空间知识点复习

命题：张子龙 第 1 页 共 32 页 第 2 页 共 32 页庆来学校高中部 2011-2012 学年下学期复习资料空间几何体的结构、三视图和直观图基础梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到3空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy45或 135，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x轴、y轴已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为 原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z轴，也垂直于xOy平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度不变一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平 齐” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相 邻两物体的表面相交，表面的交 线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法两个概念(1)正棱柱：侧 棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面， 侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多 边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反 过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心例题：1下列说法正确的是( )A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D棱台各侧棱的延长线交于一点2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面3某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )命题：张子龙 第 3 页 共 32 页 第 4 页 共 32 页A8 B823 3C8 2 D.23解析 圆锥的底面半径为 1，高为 2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V2 22 1228 ，正确 选项为 A.13 234若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析 所给选项中，A、 C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项 B符合5一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为_m 3.解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、 宽、高分别为 3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为 1，高为 3，所以该几何体的体 积为 321 36(m 3)13空间几何体的结构特征【例 1】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是( )A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上审题视点 可借助几何 图形进行判断解析 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即 A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即 C 正确；在高线 上可以找到一个点 O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即 D 正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题 B 为假命题选 B.三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱 锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决空间几何体的三视图【例 2】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )审题视点 由正 视图和俯视图想到三棱锥和圆锥解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为 D.命题：张子龙 第 5 页 共 32 页 第 6 页 共 32 页(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时 ，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线【训练 2】 (2011浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析 A 中正视图，俯视图 不对，故 A 错B 中正视图 ，侧视图不对，故 B 错C 中侧视图，俯视图不对，故 C 错，故选 D.空间几何体的表面积与体积基础梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积 体 积圆柱 S 侧 2rh VSh r2h圆锥 S 侧 rl V Sh r2h r213 13 13l2 r2圆台 S 侧 (r 1r 2)lV (S 上 S 下 )13 S上 S下h (r r r 1r2)h13 21 2直棱柱 S 侧 Ch VSh正棱锥 S侧 Ch12V Sh13正棱台 S侧 (CC)h12V (S 上 S 下 )h13 S上 S下球 S 球面 4R 2 V R3432.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和两种方法(1)解与球有关的 组合体 问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它 们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点” 、“接点”作出截面图(2)等积法：等 积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过 已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值例题：1圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A4S B2SCS D. S233解析 设圆柱底面圆的半径为 r，高 为 h，则 r ，S又 h2r 2 ，S 圆柱侧 (2 )24S.S S命题：张子龙 第 7 页 共 32 页 第 8 页 共 32 页2设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A3a 2 B6 a2 C12 a2 D24a 2解析 由于长方体的长、宽、高分 别为 2a、a、a，则长方体的体对角线长为 a.