第12章随机信号处理初步

第十二章 随机信号处理初步l本章介绍随机信号处理的一些基本概念，并且借助 Matlab，给出了一些谱估计的方法。l在许多信号处理的场合，信号是确定性的，例如电力系统里面的正弦波，而在更多的场合，系统并不知道要处理的信号的确定信息，比如我们在收听新闻广播的时候，并不知道播音员下一分钟将说些什么，因此用确定性函数来描述这样一个信息是不合适的。l如果信号的值是确定值，那么信号称为 确定性信号 ；l如果信号的值是随机变量，那么信号称为 随机信号 。l随机信号的处理涉及很多的理论和方法，本章只对随机信号进行一些基本的分析和讨论。为了分析方便起见，只讨论离散时间随机信号 。12.1 随机过程我们用 随机过程 (Random Process)来描述随机信号。 对 于一个随机信号 ， 对 于某一个固定的是一个随机 变 量。 变 化形成的随机 变 量的集合就是一个随机 过 程。 一方面 随机 过 程 既可以看成另一方面 随机 过 程 也可以看成所有 实 例的集合， 实 例或者 说样 本 是一个确定性的信号。 随机变量的集合；变化形成的我 们 用各种概率函数来描述随机 变 量，以及随机 变 量之 间 的概率的随机 变 量概率分布函数 (probability destribution function)来描述其分布情况。对于某一个确定 ，我们用概率分布的情况： 概率分布函数固定值 自变量概率密度函数 固定值自变量如果随机变量的取值被量化了，也就是说，的取值离散地分布在有限个数值等级上，例如：我们在计算机里面用一个字节（unsigned char）来存储一个数值，则在 256个数值等级上取值。 概率质量函数 固定值 自变量我们用联合概率分布函数来描述多个随机变量之间的相互依从关系， 联合概率分布函数固定值 自变量联合概率密度函数固定值自变量如果随机变量的取值被量化了，我们用联合概率质量函数，联合概率质量函数 固定值 自变量两个随机变量 统计独立 :l如果一个随机过程的所有概率函数与时间原点的选择无关，则称之为 严平稳随机过程 或者 狭义平稳随机过程 ，这种随机过程的概率函数有以下特征： 12.2 随机过程的统计特征l在很多情况下，单用概率函数来描述随机变量和随机过程并不合适。用随机变量和随机过程的一些统计特征来描述或者刻画它们，可能会更加合适。随机变量的 均值 （ mean）定义为： 随机变量的函数仍然是随机变量，其均值为： 两个随机变量、的函数仍然是一个随机变量，它的均值定义为： 容易证明均值的下列性质： 如果两个随机变量和是统计独立的，容易证明： 统计独立只是上式的充分条件，不是必要条件，我们把满足上的两个随机变量和称为是 线性独立 (linearly independent)的。统计独立的随机变量一定线性独立，线性独立的随机变量不一定统计独立。 随机变量的 均方值 (Mean-Square Value )定义为： 随机变量的 方差 （ variance）定义为 ：容易证明： 方差的平方根或者 标 准差 （ standard deviation）。被称为 均方差 (mean square deviation)对于一个随机过程随机过程，它在不同时刻所对应的随机变量之间的统计特征主要用自相关序列和自协方差序列来表征。 自相关序列 (Autocorrelation Sequence)定义为： 自协方差序列 (autocovariance sequence)定义为： 容易证明： 对 于随机 过 程 和随机 过 程它 们 的相互依 赖 关系可以用互相关序列和互 协 方差序列来表征。互相关序列 (Crosscorrelation Sequence)定 义为 ：互协方差序列 (crosscovariance sequence)定义为： 容易证明： 一般而言，随机过程的统计特征是随时间变化而变化的，但是对于狭义平稳随机过程来说，由于其概率函数与时间起始点无关，容易得出：也就是说，均值和方差是与时间无关的常数。狭义平稳充分条件充分条件必要条件 必要条件狭义平稳随机过程的自相关序列有：也就是 说 ，自相关序列 仅仅 是 时间 差是一个一 维 序列。的函数，l在很多情况下，并不需要分析随机过程的概率函数，而只要了解它的统计特征就够了，因此我们引入广义平稳过程的概念。l如果一个随机过程满足 (12.29)和 (12.31)式，且均方值有界，则称为 广义平稳随机过程 (generalized stationary random process)或者 宽平稳随机过程 。因为有了 “均方值有界 ”这么个条件，严平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。一个随机信号可以看成是一个 样 本信号集这 个 样 本集中的每一个元素是一个确定性信号。在 实际 操作 过 程中，我 们 并不能 够 得到所有的 样 本信号。大部分情况下，只能 够 得到 样 本集中的一个确定性信号，而我 们 的问题 是利用 这 个确定性信号来 计 算随机信号的 统计 特征。中的任意一个确定性信号我 们 定 义 如下：对于样本信号集如果 对 于所有的 样 本信号都有：我 们 称 该 随机 过 程是 各 态 遍 历 (ergodic)的。有了 这 个各 态 遍 历 假 设 ，我 们 就可以根据一个确定性的 样本信号来 计 算随机信号的 统计 特征。在 实际 中，我 们 并不能 进 行 (12.32)