第一章++随机事件与概率

第一章 随机事件与概率教学要求:1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算.3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算.4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算.5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率.本章重点: 概率的概念，条件概率与独立性，全概率公式与贝叶斯公式.教学手段: 讲练结合.课时分配: 12 课时.1.1 随机事件和样本空间我们把在一定的条件下，对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验称为一个试验，如试验满足以下条件：(1)在相同的条件下可以重复进行；(2)试验的所有可能结果是预先知道的，且不止一个。(3)每做一次试验总会出现可能结果中的一个，但在试验之前，不能预言会出现哪个结果。那么，就称这样的试验为随机试验，也常简称随机试验为试验。试验的每一个可能结果，称为基本事件，用 表示，若干基本事件复合而成的结果称为复合事件，常用 、 、 等表示；试验下必然会发生的结果称ABC为必然事件，常用 表示，必然不会出现的结果称为不可能事件，常用 表示。上述事件统称为随机事件，简称事件。即（随机事件） .不 可 能 事 件必 然 事 件复 合 事 件基 本 事 件,例 1.1 掷一颗均匀的骰子基本事件： , 点出 现 kk.621， 复合事件： , .出 现 偶 数 点A出 现 奇 数 点B必然事件： .的 点出 现 小 于 7不可能事件： .的 点出 现 大 于为了便于用点集的知识描述随机事件，我们把试验下的每个基本事件抽象地看成一个点，称之为样本点，仍用 或 表示。全体样本点的集合称为样本i空间，用 表示。于是任一随机事件都可表示为 的子集，特别地，样本空间表示必然事件，其空子集 表示不可能事件。不同的试验，对应的样本空间可能相当简单，也可能较复杂。例 1.2 掷一枚硬币令 , .出 现 正 面1出 现 反 面2则 .2,例 1.3 观察某天到某商场购物的顾客数。令 , .个 顾 客来 到 kk ，1k则 .0:例 1.4 设想平面上有一簇间距为 的平行线，现反复用一枚长度为 (al)的针投掷下去，投掷 次后，观察针与平行线相交的数目。aln.,21,1.2 事件的关系及运算1事件的包含与相等如果事件 发生必然导致事件 发生，则称事件 包含事件 , 或称事件ABBA含于事件 , 并记作 或 .BA若 且同时 ，则称事件 与事件 相等(或等价)，记为.2事件的和(并)与积(交)事件 与事件 的和(并)=A 与 B 至少一个发生, 记为 ，A BA推广：A 1， n至少一个发生= inAU121更一般地， “事件 至少有一个事件发生” ，记作 ,2A iniA1lmA、 B 同时发生=事件 A 发生且 B 也发生A1， An同时发生 innA 111 iniA11lm3互不相容事件和互逆事件（互相对立事件）若 =（即 A、 B 两事件不可能同时发生） ，称 A、 B 为互不相容（或互斥）事件。记 A 不发生，则称 为 A 的逆事件或 A 的对立事件，显然A 又是 的对立事件，即A 与 互为对立事件 ， ，此外， =A4.两事件的差 事件 A 发生而 B 不发生= A B事件的运算满足下述规则：（1）交换律： ， AB=BA （1.1 ）（2）结合律： CBA（1.2 ）=A（ BC） （1.3 ）（3）分配律： （1.4 ）CBCB（1.5 ）（4）De Morgan 定理（对偶原理）（ 1.6） (1.7)KkkA kkA例 1.5 利用事件的关系和运算律证明（）AB=A ，B（） 。BAB证：（） A B=A 发生且 B 不发生 发生，故 A B= A（） 又故原式成立例 1.6 设 A、 B、 C 是 中的事件，则（见书 P9）A 与 B 发生， C 不发生=ABA、 B、 C 中至少有二个发生 =ACBA、 B、 C 中恰好发生两个 = AA、 B、 C 中有不多于一个事件发生 = B1.3 事件的概率及其计算1概率的统计定义(1) 频率的定义设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 An次，则比值 Ann 称为随机事件A 发生的频率，记作 ()f，即 ()nf.(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数 n 很大时，频率 ()nfA在一个稳定的值 p(0 1)附近摆动，规定事件 A 发生的频率的稳定值 p为概率，即 ()PP(A)有如下三条重要性质（1）非负性 0P(A)1，（2）规范性 P（）1，（3）有限可加性 niiniPA11)()(2. 