第2章系统数学模型

自动控制原理 第二章系统数学模型专业基础课 邓晓刚信息与控制工程学院自动化系第二章 控制系统的数学模型n 2-1 引言n 2-2 微分方程（时域模型）n 2-3 传递函数（复域模型）n 2-4 结构图和信号流图（图形描述）n 2-5 小结2-1 引言n 1.数学模型的概念描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。n 2.数学模型的研究意义能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。n 3.数学模型的种类静态模型：静态条件下各变量之间的关系动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程n 4.数学模型的建立方法分析法（白箱模型）u对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等实验法（黑箱模型）u人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识综合法（灰箱模型）u但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。u实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化u但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。n 数学模型的形式时域（ t） ： 微分方程复域（ s）： 传递函数频域（ w）：频率特性三种数学模型之间的关系线性系统传递函数 微分方程 频率特性拉氏变换 傅氏变换2-2 控制系统时域模型1.微分方程的建立【 例 1】 RLC电路如下图，分析输入电压 ur(t)作用下电容上电压 uc(t)的变化。R LCur(t) uc(t)i(t)+_+_依据电学中的基尔霍夫定律 (2)式两边求导消去中间变量 i(t)R LCur(t) uc(t)i(t)整理成规范形式(1)n 【 例 2】 建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力 F(t)作用下，物体的运动轨迹。 k F(t)x(t)位移阻尼系数 f阻尼器弹簧m首先：确定输入 F(t),输出 x(t)其次：理论依据1.牛顿第二定律2.牛顿第三定律k F(t)x(t)位移阻尼系数 f阻尼器弹簧 mF1(t) F2(t)机械平移系统的微分方程为：注意：写微分方程时，常习惯于把 输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列 。微分方程数学模型的标准形式这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统， 这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统）讨论：n 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。n 列写微分方程的基本步骤：1) 确定系统的输入量和输出量2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。【 例 3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。电枢电压 ua(t)作为输入量，电机转速 m(t)作 为输 出量 . Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感； Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。 负载La Ra+-Ea+-SMJm fmuauf+-i a注：电能转化为机械能(1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为 Ce是反电势系数（伏 /（弧度 /秒）通常 La很小，可以忽略不计负载La Ra+-Ea+-SMJm fmuauf+-ia其中为转矩系数（牛 米 /安 ）(2) 电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为 Jm：转动惯量； fm: 粘性摩擦系数负载La Ra+-Ea+-SMJm fmuauf+-ia电枢回路电压关系电能与机械能的转换机械能中的转矩平衡消去中间变量所以直流电机的运动方程为 直流电动机的时间常数直流电动机的传递系数进一步整理【 例 4】 求下图所示运算放大器的数学模型。ur ucRfRiRui0irif-+Rf是反馈电阻， if是反馈电流，Ri是输入电阻， ur和 ir是输入电压和电流，uc是输出电压 ,i0是进入放大器的电流。“虚地 ”: u 0放大器具有高增益 k=105109,而通常 uc小于 10伏，因为 u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压 u近似等于 0“虚断 ”: i0 0运算放大器的输入阻抗很高，流入放大器的电流 i0也近似等于 0。n “虚断 ”: i0 0 ir=if n 运算放大器的数学模型为n “虚地 ”: u 0【 例 5】 试列写速度控制系统的微分方程K1 功放 K2 SM减速箱负载测速机ui-ufwwmuaR1R1R1R2 R2C-+ -+-2. 控制系统的微分方程（ 1）系统输入变量 ui，输出变量 w（ 2）绘制系统方块图1级运放 2级运放 功放 电机 减速箱测速箱uiufue u1 u2 ua wm w_（ 3）列写各环节微分方程（ a）第 1级运放（ b）第 2级运放（ RC比例微分放大电路）（ c）功率放大器1级运放 2级运放 功放 电机 减速箱测速箱uiufue u1 u2 ua wm w_（ d）直流电动机（ e）减速箱（ f）测速机1级运放 2级运放 功放 电机 减速箱测速箱uiufue u1 u2 ua wm w_（ 4）消去中间变量，整理得：其中，3.线性系统的性质n 1）定义如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。n 2）性质：满足叠加原理叠加性齐次性设元件输入为 r(t)、 r1(t)、 r2(t)，对应的输出为 c(t)、 c1(t)、 c2(t)如果 r(t)=r1(t)+r2(t)时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足 叠加性如果 r(t)=ar1(t)时， c(t)=ac1(t) 满足 齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件28例如，一个二阶模型均可以表示为分别满足上面的方程，即如果系统是线性的，那么下面的点也满足方程29代入下面的方程满足叠加原理和齐次性，所以是线性的n 3）叠加原理的意义对线性系统可以应用叠加性和齐次性，对研究带来了极大的方便