又长方体外接球的直径 2R 等于 长方体的体对角线， 2R a.S 球2a2 a2 a2 6 64R 26 a2.3(2011北京 )某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A8 B6 2C10 D8 2解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6,6 ，8,10，所以面积2最大的是 10，故选择 C.4(2011湖南 )设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 12 B. 1892 92C942 D3618解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为 3，长方体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2，故所求体积为 232 3 18.43(32) 925若一个球的体积为 4 ，则它的表面积为_ 3解析 V R34 ，R ，S4R 243 12.43 3 3几何体的表面积【例 1】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A48 B328 17C48 8 D8017审题视点 由三 视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为 4 的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为 2,4，高为 4，故腰 长为 ，所以该几何体的表面 积为 488 .17 17答案 C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系几何体的体积【例 2】如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )命题：张子龙 第 9 页 共 32 页 第 10 页 共 32 页A18 B12 C9 D 63 3 3 3审题视点 根据三 视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 ，故 V33 9 .3 3 3答案 C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解几何体的展开与折叠【例 3】(2012 广州模拟)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB 4，ADCD2，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示(1)求证：BC 平面 ACD；(2)求几何体 DABC 的体积审题视点 (1)利用线面垂直的判定定理，证明 BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明(1)证明 在图中，可得 ACBC2 ，2从而 AC2BC 2AB 2，故 ACBC，取 AC 的中点 O，连接 DO，则 DOAC，又平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，DO平面 ADC，从而DO平面 ABC，DOBC，又 ACBC，ACDOO，BC平面 ACD.(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC2 ，S ACD 2，V BACD2SACD BC 22 ，13 13 2 423由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为 .423(1)有关折叠 问题 ，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不 变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理 2：经过 不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个平面(不重合的两个平面) 有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面命题：张子龙 第 11 页 共 32 页 第 12 页 共 32 页推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与b所成的锐角或直角叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)范围： .(0，23直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线 和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证 明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面三个作用(1)公理 1 的作用： 检验平面；判断直线在平面内； 由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理 2 的作用：公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理 3 的作用： 判定两平面相交；作两平面相交的交 线；证明多点共线1下列命题是真命题的是( )A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条直线和一个点能确定一个平面D梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线 和直线外一点确定一个平面， C 错；故 D 正确2已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( )A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能 为平行直线，若 bc，则 ab，与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 3下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l ，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D, 若平面 平面 ，则平面 内的直 线可能不垂直于平面 ，甚至可能平行于平面 ，其余选项均是正确的4如果两条异面直线称为“一对” ，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A12 对 B24 对 C36 对 D48 对解析 如图所示，与 AB 异面的直线有 B1C1；CC1，A1D1，DD1 四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线 24(对)1242平面的基本性质【例 1】正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B 1C1 的中点，那么，正方体的过 P、Q 、R 的截面图形是 ( ) A三角形 B四边形 C五边形 D六边形审题视点 过 正方体棱上的点 P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交 线命题：张子龙 第 13 页 共 32 页 第 14 页 共 32 页解析 如图所示，作 RGPQ 交 C1D1 于 G，连接 QP 并延长与 CB 交于 M，连接 MR 交 BB1 于 E，连接PE、RE 为截面的部分外形同理连 PQ 并延长交 CD 于 N，连接 NG 交 DD1 于 F，连接 QF，FG.截面为 六边形 PQFGRE.