古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i) 试验的样本空间 是个有限集，不妨记作 ,21n(ii) 在每次试验中，每个样本点 ( 1,2in ）出现的概率相同，即PP)(21在古典概型中，规定事件 A 的概率为() An中 所 含 样 本 点 的 个 数中 所 含 样 本 点 的 个 数例 1.7 袋中装有外形完全相同的 2 只白球和 2 只黑球，依次从中摸出两球。记 A=第一次摸得白球， B=第二次摸得白球， C=两次均摸得白球。求 A、 B、 C 的概率。分析与解：我们用枚举法找出该实验的全体样本点。不妨对球编号，2 只白球编号为奇数 1、3，而 2 只黑球编号为偶数 2、4 ，对数（ i， j）表第一次摸到 i 号球，第二次摸到 j 号球这一结果，于是可将试验对应的样本空间所包含的样本点一一列出：=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共有 12 个样本点。由于球的外形完全相同，故样本点具有等可能性，这是一个古典概型，又A=(1,2)(1,3)(1,4) (3,1)(3,2)(3,4)B=(1,3) (2,1)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)C=(1,3) (3,1)据公式（1.8）有P(A)= ， P(B)= ， P(C)= 。21621661由上例看出，用公式（1.8）计算古典概率的关键，是要正确求出 n 和 ，A然而并非每次计算 n 和 都象例 1.7 那样简单，许多时候是比较费神而富于技A巧的，计算中经常要用到两条基本原理乘法原理和加法原理及由之而导出的排列、组合等公式，现简介如下：乘法原理：完成一件工作分 m 个步骤，第一步骤有 n1种方法，第二步骤有n2种方法，第 m 个步骤有 nm种方法，那么完成这件工作共有n1n2nm种方法。加法原理：完成一件工作有 m 个独立的途径，第一个途径有 n1种方法，第 m 个途径有 nm种方法，那么完成这件工作共有 n1 n2 nm种方法。以上述两个原理为基础，可以推导出如下的排列、组合等公式。1排列：从 n 个元素中取出 r 个来排列，既要考虑每次取到哪个元素，又要考虑取出的顺序，根据取法分为两类：（1）有放回选取，这时每次选取都是在全体元素中进行，同一元素可被重复选中，这种排列称为有重复排列，总数为 n 种。r（2）不放回选取，这时一元素一旦被选出便立刻从总体中除去，这种排列称为选排列，总数 ，特别地11nAr称为 n 个元素的全排列。!231nA2组合（1）从 n 个元素中取出 r 个元素的组合是不考虑元素的顺序的，其组合总数为 !rCr （1.9 ）（2）若 ，把 n 个不同的元素分为成 k 个部分，第一部rk21分有 r1个，第二部分 r2个，第 k 个部分 rk个，则不同的分法有（1.10）!2kn种，此称为多项系数，因为它是 展开式中 的系数。nkxx21 krx1当 k=2 时，即为（ 1.9）表示出的组合数（ ） 。r（3）若 n 个元素中有 n1个带足标“1” ， n2个带足标“2” ， nk个带足标“ k”，且 ，从这 n 个元素中取出 r 个，使得带足标“ i”k21的元素有 ri个（ ri ni,1 i k） ，而 ，这时不同取法的总数rk21为 1r2kr（1.11）3一些常用等式选排列和组合式可推广到 r 是正整数而 n 是任意实数 x 的场合，即有1xArx!rr（1.11）此外由 得nrrn011(1.12)n20利用幂级数乘法可推得:(1.13)a1nbna b0特别地有=0 n2由 ,上式即kn n102例 1.8 房间内有 500 个人，问至少有一人的生日是 10 月 1 日的概率是多少？ 解：因每个人的生日都有 365 种可能，因此 500 个人共有 365500 种可能，即n 365500设 A 表示“至少一人生日在 10 月 1 日” ，则P（A）P（至少一人生日在 10 月 1 日）P（恰有一人生日在 10 月 1 日）P （恰有 2 人生日在 10 月1 日）+P（恰有 500 人生日在 10 月 1 日）1P （恰有 0 个人生日在 10 月 1 日）1P （大家生日都不在 10 月 1 日因为每个人生日都不在 10 月 1 日，则有 364 中可能，因此 500 个人生日都不在 10 月 1 日共有 种可能。 50364.76)(5)(0A例 1.9 有 10 个电阻,其电阻分别为 1,2,，10，从中任取出三个，以 A 表示“取出的三个电阻恰好一个小于 5，一个等于 5，一个大于 5”这一事件，求 P(A).