第3讲　二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第 3 讲 二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题【2013 年高考会这样考】1考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)2考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围【复习指导】1掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)2理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合基础梳理1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线 l：ax byc0 把直角坐标平面分成了三个部分：直线 l 上的点(x ，y )的坐标满足 axbyc 0；直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y )的坐标满足 axby c0；直线 l 另一侧的平面区域内的点(x，y )的坐标满足 axby c0.所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 (x0，y 0)，从ax0by 0c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y )代入AxByC 所得到实数的符号都 相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由 Ax0By 0C 的符号即可判断 AxByC0 表示直线AxByC0 哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名 称 意 义目标函数 欲求最大值或最小值的函数约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号， 则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线 AxBy C0 的某一侧 取一个特殊点(x 0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否 则就表示直线的另一侧特别地，当 C0 时，常把原点作为测试点；当 C0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步 骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最 优解代入目标函数即可求出最大值或最小值两个防范(1)画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化(2)求二元一次函数 zaxby (ab0)的最值，将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：y x ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值要注意：当ab zb zbb0 时，截距 取最大值时， z 也取最大值；截距 取最小值时，z 也取最小值；当zb zbb0 时，截距 取最大值时， z 取最小值；截距 取最小值时，z 取最大值zb zb双基自测1(人教 A 版教材习题改编)如图所示的平面区域 (阴影部分)，用不等式表示为( )A2xy30B2xy 30C2xy 30D2xy30解析 将原点(0,0) 代入 2xy3 得 2003 30，所以不等式为2xy30.答案 B2下列各点中，不在 x y10 表示的平面区域内的点是 ( )A(0,0) B( 1,1) C(1,3) D(2，3)解析 逐一代入得点(1,3)不在 xy10 表示的平面区域内答案 C3如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析 两条直线方程为：xy 10， x2y 20.将原点(0,0)代入 xy1 得10，代入 x2y2 得 20，即点(0,0)在 x2y20 的内部，在 xy10 的外部，故所求二元一次不等式组为Error!答案 A4(2011安徽 )设变量 x，y 满足| x|y|1，则 x2y 的最大值和最小值分别为( )A1，1 B2，2C1， 2 D2，1解析 法一 特殊值验证：当 y1，x0 时，x2y2，排除 A，C；当y1，x0 时， x2y 2，排除 D，故选 B.法二 直接求解：如图，先画出不等式| x| y|1 表示的平面区域，易知当直线x2yu 经过点 B，D 时分别对应 u 的最大值和最小值，所以 umax2，u min2.答案 B5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y人，请工人的约束条件是_答案 Error! 考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例 1】(2011 湖北)直线 2xy100 与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D无数个审题视点 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线 2xy100 与4x3y200 的斜率即可判断解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线 2xy100 恰过点 A(5,0)，且斜率 k 2k AB ，即直线 2xy100 与平面区域 仅有一个公共点43A(5,0)答案 B不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分【训练 1】 已知关于 x， y 的不等式组Error!所表示的平面区域的面积为 4，则k 的值为( )A1 B3 C1 或 3 D0解析 其中平面区域 kx y20 是含有坐标原点的半平面直线 kxy20又过定点(0,2) ，这样就可以根据平面区域的面积为 4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据区域面积为 4，得 A(2,4)，代入直线方程，得 k1.答案 A考向二 求线性目标函数的最值【例 2】(2011 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组Error!给定若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为( ，1)则 zO O 的最大值2 M A 为( )A3 B4 C3 D42 2审题视点 作出平行域 D，然后解出目标函数 z 的表达式，用截距法求 z 的最大值解析 画出区域 D，如图中阴影部分所示，而zO O xy ，y xz，令 l0：y x，将 l0 平移到过点( ，2)时，M A 2 2 2 2截距 z 有最大值，故 zmax 24.2 2答案 B求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于 0，将其对应的直线平行移动，最先通 过或最后通过的顶点便是最优解【训练 2】 已知变量 x，y 满足条件Error!若目标函数 zaxy (其中 a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围是( ) A. B.( ， 12) ( 12，0)C. D.(0，12) (12， )解析 画出 x、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数 zaxy 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线 yaxz 的斜率应小于直线 x2y30 的斜率，即a ，a .12 12答案 D考向三 求非线性目标函数的最值【例 3】变量 x、y 满足Error!(1)设 z ，求 z 的最小值；yx(2)设 zx 2y 2，求 z 的取值范围审题视点 利用目 标函数所表示的几何意义求解解 由约束条件Error!作出(x，y) 的可行域如图所示由Error!解得 A .(1，225)由Error!解得 C(1,1)由Error!解得 B(5,2)(1)z .z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率观察图形可yx y 0x 0知 zmink OB .25(2)zx 2y 2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC| ，d max|OB| .2z29.2 29求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值【训练 3】 如果点 P 在平面区域 Error!上，点 Q 在曲线 x2(y2) 21 上，那么|PQ|的最小值为( )A. B. 132 45C2 1 D. 12 2解析 如图，当 P 取点 ，Q 取点(0，1)时，| PQ|有最小值为 .(0，12) 32答案 A考向四 线性规划的实际应用【例 4】某企业生产 A，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种 劳动力 (个) 煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品 10 4 5已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电 200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？审题视点 题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润” ，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此 A，B 两种产 品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出 A，B 两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数解 设生产 A，B 两种产品分别为 x 吨，y 吨，利润为 z 万元，依题意，得Error!目标函数为 z7x12y .作出可行域，如图阴影所示当直线 7x12 y0 向右上方平行移动时，经过 M(20,24)时 z 取最大值该企业生产 A，B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时，才能获得最大利润线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题【训练 4】 (2011四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需运往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z( )A4 650 元 B4 700 元C4 900 元 D5 000 元解析 设派用甲型卡车 x 辆，乙型卡 车 y 辆，获得的利润为 z 元，z450x350y ，由题意，x、y 满足关系式Error!作出相 应的平面区域，z450x350y 50(9x7y)，在由Error!确定的交点(7,5)处取得最大值 4 900元答案 C难点突破 16高考中线性规划问题近几年新课标高考对线性规划问题的考查主要是以选择题或填空题的形式出现，线