画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置异面直线【例 2】如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B 1C1 的中点问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由审题视点 第 (1)问，连结 MN，AC，证 MNAC，即 AM 与 CN 共面；第(2)问可采用反证法解 (1)不是异面直线理由如下：连接 MN、A 1C1、AC.M、 N 分别是 A1B1、B 1C1 的中点，MNA 1C1.又A 1A 綉 C1C，A 1ACC1 为平行四边形，A 1C1AC，MNAC，A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA 1B1C1D1 是正方体，B、C、C 1、D 1 不共面假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC 1平面 ，D 1，B 、C、C 1 ，与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假 设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直 线 异面异面直线所成的角【例 3】正方体 ABCDA1B1C1D1 中(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小；(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小审题视点 (1)平移 A1D 到 B1C，找出 AC 与 A1D 所成的角，再计算(2)可证 A1C1 与 EF 垂直解 (1)如图所示，连接 AB1， B1C，由 ABCDA1B1C1D1 是正方体，易知 A1DB 1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角命题：张子龙 第 15 页 共 32 页 第 16 页 共 32 页AB 1ACB 1C，B 1CA60.即 A1D 与 AC 所成的角为 60.(2)如图所示，连接 AC、 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，ACBD，ACA 1C1，E、F 分别为 AB、AD 的中点，EFBD，EF AC.EFA 1C1.即 A1C1 与 EF 所成的角为 90.求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行点共线、点共面、线共点的证明【例 4】正方体ABCDA1B1C1D1 中，E 、F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：(1)E、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE、D 1F、DA 三线共点审题视点 (1)由 EFCD1 可得；(2)先证 CE 与 D1F 相交于 P，再 证 PAD.证明 (1)如图，连接 EF， CD1，A 1B.E、F 分别是 AB、AA 1 的中点，EFBA 1.又 A1BD 1C，EF CD 1，E、C、D 1、F 四点共面(2)EFCD 1，EF CD 1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA ，P直线 DA，CE 、D 1F、DA 三线共点要证明点共线或线共点的问题，关 键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质 3，即证点在两个平面的交线上或者 选择其中两点确定一直线，然后 证明另一点也在此直线上直线、平面平行的判定及其性质 基础梳理1平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况2直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a，b，且 aba ；命题：张子龙 第 17 页 共 32 页 第 18 页 共 32 页(3)其他判定方法：；aa.3直线和平面平行的性质定理：a，a，l al.4两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a，b，abM，a，b ；(3)推论：a bM，a，b，abM， a，b ，aa，bb .5两个平面平行的性质定理(1)，a a；(2)， a， bab.6与垂直相关的平行的判定(1)a，bab；(2)a，a.一个关系平行问题的转化关系：两个防范(1)在推证线面平行 时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误(2)把线面平行 转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行例题：1下面命题中正确的是( )若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行A B C D解析 中两个平面可以相交， 是两个平面平行的定义， 是两个平面平行的判定定理2平面 平面 ，a，b，则直线 a，b 的位置关系是( )A平行 B相交C异面 D平行或异面3在空间中，下列命题正确的是( )A若 a，ba，则 bB若 a，b ，a，b，则 C若 ，b ，则 bD若 ，a，则 a解析 若 a，ba，则 b 或 b ，故 A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若，b，则 b 或 b，故 C 错误4(2012温州模拟 )已知 m、n 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) Amn，mnB ，m ，nmnCm ，mnnDm，n ，m，n解析 选项 A 中，如图，n m，mn 一定成立， A 正确；选项 B 中，如图，m ，nm 与 n 互为异面直线， B 不正确；选项 C 中，如图，m，mnn， C 不正确；选项 D 中，如 图，m ，n ，m，n 与 相交，D 不正确. 命题：张子龙 第 19 页 共 32 页 第 20 页 共 32 页5在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为_解析 如图连接 AC、BD 交于 O 点，连结 OE，因 为 OEBD1，而 OE平面 ACE，BD1平面 ACE，所以BD1平面 ACE.答案 平行 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，O 为 AC 的中点，M 为 PD 的中点求证：PB平面 ACM.审题视点 连 接 MO，证明 PBMO 即可证明 连接 BD，MO .在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD 的中点，所以 PBMO.因为 PB平面 ACM，MO 平面 ACM，所以 PB平面 ACM.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位 线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【训练 1】 如图，若PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，E 、F 分别是 AB、PD 的中点，求证：AF平面PCE.证明 取 PC 的中点 M，连接 ME、MF ，则 FMCD 且 FM CD.12又AECD 且 AE CD，12FM 綉 AE，即四边形 AFME 是平行四边形AFME，又AF 平面 PCE，EM平面 PCE，AF平面 PCE.【例 2】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N、P 分别为所在边的中点求证：平面 MNP平面 A1C1B；审题视点 证 明 MNA1B，MPC1B.