分析与解：从 10 个电阻中任取 3 个而不必考虑其顺序，所有可能的取法为组合数 ，由于每个电阻被取到的机会均等，因此每种取法是等可能出现的，310此为古典概型。因小于 5的电阻有 4 个，等于 5的只 1 个，大于 5的有 5个，按公式（1.11） ， A 所含样本点数为 。145故 P(A)= 613054例 1.10 某城有 N 部卡车，车牌号从 1 到 N，一人到该城去把 N 部卡车的牌号抄下，求 A =“抄到最大牌号正好是 K” 的概率（1 K N） 。分析与解：易理解，由于抄车牌号可能重复，问题归结为对 N 个车牌号进行 n 次有放回抽样，可考虑为可重复排列，样本点总数为，由于每个车牌号是等可能被抄到的，模型为古典概型，nnN个考虑事件 A 所含样本点数时，可以先考虑最大车牌号不大于 K 的抄法，共 K种，再除去最大车牌号不大于（ k1 ）的抄法（ k1 ） 种，即得 A 所含样本n n点数。于是， nNkKP在讨论古典概型时，有时我们也可以根据考虑问题方便，适当选取样本空间，见下面的例：例 1.11 袋中有 a 只黑球， b 只白球，它们除颜色不同外，其余无差异，现随机地把球一只一只地摸出，求A=“第 k 次摸出的一只球为黑球”的概率。 （1 k a b）解法一：将 a 只黑球看作没有区别， b 只白球也看作没有区别，将 a b 只球一一摸出排在 a b 个位置上，所有不同的摸法对应着 a b 个位置中取出 a个位置来摸黑球（其余为摸白球）的取法，即样本点总数 n= ，而 A 所含样本点数对应着不考虑第 K 个位置（第 K 个位置固定为黑球）的其余a b1 个位置中取出 a 1 个来摸黑球的取法，即为 ，于是 1abbaAP解法二：设想将 a 只黑球及 b 只白球编号后一一取出排成一排，则所有可能的排法为 n=(a b)!，事件 A 发生当且仅当第 k 个位置上是 a 只黑球中取出一个排进，其余 a b1 个位置是剩下的 a1 只黑球和 b 只白球来排列，于是 A所含样本点数 KA=a(a b1)!，故P!解三：仍设想把 a 只黑球， b 只白球依次编号为 1， a b,记=第 k 次摸球摸到第 i 号球则样本空间 = ，其中各 是等可能i ba,1i出现的，显然 A 含 中 a 个样本点，故 aAP三种解法答案一样，这说明对于同一随机现象，可以用不同的模型来描述，只要方法正确，结论总是一致的，上面解法一的每个样本点是由解法二的 a!b!个样本点合并而成，而解法三的每个样本点则由解法二的( a b1)！个样本点合并而成的。另方面，例 1.11 结论告诉我们，第 k 次摸到黑球的概率与 k 并无关系，这一有趣的结果具有现实意义，比如日常生活中人们常爱用“抽签”的办法解决难于确定的问题，本题结果告诉我们，抽到“中签”的概率与“抽签”的先后次序无关。例 1.12 一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品（ M N） ，采用有放回和不放回两种抽样方式从中抽 n 件产品，问正好抽到 K 件次品的概率是多少？分析与解：所求的概率显然是与抽样方式有关，下面分别加以讨论。（1）有回放抽样 不妨设想将 N 件产品进行编号，有放回抽 n 次的所有不同的抽法对应重复排列数 N ，其中次品正好出现 k 次的数目是n。故所求概率为knkMNn（1.14 ）kbnkkk knNM1（2）不放回抽样 从 N 件产品中取出 n 件的所有不同取法对应组合数。据公式（1.11） 。 “正好取到 k 件次品”对应的样本点数为 nN kM，故所需求的概率为kM此概率称为超级几何分布 (1.15)nNhk由上例看出，抽样方法不同，计算出的概率也是不同的，尤其是产品总数N 不大时， 和 的差别更是显而易见的。但当产品总数 N 较大而抽取的产品kbh数 n 相对较小时， 和 的差别就可以忽略。人们在实践中正是利用这一点，k把抽取对象较大的不放回抽样当作有放回抽样来处理，这样用（1.14）式计算概率比用（1.15）式简便得多。例 1.l3 设 n 个球（可辩） ，随机地放入 N 个盒中去，试求：（1）当 n=N 时，每盒恰有一球的概率（2）当 nN 时，任意的 n 个盒中恰有一球的概率。这里盒子为“死”的，球为“活”的。 解：（1）当 n=N 时，因为每个球都有 N 种放法， n 个球共有 种放法，nN即 的基本事件数 。而每盒恰有一球，则第一球有 n 种放法，第二个n球有 n-1 种放法，以此类推，n 个球共有 n!种放法。设 A 表示“每盒恰有一球” ，则 nAP!)(（2）当 nN 时，即盒多球少，先从 N 个盒中任取出 n 个，共有 种可nNC能，然后再在取出的 n 个盒中每盒放一个，共有 n！种做法。