第2章控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型 微分方程2-2 控制系统的复数域数学模型 传递函数2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 闭环系统的传递函数2-5 基于 MATLAB的控制系统建模方法简介前言在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。建立数学模型方法有 分析法和实验法 。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学等规律分别列写相应的运动方程。实验法是给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。自控的数学模型形式多种：时域中有 微分方程 、差分方程和状态方程；复数域中有 传递函数、结构图 ；频域中有 频率特性 等 .2-1 控制系统的时域数学模型1 微分方程的建立解 : 设回路电流为 i(t) , 由基尔霍夫定律可写出回路方程为ui(t) uo(t)CR Li(t)例 2-1 由电阻 R、 电感 L电容 C组成的无源网络 ,试列写以 ui(t) 为输入量 ,以 uo(t)为输出量的网络微分方程。图 2-1 RLC无源网络消去中间变量 i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为(2-1)假定 R、 L、 C都是常数，这是一个二阶常系数线性微分方程 ,也就是上图无源网络的时域数学模型。例 2-2 求电枢控制直流电动机的微分方程 , 要求取电枢电压 ua(t)为输入量 ,电动机转速 m(t)为输出量。Ra， La分别是电枢电路的电阻和电感； Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。 图 2-2 直流电机原理图 电枢回路电压平衡方程式中 Ea(V) 是电枢反电势 ,它是当电枢旋转时产生的电势，其大小与激磁磁通及转速成正比 ,方向与电枢电压 ua(t) 相反 , 即是反电势系数 .(2-2)解：电机将电能转换为机械能。由输入电枢电压 ua(t) 产生电枢电流 ia(t), ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t)从而拖动负载运动。 电磁转矩方程式中 是电动机转矩系数 , 是电枢电流产生的电磁转矩 .(2-3) 电动机轴上的转矩平衡方程(2-4)式中 , 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 ; 是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量 .由前三式消去中间变量 ia(t) , Ea 及 Mm(t) , 便可得到以 m(t) 为输出量 , 以 ua(t)为输入量的直流电机微分方程为(2-5)工程中电枢电路电感 La 较小 , 常忽略不计 ,因而上式可简化为(2-6)式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是电动机机电时间常数 (s);K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Rafm+CmCe)是电动机传递系数 .如果 Ra 和 Jm 都很小而忽略不计时 , 式 (2-6)还可进一步简化为这时 ,m(t)与 ua(t)成正比 ,于是 ,电动机可作为 测速发电机 使用 .(2-7)例 2-3 图 示为弹簧、质量、阻尼系统。当受外力 F(t)作用时 , 要求写出系统的微分方程。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)图 2-3 机械位移系统b)F(t)x(t)mKfa)解 :质量 m 上受力情况如图 示。根据牛顿第二运动定律有：（ 2-8）式中 : 阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向与运动方向相反，阻尼系数为 f， 即： 弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：K 弹簧刚度联立以上三式并整理得：（ 2-9）假定 m、 k、 f均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程。物理结构不同的元件或系统 ,可以具有相同形式的数学模型 , 如 RLC无源网络和弹簧 -质量 -阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，称之为 相似系统 . 相似系统揭示了不同物理现象间的本质相似关系。(1) 用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统 ;(2) 为控制系统的计算机数字仿真提供了基础；(3) 二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统 .利用它可以：质量 m 电感 L阻尼 f 电阻 R弹簧刚度 K 电容倒数 1/C建立微分方程的步骤： 根据系统的工作原理，忽略一些次要因素，做合理假设，确定系统的输入量、输出量，设中间变量； 依据所遵循的物理、化学或力学等规律，列写相应的方程； 消去中间变量，整理出只含有输出量与输入量之间关系的微分方程。将其写为标准形式，即与 输入量 有关的项写在方程的 右 端，与 输出量 有关的项写在方程的 左 端，方程两端变量的导数项均按 降幂 排列。控制系统微分方程的建立 参见教材例 2-52 线性系统的基本特性 叠加原理两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和,且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。u拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求解过程；u可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；u可以求得微分方程的全解。