 2 位同学；（2） 6 位同学所在的教室各不相同；（3） 只有 2 位同学在同一教室；（4） 至少有 2 位同学在同一教室解 因为对教室中的人数没有限制，所以每位同学都有 10 种选择，6 位同学共有 种610选法，即样本点总数为 610（1）设 “某指定教室有 2 位同学” ，则 包含的样本点数为 ，故AA2469C469156()0.80CP（2）设 “6 位同学所在的教室各不相同” ， 则 包含的样本点数为 ，故BB610A61052()0.1APB（3）设 “只有 2 位同学在同一教室” ，则 包含的样本点数为 ，故CC214609CA2146095360() .4AP（4）设 “至少有 2 位同学在同一教室” ，则 “6 个同学均在不同的教室” ，DDB故 ()1()()10.52.84PP3 （1）从 7 副同型号的手套中任意取出 4 只，求恰有一双配套的概率；（2）若是 7 副不同型号的手套，上述事件的概率为何？解（1）设 =“从 7 副同型号的手套中任意取出 4 只，恰有一双配套 ”，则样本空间A的样本点总数为 ，事件 包含的样本点数为 ，于是410CA13790C490.851P（2）设 “ 从 7 副不同型号的手套中任意取出 4 只，恰有一双配套” ， 则样本空间的B样本点总数为，事件 包含的样本点数为 ，于是 2760.19B4甲、乙、丙三个车间生产同种产品，次品率分别为 0.05 、0.08 、0.1 从三个车间各取 1 件产品检查，求下列事件的概率：（1） 恰有 2 件次品； （2） 至少有 1 件次品解 设 =“从甲车间取出的是次品” ， “从乙车间取出的是次品” ， “从ABC丙厂取出的是次品”.（1）设 D=“恰有 2 件次品” ，则 ，于是DAC()()()PBPB0.58.905.210.958.136476（2）设 “至少有 1 件次品” ，则E()1()PE0.952.10.786.21345 在0，1 区间内任取两个数，求两数乘积小于 的概率。解 设任取得两个数为 x，y，用 A 表示两数的乘积小于 这一事件，样本空间 (,)|01,xy事件 1()| ,1,4Axyxy,0显然 1,S14ln.596d利用几何概型的计算公式有， ()=0.ASP6甲、乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5 ，问谁先投中的概率较大，为多少？解 设 表示“甲第 次投中” ， 表示“乙第 次投中” 事件 “甲先投中”可iAijBjA表示为121231234AAB 则甲先投中的概率为1121231234PAPBPAB 0.46.504.650.46.50. 71.即甲先投中的概率较大，概率为 0.57。7某保险公司把被保险人分为 3 类：“谨慎的” 、 “一般的” 、 “冒失的” 。统计资料表明，上述 3 种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05、0.15 和 0.30；如果“谨慎的”被保的人占 20%， “一般的”占 50%， “冒失的”占 30%.(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。（2）现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 解 （1）设 “被保险的人一年出事故 ”， “被保险的人是谨慎的” ， “被DAB保险的人是一般的， “被保险的人是冒失的”显然， 构成完备事件组三类C,BC人一年内是否出事故，相互独立， () =20%.5+0.13%.=0175 PDAPBDCP(2) .| .57 P8设某车间共有 5 台车床，每台车床使用电力是间歇性的，平均每小时约有 6 分钟使用电力。假设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻，（1）至少有三台车床被使用的概率（2）至多有有三台车床被使用的概率（3）至少有一台车床被使用的概率。解 设 A 表示” 车床被使用 ” 即使用电力事件.有60.1 Pp32415015555()34(0.1)9(0.)9(.)9.86 pPCC41502555()141(0.)9(.)9.5 p535()(0)(.). P9某种疾病在牲畜中传染的概率为 0.25.设对 20 头牲畜注射某种血清后，其中仍有一头受到感染，试问这种血清是否有效？ 解 若这种血清无效,则因每头牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染两种结果,且牲畜间是相互独立的,故此试验相当于 20 重贝努利试验,n=20,p=0.25,故知 20 头牲畜中出现至多一头受感染的概率为2011920201.75.507.243 PC因为这个概率很小，一般在一次试验中不易发生，故根据小概率推断原理，知此种血清是有效的。10某自动化机器发生故障的概率为 0.2.如果一台机器发生故障只需要一个维修工人去处理，因此，每 8 台机器配备一个维修工人。试求：(1) 维修工人无故障可修的概率；（2）工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出故障待修的概率。如果认为每四台机器配备一个维修工人，还经常出来故障得不到及时维修。那么，四台机器至少应配备多少个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于 3%。解 （1）由已知条件知，每台机器发生故障是相互独立的，故维修工人无故障可修的事件，即为 8 台机器均不发生故障的事件，故所求概率为 8154()(20.1678 pP（2）因为工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出了故障待修的事件的逆事件为 8 台机器中至多有一台发生故障，故所求机器待修的概率为 817244()()0.9655 pC又按四台机器配备维修工人时，若配备一个工人，则当机器发生故障，又不能及时维修（发生故障的机器多于 1 台）的概率为433()()0.18%.55 pC若四台机器配备 2 人时，则当机器发生故障又不能及时维修的概率为413224 4()()()0.73.555 p故四台机器至少应配备 2 个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于 3%。