证明 连接 D1C，则 MN 为DD 1C 的中位线，MND 1C.又D 1CA 1B，MNA 1B.同理，MP C 1B.命题：张子龙 第 21 页 共 32 页 第 22 页 共 32 页而 MN 与 MP 相交，MN， MP 在平面 MNP 内，A 1B，C 1B 在平面 A1C1B 内平面 MNP平面 A1C1B.证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线 平行” 、“线面平行” 、“面面平行”的相互转化【训练 2】 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC ，A 1B1，A 1C1 的中点，求证：(1)B，C ，H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)GH 是A 1B1C1 的中位线，GHB 1C1.又B 1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E、F 分别为 AB、AC 的中点，EFBC，EF平面 BCHG，BC 平面 BCHG，EF平面 BCHG.A 1G 綉 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A 1EGB.A 1E平面 BCHG，GB平面 BCHG.A 1E平面 BCHG.A 1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行2斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面一个关系垂直问题的转化关系线 线 垂 直 面 面 垂 直 判 定 性 质 线 面 垂 直 判 定 性 质三类证法(1)证明线线垂直的方法定义：两条直 线所成的角 为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；命题：张子龙 第 23 页 共 32 页 第 24 页 共 32 页线面垂直的性 质：a，b ab；线面垂直的性 质：a，b ab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定 义：a 与 内任何直线都垂直a；判定定理 1：Error!l；判定定理 2：ab，ab；面面平行的性质：，a a ；面面垂直的性质：，l，a ，ala.(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.例题：1下列条件中，能判定直线 l平面 的是( )Al 与平面 内的两条直线垂直Bl 与平面 内无数条直线垂直Cl 与平面 内的某一条直线垂直Dl 与平面 内任意一条直线垂直解析 由直线与平面垂直的定义，可知 D 正确2在空间中，下列命题正确的是( )A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析 选项 A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项 B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项 D 正确3用 a，b，c 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：若 ab，bc ，则 a c；若 ab，bc ，则 a c；若 a，b ，则 a b；若 a，b ，则 a b. 其中真命题的序号是( )A B C D解析 由公理 4 知是真命 题在空间内 ab，bc，直线 a、c 的关系不确定，故是假命题4如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析 由线面垂直知，图中直角三角形为 4 个答案 4 直线与平面垂直的判定与性质【例 1】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC45，ADAC 1，O 为 AC 的中点，PO 平面 ABCD.证明：AD 平面 PAC.审题视点 只需 证 ADAC，再利用 线面垂直的判定定理即可证明 ADC45 ，且 ADAC1.DAC90 ，即 ADAC，又 PO 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，PO AD，而 ACPO O，命题：张子龙 第 25 页 共 32 页 第 26 页 共 32 页AD 平面 PAC.(1)证明直 线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，a b；，aa；面面垂直的性质(2)线面垂直的性 质，常用来证明线线垂直【训练 1】 如图，已知 BD平面 ABC，MC 綉 BD，ACBC，N 是棱 AB 的中点12求证：CN AD.证明 BD 平面 ABC，CN平面 ABC，BDCN.又ACBC，N 是 AB 的中点CNAB.又BD ABB，CN平面 ABD.而 AD 平面 ABD，CNAD .平面与平面垂直的判定与性质【例 2】如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC ，PAD 是等边三角形，已知 BD 2AD8，AB 2DC4 .M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD.5审题视点 证 明 BD平面 PAD，根据已知平面 PAD平面 ABCD，只要证明 BDAD 即可证明 在ABD 中，由于 AD4，BD 8，AB4 ，5所以 AD2BD 2AB 2.故 ADBD.又平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD，所以 BD平面PAD.又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD.面面垂直的关键 是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本 题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法【训练 2】 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD 1，AA 12，M 是棱 CC1 的中点证明：平面 ABM平面 A1B1M.证明 A 1B1平面 B1C1CB，BM平面 B1C1CB， A 1B1BM ，由已知易得 B1M ，2又 BM ，B 1B2，BC2 CM2 2B 1M2BM 2B 1B2，B 1MBM.又A 1B1B 1MB 1，BM平面 A1B1M.而 BM平面 ABM，平面 ABM平面 A1B1M.平行与垂直关系的综合应用【例 3】如图，命题：张子龙 第 27 页 共 32 页 第 28 页 共 32 页在四面体 ABCD 中，CBCD，ADBD，点 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：(1)直线 EF平面 ACD；(2)平面 EFC平面 BCD.审题视点 第 (1)问需证明 EFAD；第(2)问需证明 BD平面 EFC.证明 (1)在 ABD 中，因为 E、F 分别是 AB、BD 的中点，所以 EFAD.又 AD 平面 ACD，EF 平面 ACD，所以直线 EF平面 ACD. (2)在ABD 中，因为 ADBD，EF AD，所以 EFBD.在BCD 中，因为 CDCB，F 为 BD 的中点，所以 CFBD.因为 EF平面 EFC，CF 平面 EFC，EF 与 CF 交于点 F，所以 BD平面 EFC.又因为 BD平面 BCD，所以平面 EFC平面 BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图图在解题中起着非常重要的作用，空间平