第3章第1节关于实数基本理论

3.1关于实数基本定理Date 13.1关于实数基本定理当代著名数学家， 柯朗 曾指出： “ 微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成就之一。它处于自然科学与人文科学之间的 地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。 ”Date 23.1关于实数基本定理学习重在 “ 习 ”，知识重在 “ 识” ，文化重在 “化 ” ,教育重在“ 育 ” 。Date 33.1关于实数基本定理第二部分 极限续论关于实数的基本定理关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质证明及闭区间上连续函数性质证明第三章第三章1.关于实数完备性的基本定理关于实数完备性的基本定理2.闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连续函数性质的证明 Date 43.1关于实数基本定理二 .上确界和下确界一 .子 列三 . 几个实数基本定理 Date 53.1关于实数基本定理一 .子 列可见一个数列可以有无穷多个子列 . 为了方便 ,用另一种下标来表示它 .Date 63.1关于实数基本定理在选出的子列中 ,Date 73.1关于实数基本定理对于给定的一个收敛数列 ,它的任何子列是否也收敛呢 ?又子列的极限与原数列的极限有什么关系呢 ?下面的定理回答了这个问题 .问题：Date 83.1关于实数基本定理定理1:证毕此定理用来判别数列 不收敛 很方便 .若在数列 中有一个子列不收敛 ,或有两个子列不收敛于同一极限 ,就可以判断 不收敛 .证明 :如：数列 0,1,0,1 一定发散 ,因为它有两个子列分别收敛于 0和 1.故数列不收敛 .Date 93.1关于实数基本定理例 1:第一个子列收敛于 0, 第二个子列收敛于 1,Date 103.1关于实数基本定理在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系 (海涅定理 ):现在进一步有以下推论 :推论 :证明:只要证明对任何满足上述条件的数列 都收敛于同一个极限即可 .(反证法 )Date 113.1关于实数基本定理假设存在两个数列 :这与已知条件矛盾 .这就证明 .即推论得证 .Date 123.1关于实数基本定理二 .上确界和下确界第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍然不能满足今后继续深入研究讨论的需要 .这里将要介绍关于实数的几个基本定理 ,这几个基本定理是进一步深入研究函数的严格的理论基础 ,为此需要引进两个新概念 :上确界和下确界 .我们以应用比较广泛的数集为背景 ,给出 上确界和下确界 的一般性定义 .Date 133.1关于实数基本定理数集分为 有限数集 和 无限数集 .通常也说数列是一个数集.任何 有限数集 都有一个最大和最小数 ,但对于 无限数集 来说就未必了 .例如：Date 143.1关于实数基本定理因而 ,若它有最大数 ,则这个最大数是它的一个上界 ,并且所有比这个最大数小的任何数都不是它的上界 , 对于 有界数列 来说 ,它有无穷多个上界和无穷多个下界 .此时这个最大数自然就是它最小的上界 ;同样 ,若它有最小数 ,则这个最小数是它的一个下界 ,且比这个最小数大的任何数都不是它的下界 .Date 153.1关于实数基本定理关于他们的存在性暂且不论 ,我们先对一般数集确切定义它的 最小的上界 和 最大的下界 . 即上 (下 )确界的概念 .但从上例可见 ,对于一般无限数集不一定有最大数 或 最小数 .然而对于某些无限数集来说 ,最小的上界 和最大的下界 确实存在 .Date 163.1关于实数基本定理定义: 设给定一数集 E, 若 一个数 ,适合以下条件 :即 就是 E的最小的上界 .(2).(1).条件 (1)说明 是 E的上界之一 ,条件 (2)说明凡是小于 的任何数都不是 E的上界 .Date 173.1关于实数基本定理定义 : 设给定一数集 E,若 一个数 ,适合以下条件 :即 就是 E的最大的下界 .由以上定义可得上 (下 )确界的唯一性定理 .条件 (1)说明 是 E的下界之一 ,条件 (2)说明凡是大于 的任何数都不是 E的下界 .Date 183.1关于实数基本定理定理 2: 设数集有上 (下 )确界 ,则上 (下 )确界是唯一的 .说明 : 1. 并不是任何数集都有上 (下 )确界 .对任何 有限数集 来说它们一定存在 .而且由定义知 :最大数就是它的上确界 ,最小数就是它的下确界 .对任何 无限数集 来说它们就不一定存在了 .Date 193.1关于实数基本定理2.一个 无限数集 E即使它有上确界 (或下确界 ) , 这个 (或 )可属于 E也可以不属于 E.3.上例中 ,下确界 0不达到而上确界 1可达到 .上确界或下确界可达到时 ,它必是 E的最大数或最小数 .Date 203.1关于实数基本定理对下确界可达到必是数集 E的最小数的情况也可同样说明 .例2:Date 213.1关于实数基本定理数集 E的上 (下 )确界还有一个重要性质 :如何求数集 E的上 (下 )确界 ,有下面的定理 .定理 3:有下界的非空数集必有下确界 . (确界定理 )有上界的非空数集必有上确界 ,(直观上容易理解 ,不加证明予以承认 )Date 223.1关于实数基本定理定理 4: 单调有界数列必有极限 .证明 :(就单调增加的有界数列予以证明 )由上确界定义有 :(证毕 )Date 233.1关于实数基本定理这里不仅证明了单调有界数列的极限存在 ,而且也证明了如果它是单增的 ,则极限就是它的上确界 .同样可证单减有界数列的极限存在 ,并且极限就是它的下确界 .推论:这是因为单增无界数列必定不以有限数为它的上界 ,故可以认为它的上确界为 ;同样 ,对单减无界数列可以认为它的下确界为 .作业： p114 3、 4、 5Date 243.1关于实数基本定理定义: 三 . 区间套定理 具有如下性质若无穷闭区间列为 闭区间套 ,称区间集合 简称区间套 .(1)(2)则 数列 收敛于同一极限 ,且 是所有区间的唯一公共点 .定理5:后 在前 内几何意义Date 253.1关于实数基本定理证明 :. , 2 , 1 L = ， n a n x 且 有 并按区间套的条件 也有极限 递减有界数列 同理 ) ( 2 ， b ， n , lim lim x = = n n n n a b . , 2 , 1 L = ， n b n x 且 . , 2 , 1 L = ， n b a n n x 从而有 . 是唯一的 的 下面证明满足题设条件 x , , 2 , 1 , L = n b a n n x x 也满足 设 由区间套定义知 为递增有上界数列依单调有界定理 有极限( 是所有区间的公共点 )Date 263.1关于实数基本定理. , 2 , 1 , L = - - n a b n n x x 则 得 由区间套定义 ) ( 2 , 0 ) ( lim = - - n n n a b x x 则 . x x = 故有 证毕 .推论:说明 : 区间套中要求各个区间都是 闭区间 ,才能保证定理结论的成立 .Date 273.1关于实数基本定理定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个 ,说明: 即闭区间的端点满足不等式 :如果区间列中任何两个区间不完全重合，即区间的端点满足不等式 :区间套定理一般将不成立。Date 283.1关于实数基本定理四 . 致密性 (聚点定理的特殊情形 )定理 : 设 为数轴上的点集 , 为定点 ,(它可以属于 ,也可以不属于若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点 ,则称 为 的 聚点 .聚点概念和下面两个定义等价 : 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点 ,即 ,则称 为 的 聚点 .若存在各项互异的收敛数 列 , 则其极限 称为 的 聚点 . (定理 证 明用到 )说明 :定义若数列仅仅是有界的 ,则它不一定收敛 .那么有界的发散数列是否有收敛的子列呢 ?致密性 (聚点 )定理对这个问