11*巴拿赫火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少（r=1,2,3， ，N）？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又是多少？解 设选取甲盒火柴为“成功” ，选取一盒火柴为“失败“，于是相继选取甲盒”成功“与”失败“的概率均为 12，且为独立试验序列（1）当在某一时刻首次发现甲盒中无火柴，意味着取到甲盒 N+1 次，取到乙盒 N-r 次。且最后一次取到甲盒，前 N+N-r=2N- r 次中恰有 N 次取到甲盒，故其概率为2211()()2NNrNrr rCC再由对称性可知，他首次发现乙盒中无火柴而甲盒中恰剩 r 根事件的概率亦为2()Nrr故所求概率为 1212()NrrrpCC（2）同理，第 一次用完一盒火柴（不是发现空）而另一盒恰有 r 根事件的概率为1212()Nrr事实上，第一次用完一盒火柴（不是发现空）而另一盒恰有 r 根意味着取到甲盒 N次，取到乙盒 N-r，且最后 一次取到甲盒，前 N-1+N-r=2N- r-1 次中恰有 N-1 次取到甲。习 题 2.11 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例解 用 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数， 的全部可能取值为可列的XX0,1,2,3， ；用 表示某人掷一枚骰子出现的点数， 的全部可能取值为有限个YY1,2,3，4,5,6 ；2 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例解 用 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记） ， 的全部可能取值为区间XX（0，+）（0，+）3 设随机变量 的分布函数 为()Fx= ()x2 1, 0Ax确定常数 的值，计算 . A(4)PX解 由 可得(20),F1 =4A.()(04)(0)75PXF4试讨论： 、 取何值时函数 是分布函数AB()arctn3xFxAB解 由分布函数的性质，有 ，可得0,1,2,21,ABAB于是 arctn,.23xFx习 题 2.21设 10 个零件中有 3 个不合格现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数 的概率分布X解 由题意知， 的取值可以是 0,1,2,3.而 取各个值的概率为X70,13,90P27,1831.090XP因此 的概率分布为X12 3700X: 2从分别标有号码 1 ，2 ， ，7 的七张卡片中任意取两张，求余下的卡片中最大号码的概率分布解 设 X 为余下的卡片的最大号码 ，则 X 的可能取值为 5、6、7，且152P61572PX即所求分布为6 152: 3某人有 n 把外形相似的钥匙，其中只有 1 把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布解 设此人将门打开所需的试开次数为 ，则 的取值为 ，事件X1,23,kn，且1Xkk前 次 未 打 开 ， 第 次 才 打 开，1Pn， ，2X112 ,kknn 故所需试开次数的分布为 12Xn: 4随机变量 只取 1 、2 、3 共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求 的概率分布X解 设 ，则由题意有,3PaXbPc1ca解之得 231cb设三个概率的公差为 ，则 ，即 的概率分布为d1,3adcX，2 X: 103d5设随机变量 的全部可能取值为 1 ，2 ， ，n ，且 与 成正比，求()PXk的概率分布X解 由题意，得 1,2kPXpckn其中 是大于 0 的待定系数 c由 ，有1nkp121nkcpcn即 ，解之得12n. 21cn把 代入 ，可得到 的概率分布为21cnkpX2,1,.kPnn6一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布解 设汽车未遇红灯通过的路口数为 ，则 的可能值为 0，1，2，3X以 表示事件“汽车在第 个路口首次遇到红灯 ”，则 相互独立，且1,23iAi 3,A1,2iiPA对 ，有0,k102PXA1214PA12383PXA所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 348: 7将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过 3 为止求掷骰子次数的概率分布解 设掷骰子次数为 ，则 可能取值为 1，2，3，4，且X6P；5212；1736X46P所以掷骰子次数 的概率分布为12 35716X: 8设 的概率分布为 X0 1 2 3P0.2 0.3 0.1 0.4试求（1） 的分布函数并作出其图形；X（2） 计算 ， ， 101.5X2P解（1）由公式 ，得kxFPpx0,0.215,.63,xFXx （2） 1(1)0).50.P0.5.(XF2).69设随机变量 的分布函数为 01.20()721xFx， ，试求（1） 求 的概率分布；X（2） 计算 ， ， ，132P1PX03X1|0PX解 (1)对于离散型随机变量，有 ，因此，随机变量kFk的概率分布为 X102 .5.3X: (2) 由分布函数计算概率，得；1310.522PF；.X； 030()10.28,1010.5