第一节函数的连续性

1二、函数的连续性及其性质例 1 证明： 对每个正整数 n，方程 在 上有且只有一根 ，1n2xx ,0 nx并求 。nxlim解：记 ，当 n=1 时，显然 的根 ,n2)(xf )(nxf 11x对任意的正整数 n1， ，由连续函数的介值定理知，至少存)1(0)(nnff，在一点 ，使 ，即 在 中至少有一根 ，又因为)1,0(nxxx1,0nx1,032-n2 xf ，所以 在 上严 格增加，故它在 上只能有一个根。)(nxf, ,又因为 ，由函数 的单调)(1)()( 1nn1nn1 xfxfxf )(1nxf性得数列 是单调下降，注意到 ，所以 存在。不妨设其极限为nx ,0limA，由 两边求极限得 ，解得nn2nn 1)()(1 xxxf A1.2A例 2. 设函数 在区 间 上连续可导， ，且 ，()fx(,)ab(,)0,(12,)iixabn 1ni证明：存在 ，使得 .(,)ab1()niifxf证明：不妨设 ，若 ，则取 ， 显然121nx 1nx1x()niifxf成立.若 ，再设1nx，12 12()mi(),(),max(),()nn nffxfxffxf 第一讲 函数的连续性2则有 11111()()()()()nnnnii iiininfxffxfxfxffx即 , 又因为 在区间 上连续，因而也在 上连1()()niinfff()f(,)ab1(,)n续，由连续函数的介值定理，存在 ，使得 .1(,)(,nx1()()niiffx本题去掉导函数的连续性结论也成立。例 3.设函数 在 上连续，如果存在数列 ，使得 ，)(xf,ba,ban Afnn)(lim求证：存在 ，使得 。0Axf)(0证：由连续函数的最值性知，存在 ，使得,21t)(ax)()(min,2n, ftfff bbax 因为 ，在上式中，令 ，得 ，由连续函数的介值性Afnn)(li 1知，存在 ，使得 。,0 Af)(0另证：利用抽子列的方法证明。例 4、设函数 在 上可导，证明：（1）若 ，则至少存在一)(xf,ba0)(bfa点 ，使得 ；（2）若 ，则 是区间,0,0)(xf xf上的单调函数。）（ ba证明：（1）由题设 ，即 ，不妨设)(bfa)(bfa,由定义有0)()(ff，0)(lim)(;0)(lim bxffxfbxax由极限的保号性知，存在 使得 内有 ，,1）（ 1,aaf同理，存在 使得 内有 。,02）（ b2 )(f可见 均不是 的最大值，于是连续函数 在闭区间 上)(bfa与 )(xf x,b3的最大值点 必在 内取到，由费马定理得，在最大值点 处，有 。）（ ba, 0)(f（2）若 是区间 内可导，且 ，下证)(xf）（ , ),(,0)(baxf,0)(xf或用反证法证。若存在 ，使得 ，由）（ ba,21,)(2121 baxf（1）中已证结论知，至少存在一点 ，使得 ，这与题,),(2bax0)(f设条件 矛盾，故 ，因而 是区0)(xf ,0)ff 或 f间 上的单调函数。）（ ba,例 5、设 为有界闭区间 上的连续函数，且有数列)(,gf ,ba使， 证明：至少存在一点 ，使xn21)(1nxfn ,ba.)(f证：令 ,显然 也是 上的连续函数，对 ，不妨)(gfF)(F,banx设 ，则0)(1x（1（ 若存在某个 使得 ，则命题得证；kx0)(k（2（ 若存在某个 使得 ,则由连续函数的零点定理，存在一点，使 ，则命题得证.,1bak )()(gfF， 即（3（ 若对任意的 ， ，即 ，nx0n nnxf因为 ，所以函数列 单调下降，)()()11nxgfg )(因为 ，所以函数列 也单调下降，1nnff nf因为 都是 上的连续函数，所以 和 有界，故)(x， ,ba)(xg)(nf， 都存在，记 。limnnglinf )(limnnAli1nf由于 ，所以存在收敛的子列 ，有 ，,k,limkbakn则由 的连续性得 )(xf，4.)(limA)(limkk fxfgxkk nn 例 6、求证方程 恰有一个实根，其中 为常数，且0cosqpqp,.10q证明： ，因为 所以必存在xxf)( ,)(li,)(li-xfxf