第3章322线性规划问题解的基本理论_第1页
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二、 线性规划问题 解的概念和性质一、一、 LP问题的各种解问题的各种解 可行解可行解 ： 满足约束条件和非负条件的决策变量的一组取值。可行解集可行解集 ： 所有可行解的集合。可行域可行域 ： LP问题可行解集构成 n维空间的区域，可以表示为：4.最优解最优解 :使目标函数达到最优值的可行解。5.最优值最优值 ：最优解对应目标函数的取值。6.求解求解 LP问题问题 :求出问题的最优解和最优值。7.基本解 :令非基变量等于 0，从 AX b中解出的基变量所得的解称为 LP关于基 B的基本解。可行解与基本解的区别？基本解基本解 设 AX=b是含 n个决策变量、 m个约束条件的 LP的约束方程组，若 B是 LP问题的一个基，若令不与 B的列相应的 n-m个分量（非基变量）都等于零，所得方程组的解 X=0,0, ,0,x n-m+1,xn-m+2, xnT称为方程组方程组 AX=b关于基关于基 B的一个基本解的一个基本解 ，简称为 LP的基本解的基本解 。8.基本可行解基本可行解 （对应的基为可行基）：满（对应的基为可行基）：满足非负条件的基本解。足非负条件的基本解。9.退化的基本可行解退化的基本可行解非零分量个数小于非零分量个数小于 m（至少有一个基变（至少有一个基变量取值为量取值为 0）。）。10.最优基最优基该基对应的基本可行解为该基对应的基本可行解为 LP的最优解的最优解。 m基本解的个数 Cn基本可行解的非零分量均为正分量个数不超过 m结论结论11.基本最优解基本最优解 （对应的基为最优基）：（对应的基为最优基）：使目标函数达到最优值的基本可行解。使目标函数达到最优值的基本可行解。最优解 基本最优解2、线性规划问题解的性质定理、线性规划问题解的性质定理 ： 定理定理 3-1 线性规划问题的可行解集（即可行域） 是凸集。 定理定理 3-2 线性规划几何理论基本定理若 ，则 X是 D的一个顶点的充分必要条件是 X为线性规 划的基本可行解。定理定理 3-3 若可行域非空有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在可行域的顶点上达到最优值。定理定理 3-4 若目标函数在 k个点处达到最优值（ k2） ,则在这些顶点的凸组合上也达到最优值。上述上述 4个定理的一些有意义的启示：个定理的一些有意义的启示： J LP的可行域一定是凸集，但是凸集不的可行域一定是凸集，但是凸集不一定成为一定成为 LP的可行域，而非凸集一定的可行域，而非凸集一定不会是不会是 LP的可行域。的可行域。J线性规划的基本可行解和可行域的顶点线性规划的基本可行解和可行域的顶点是一一对应的是一一对应的 J 在可行域中寻找在可行域中寻找 LP的最优解可以转的最优解可以转化为只在可行域的顶点中找，从而把一化为只在可行域的顶点中找，从而把一个无限的问题转化为一个有限的问题。个无限的问题转化为一个有限的问题。J 若已
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