3 线性定常微分方程的求解当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、 拉氏变换法 和数值计算方法。用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型 传递函数 。而且具有如下优点 :3.1 拉普拉斯 (Laplace)变换（参见附录 A） 定义：设函数 f(t)，当 t 0时 , f(t)有定义，且积分在 s的某一域内收敛 , 则称 F(s)为 f(t) 的 拉氏变换 ，记作 F(s)=Lf(t) , F(s)又称为 象函数 ， f(t)称为 原函数 。(2-11)(s是一个复参量 )若 F(s)是 f(t) 的拉氏变换，称 f(t)为 F(s)的 拉氏逆变换 ，记作 f(t) =L-1F(s). F(s)和 f(t)为 一个拉氏变换对。 拉氏变换表 表 2 1 拉氏变换表 (参见教材表 A-3)t 位移定理： 基本定理 设 F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F2(s)=Lf2(t),为常数 线性定理 ： 相似定理： 为实常数 微分定理：当 f(t)及其各阶导数的初始值都为零时： 积分定理： 式中： 为在 处的值LL当： 时 终值定理：(4) 拉 氏反变换定义： 拉氏反演积分求拉氏逆变换的方法在实际使用时，采用部分分式展开法，即将复杂函数展开成简单函数的和。 初值定理： 卷积定理：两个函数卷积的拉氏变换等于这两个函数拉氏变换的乘积其中： 可查表。 一般象函数 F(s)是复变数 s的有理代数分式把 F(s)的分母因式分解根据 A(s)=0有无重根，求 f(t)=L-1F(s)分为两种情况，见附录 A例 A-5, A-7.3.2 拉氏变换法求解微分方程例 2-6 在 RLC网络中，若已知 L 1H， C 1F， R l， 且电容上初始电压 uo(0)=0.1V， 初始电流 i(0)=0.1A， 电源电压 ui(t)= 1V。 试求电路突然接通电源时，电容电压 uo(t)的 变化规律。ui(t) uo(t)CR Li(t)解 在例 2-1中得网络微分方程为电路突然通电，可视为阶跃输入， ui(t)=1(t), Ui(s)=1/s.代入 Ui(s)=1/s后，对上式求拉氏逆变换可求得微分方程的解对微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有前两项是由网络输入电压产生的输出分量 ,与初始条件无关，故称为 零初始条件响应 ；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为 零输入响应 ，它们统称为网络的 单位阶跃响应 。用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程： 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为 变量 s的代数方程 ； 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。4 非线性微分方程的线性化 所有现实中的系统都不是线性的，但在一定条件下，为了便于分析和求解，可对系统进行理想化和线性化处理； 手段 : a. 忽略非线性； b.小偏差线性化法 ,取某平衡状态点 A, 泰勒级数展开 , 小范围内以直代曲。自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态 ,而其被控量的偏差不会很大，是 小偏差 。在建立其数学模型时，常将系统的稳定工作状态作为起始状态，研究小偏差的运动情况，故这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可行的。2-2 控制系统的复数域数学模型 -传递函数拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统的传递函数。它不仅可表征系统的动态性能 ,且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制论中的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础的 ,它是经典控制理论中 最基本和最重要的概念 。1 传递函数的 定义和性质 定义线性定常系统的传递函数 ,定义为 初始条件为零 时 , 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 , 记为 G(S), 即 :（ 2-16）设线性定常系统的 n阶线性常微分方程为设 r(t) 和 c(t) 及其各阶导数在 t=0 时的值均为零 ,即在零初始条件 ,对上式中各项分别求拉氏变换 ,令 C(s)=Lc(t), R(s)=Lr(t)可得 s 的代数方程为式中于是 ,由定义得系统的传递函数为(2-17)ui(t) uo(t)CR Li(t)例 2-8 试求例 2-1 RLC无源网络的传递函数解 : 该网络微分方程已求出 ,如式 (2-1)显然， 传递函数的极点就是微分方程的特征根在零初始条件下 ,对上式进行拉氏变换 ,令 Uo(s)=Luo(t), Ui(s)=Lui(t)得由传递函数定义得网络传递函数为 性质 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数 ,具有复变函数的所有性质 . 即 mn且所有系数均为实数 .二阶系统振荡环节 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应 g(t) . 脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲 输入时的输出响应 ,此时 , 传递函数是一种 用系统参数表示输出量与输入量之间关系 的表达式 ,它只取决于系统的结构和参数 , 而与输入量的形式无关 ,也不反映系统内部的任何信息。图 2-5 传递函数的图示G(s)R(s) C(s) 传递函数与微分方程有 相通性 . 在零初始条件下，若将微分方程的算符 d/dt 用复数 s 置换便得到传递函数 ; 反之亦可 .微分环节 和 积分环节传递函数是在 零初始条件 下定义的，控制系统的零初始条件有两方面的含义 :一是指输入量是在 t0时才作用于系统 ,因此 在 t=0-时输入量及其各阶导数均为零 ;二是指输入量加于系统之前 ,系统处于稳定的工作状态