第14章市场风险var历史模拟法

第 14 章Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 1市 场风险 VaR: 历 史模 拟 法Historical Simulation l 历 史模 拟 法以 历 史数据 为 依据来 预测 将来。l 第 1步是 选 定影响交易 组 合的 风险 源， 这 些 风险源可能是 汇 率、股价、利率等，然后 需要收集 这些 风险 源在最近的 过 去 501天的数据，通 过这 些数据我 们 可以得出从今天到明天市 场 变 量的 不同变 化情形 。l 第一 个模 拟场 景是所有市 场变 量在第一天的 变化。l 第二个模 拟场 景是 所有市 场变 量在 第二天 的 变化 。l 以此 类 推。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 2Historical Simulation continuedl 假定我 们 使用 n 天的 历 史数据，以及假定 今天 为第 n 天 .l 我 们 将某市 场变 量 在第 i 天 所 对应 的数 值记 为 vi 。l 所以有 n-1 个模 拟场 景l 市 场变 量在 明天 (即 , 第 n+1 天 )所 对应 的 第 i 个 情景 为 是 Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 3例 : 2008年 9月 25日的投 资Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 4Index Amount Invested ($000s)DJIA 4,000FTSE 100 3,000CAC 40 1,000Nikkei 225 2,000Total 10,000 以美元 计 价的股票指数Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 5Day Date DJIA FTSE CAC 40 Nikkei 0 Aug 7, 2006 11,219.38 11,131.84 6,373.89 131.771 Aug 8, 2006 11,173.59 11,096.28 6,378.16 134.382 Aug 9, 2006 11,076.18 11,185.35 6,474.04 135.943 Aug 10, 2006 11,124.37 11,016.71 6,357.49 135.44. 499 Sep 24, 2008 10,825.17 9,438.58 6,033.93 114.26500 Sep 25, 2008 11,022.06 9,599.90 6,200.40 112.82情景Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 6情景 编 号 DJIA FTSE CAC Nikkei 投 资组 合价值损 失1 10,977.08 9,569.23 6,204.55 115.05 10,014.334 -14.3342 10,925.97 9,676.96 6,293.60 114.13 10,027.481 -27,4813 11,070.01 9,455.16 6,088.77 112.40 9,946.736 53,264. 499 10,831.43 9,383.49 6,051.94 113.85 9,857.465 142.535500 11,222.53 9,763.97 6,371.45 111.40 10,126.439 -126.439损 失排序Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 7情景 编 号 损 失 ($000s)494 477.841339 345.435349 282.204329 277.041487 253.385227 217.974131 205.2561天 99% VaR=$253,385VaR的精确度l 在 历 史模 拟 法中， 对 于交易 组 合价 值变 化分布的 计 算是基于 过 去 发 生的有限的 观 察 值 ，正 因如此 ， 历 史模 拟 法对 于分布的分位数的估 计 并不是 绝对准确 。l 肯德 尔 （ Kendall） 及斯 图 尔 特 （Stuart） 的研究成果 给 出了由抽 样 数据计 算出的概率分布 的分位数 的 置信区间 。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 8VaR的 精确度假定概率分布的 第 q 个 分位数的估 计值 为 x ， n 为 观察 值 的 个数 ， 这 一估 计 的 标 准差 为其中， f(x) 为 对应 于 损 失量 为 x 的 损 失分布的密度函数 值 ， 这 一函数 值 可以通 过 将 经验 数据与 标 准分布进 行匹配来估 计 。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 9例l 假如采用 历 史 模 拟 法从 500个 观测值 中求 取 的 0.99分位数的估 计值为 2 500万 美元l 我 们 可以采用 标 准分布来 对经验 分布 进 行匹配，并由此求得 f(x)的近似 值 。 