线性代数 第三章矩阵初等变换与线性方程组_第1页
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文档简介

线性方程组的解设一般线性方程组为线性方程组有解，我们称它们是 相容 的；如果无解，则称它们是 不相容 的。方程（ 1）对应的矩阵方程为其中：1称为方程组 (1)的 增广矩阵。其中 为 方程组 (1)的 系数矩阵。2称为方程组（ 1）的 导出组，或称为（ 1） 对应的齐次线性方程组。当 时 ,齐次线性方程组齐次与非齐次线性方程组非齐次线性方程组3定义： 线性方程组的初等变换（ 1） 用一非零的数乘某一方程（ 2） 把一个方程的倍数加到另一个方程（ 3） 互换两个方程的位置可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解。对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵；做初等行变换初等行变换4化为行阶梯形矩阵5则以矩阵（ 3）为增广矩阵的方程组与方程组（ 1）同解。化为行最简形矩阵6由矩阵（ 3）可讨论方程组（ 1）的解的情况 有 唯一解。有 无穷多解。3) 特别地，方程组 (1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。当 有 唯一的零解。有 无穷多解，即有非零解。1) 若 ，即 则方程组无解。2) 若 则 方程组有解，当 时，7举例说明消元法具体步骤：例：解线性方程组解：最后一行有可知方程组无解。 8例：解线性方程组解：9对应的方程组为 即所以一般解为 （ k为任意常数）10齐次线性方程组1. 齐次线性方程组（ 2）有解的条件定理 1:齐次线性方程组 有非零解定理 2:齐次线性方程组 只有零解推论 :齐次线性方程组 只有零解即 即 系数矩阵 A可逆 。11例 : 求齐次方程组的通解。解：初等行变换12行最简形矩阵对应的方程组为求通解即是 自由未知量。令则 即为 任意常数。 13解： 初等行变换所以只有零解。14三 . 非齐次性线性方程组有解的条件 定理 3： 非齐次线性方程组 有解并且，当 时，有唯一解；当 时，有无穷多解。15求解非齐次方程组解：16令 则为 任意常数）17例k取何值时有唯一解 ,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解 .解： 法 1：1819法 2： 利用 Cramer法则有 无穷多解， 即当 时，当 时，即 且 时，方程组有唯一解。20所以方程组无解。21线性方程组讨论例题取何值时， （ 1）有唯一解；（ 2）无解；（ 3）有无穷多组解解： 当 时； 22线性方程组讨论例题 (2)当 时； 23线性方程组讨论例题 (3)当 时；原方程组有唯一解 当 时；显然此时方程有无限多组解显然此时方程有无限多组解24线性方程组讨论例题 (4)当 时；原方程组无解 当 时；原方程组有唯一解 当 时 , 原方程组无解 当 时； 方程有无限多组解25线性方程组讨论例题取何值时 有解，并求出它的解解：时，无解 26线性方程组讨论例题时： 线性方程的解为：得：27线性方程组讨论例题时： 线性方程的解为：得：28线性方程组讨论例题解：时
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