第02章数学模型

School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型控制理论基础控制理论基础 (I)交交 通通 大大 学学 精精 品品 课课 程程 系系 列列2010.10第第 2章章School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型第二章 物理系统的数学模型本章主要内容本章主要内容 : 2.I 2.2 2.3 2.42.5物理物理 系统的数学模型系统的数学模型非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换传递函数、典型环节传递函数、典型环节系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型Part 2.1 物理系统的 数学模型2.1.12.1.22.1.3机械系统机械系统电气系统电气系统相似系统相似系统数 学 模 型 的 定 义建 立 数 学 模 型 的 基 础提 取 数 学 模 型 的 步 骤ExampleSchool of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型Part 2.1.1 数学模型的定义系统示意图系统示意图系统框图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型系统框图t u2 u ua n v u t由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系 。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态 -稳定运动School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型数学模型：描述系统变量间相互 动态 (或静态 )关系的 数学表达式分析法分析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为 系统辨识系统辨识 。建立数学模型的方法：School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型数学模型的形式时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域： 传递函数结构图频率域： 频率特性School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型数学模型的准确性和简化Part 2.1.2 建立数学模型的基础运动运动 学学 ：牛顿定理、能量守恒定理：牛顿定理、能量守恒定理电工学：欧姆定理、基尔霍夫定律电工学：欧姆定理、基尔霍夫定律传热学：传热定理、热平衡定律传热学：传热定理、热平衡定律 微分方程微分方程 （连续系统）（连续系统）差分方程 （离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型实例机械平移机械旋转机械运动系统的三要素机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼 B质量 M 弹簧 KSchool of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型机械平移系统1）微分方程的系数取决于系统的结构参数2）阶次 取决于 (p50)独立储能元件的数量 ?！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型机械旋转系统School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型电气系统三元件电阻电阻电容电容电感电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型RLC 串联网络电路School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型相似物理系统School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型Part 2.1.3 提取数学模型的步骤 划分环节 写出每或一环节 (元件 ) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式实例实例 二级减速齿轮传动系统二级减速齿轮传动系统 二级二级 RC无源网络无源网络School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量 (必要时还要考虑扰动量 )，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）划分环节按功能（测量、放大、执行）School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型写出每一个环节 (元件 )的 运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。 数学上的简化处理（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型写成标准形式例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。 School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型折算转动惯量折算转动惯量折算力矩折算力矩折算阻尼系数折算阻尼系数2级减速齿轮传动系统School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型2级 RC无源网络BreakSchool of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型Part 2.2 非线性数学模型的线性化2.2.12.2.22.2.3常常 见见 非非 线线 性性 模模 型型线线 性性 化化 问问 题题 的的 提提 出出线线 性性 化化 方方 法法Example 液面系统液面系统单摆单摆Example 液面系统液面系统单摆单摆单变量 多变量注意：任何模型都是对实际系统的一种近似 !(实际对象物理模型数学模型 )School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型2.2.1 常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的导数 （偏导数） 项系数不依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：不包含变量及其导数的非一次幂（线性方程的性质：满足叠加原理 ）叠加原理：可加性齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型常见非线性情况：饱和非线性 死区非线性间隙非线性 继电器非线性Any more?硬非线性 ! School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型单摆 (非线性 )是未知函数 的非线性函数，所以是非线性模型。注意：中间表示摩擦的项严格地说也是非线性的。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型液面系统 (非线性 )是未知函数 h的非线性函数，所以是非线性模型。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型大多数系统只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2 线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。工程实际所面临的情况：线性系统优点：线性化定义将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型2.2.3 线性化方法以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量增量（微小偏差法）（微小偏差法）假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程 局部线性 增量方程School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基础 (I) 第二章 物理系统的数学模型增量方程增量方程的数学含义 :将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。(注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理 )School of Mechanical & Power Engineering 上海交通大学机械与动力工程学院控制理论基