假定 经验 分布服从正 态 分布，其 期望值 为 0， 标 准差 为 1 000万 美元l 在 Excel中， 0.99分位数 所 对应 的数 值 为NORMINV(0.01,0,10) = 2 326 万 (美元 )， f(x) 的数 值为NORMDIST(23.26,0,10,FALSE)=0.0027l 因此， 0.99分位数估 计值 的 标 准差 为Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 10推广 1l 一种 较为 自然的 权 重 选择 是使地 权 重 随 时 间 回望期的延伸而按指数速度 递 减l 将所有的 观 察 值 由最坏到最好 进 行 排序l 由 损 失最坏的情形开始， 我 们 开始累 积计算每一 项权 重的和，当 权 重 总 和达到某指定分位数界限 时 ，停止 计 算Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 114个指数的投 资组 合的 应 用l=0.995 Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 12情景 编 号 ($000s) 权 重 累 积权 重494 477.841 0.00528 0.00528339 345.435 0.00243 0.00771349 282.204 0.00255 0.01027329 277.041 0.00231 0.01258487 253.385 0.00510 0.01768227 217.974 0.00139 0.01906131 205.256 0.00086 0.019921天 99% VaR=$282,204扩 展 2l 将市 场变 量波 动 率的更新 模式， 与 历 史模 拟 法并用。l 假定第 i 天的波 动 率是第 i-1 天波 动 率 的两倍， 因此可以 预见 今天到明天的 变 化量也 应该 是从 第 i - 1 天 到第 i 天 变 化 量的两倍 。l 市 场 变 量在 第 i 个 情形会 变 成Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 13在 4指数例子中，利用 EWMA 模型估 计 出的波 动 率 (% 每天 )Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 14Day Date DJIA FTSE CAC 40 Nikkei 0 Aug 7, 2006 1.11 1.42 1.40 1.381 Aug 8, 2006 1.08 1.38 1.36 1.432 Aug 9, 2006 1.07 1.35 1.36 1.413 Aug 10, 2006 1.04 1.36 1.39 1.37. 499 Sep 24, 2008 2.21 3.28 3.11 1.61500 Sep 25, 2008 2.19 3.21 3.09 1.59经 波 动 率 调节 的 500个 情景 的 、 由高到低 进 行排序后的 损 失Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 15情景 编 号 损 失 ($000s)131 1,082.969494 715.512227 687.72098 661.221329 602.968339 546.54074 492.764推广 3l 假定有 500个 数据l 我 们 可以采用再替 换 的形式 对 数据 进 行抽 样500000次，由此可以 产 生 1000组 500天的 数据， 对 于每一 组 数据我 们 可以 进 行 VaR的运算l 对 于 计 算 值 我 们 从小到大 进 行排列，假如名列第 25位的 值为 530万美元，名列第 475位的 值为890万 美元，那么 对应 于 95%置信水平的置信区间为 530万 890万l 这 就是 统计 自助法Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 16计 算 问题l 为 了避免交易 组 合价 值 的多次重复 计 算，金融机构有 时 会使用 delta/gamma 近似方法l 当一个 产 品的价格 P 依 赖 于 单 一市 场变 量 , S, 由 S 的 变 化而引起的价格 变 化可近似估计为Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 17极 值 理 论l 极 值 理 论 可以 描述一个 变 量 x 的 经验 概率分布的右尾部状 态 . (如果要 描述左尾部状 态 ，我 们 可以使用 变 量 x.）l 我 们 先 选择 右端 尾部的 一个 数 值 ul 我 们 可以使用 Gnedenko 的 结论 ： 随着 分布 u 的增加， 趋 向于广 义 Pareto分布。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 18广 义 Pareto 分布Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 19l 广 义 Pareto 分布有两个参数 x (有关分布的形状 ) 和 b (分布的 规 模因子 )l 广 义 Pareto 分布的累 计 分布函数 为参数 的 最大似然估 计Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 20l 我 们 将所有 大于 u 的 观 察 值 xi,按 从大到小 进 行 排序。假 设 有 nu 个 观测值 比 u 大。l 我 们 采用使得最大的 x 和 b 作 为 最大似然法估 计 的参数对 4指数的例子使用最大似然估 计法 , u=160Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012 21情景 编 号 损 失 ($000s) 排序494 477.841 1 -8.97339 345.435 2 -7.47349 282.204 3 -6.51329 277.041 4 -6.42487 253.385 5 -5.99304 160.778