设 B 表示 “任意 n 个盒中各有一球” ，则 nNPB!)(从古典概型的讨论，可得古典概率有如下基本性质：（1）非负性：对任意 A F，有 P（ A）0（2）规范性： =1P（3） 有限可性： 是 F 中两两互斥事件，则n,1 niini AP11推论： （1.16）例 1.14 一袋中装有 N1 个黑球及 1 只白球，每次从袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问第 k 次摸球摸到黑球的概率是多大？解：令 A=第 k 次摸球摸到黑球。则 =第 k 次摸到白球 。由题设条件， 发生当且仅当前 k1 次都摸到黑球而第 k 次摸到白球，易得。 NNAPkk111kNAP3.几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为 积 ）、 面 积 或 体样 本 空 间 的 度 量 （ 长 度 体 积 ）的 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 )()(AP例 1.15 (会面问题）甲乙二人约定在 时段内去某地会面，规定先到者等T,0候一段时间 再离去，试求事件 甲乙将会面 的概率。)Tt解：分别以 表示甲乙到达会面地点的时间，则样本点是坐标平面上一个yx,点 ，而样本空间 是边长为 的正方形。由于二),( ,|),(yxT人到达时刻的任意性，样本点在 中均匀分布，属几何概率。我们关心的事件 甲乙将会面= ，如图事件 A 是正方形中夹于A|,tyx直线 与直线 中间的阴影部分。由公式，得tyxt.22)1()(1)( TtTtAP例 1.16 （Buffon 投针问题）平面上画有等距离为 a（ a0）的一些平行线，向此平面任意投掷一枚长为 l（ l a）的针，试求针与平行线相交的概率 p。解：以 x 表示针的中点 M 到最近一条平行线的距离， 表示针与最近一条平行线间的交角（见书 P24 图 1.8）易知有 ， （1 ）290由这两式可以确定在 平面上的一个矩形 ，要使针与平行线相交，必xO须且只需 。 （2）sinlx表示上不等式的点（ ， x） ，由书上图 1.8 中阴影部分 A 表示，由于可以理解针是等可能地落在平面上的任一位置，故有（3）aldlAP21sin0如果 l、 a 为已知，则以 值代入上式即可计算得 P(A)之值，反之如果已知P(A)之值，也可利用上关系式求 ，其方法是投针 N 次，记下针与平行线相交的次数 n，并以频率 作 P(A)的近似值代入（3）即得Nn anl2这时实际向大家介绍了一个很有用的计算方法，即若我们想要计算一个感兴趣的量（上面这个量是 ） ，则可适当地设计一个随机试验，使试验下某个事件的概率与感兴趣的那个有关，然后重复试验多次，以频率代事件的概率便可求出那个量的近似解来。人们称这种计算方法为随机模拟法或蒙特卡洛（MontoCarlo）方法。几何概率也具有类似统计概率和古典概率的基本性质，有所不同的是，由于几何概型对应的样本空间为欧氏空间的某个可测区域，其计算涉及的是区域的测度。因此， F 不能将 的全部子集选入，而只能取 的可测子集。 （否则几何概率无意义）当然， F 要满足它本身的三个条件，由于 的可测子集有无限个，故 F 中涉及事件的可列运算相应的几何概率也就会涉及到可列运算。例 1.17 考察在0，1 中随机投点的随机试验，记A=投点落入 ， =投点落入 ， n=1，2，。)21,0nAn1,2则 ，按题设所投的点落入某区间的概率等于该区间的长11nN度，于是有 ， ，2P12n便有11nnA上例说明几何概率满足可列可加性。综上，几何概率具有如下基本性质：（1）对任何事件 A， 0P（2） 1P（3）若 两两互斥，则 。,2 11nnA1.4 概率的公理化定义由上述三种概率模型可知，其概率的定义是针对不同类型的试验设计的，每一种定义都有局限性。实际上，随机试验的类型是多种多样的。这样就极不利于概率论的发展。因此有必要建立概率的统一定义。在总结前人研究的大量成果的基础上，Kolmogorov 于 1933 年建立了概率的公理化定义。从此，概率论才成为了一个严密的数学分支。然而严格叙述概率的公理化定义需涉及测度论等数学内容，这超出了本书的范围。故在此我们只能将概率的公理化定义简述如下。定义 1.4 （概率的公理化定义）设有随机试验 E，E 的样本空间为 ，记包括 在内的 E 的所有事件组成的集合族为 F，若对 F 中的任一个事件 都能 A赋于一个实数 ，且 满足下列条件：)(AP)(（1）(非负性) 对于任一随机事件，有 ()PA0；（2） (规范性) 对于必然事件 ，有 1；（3） (可列可加性) 对于两两互不相容的事件 ,2,n ，有11()()iiiP，则称 ()PA为随机事件的概率概率的性质由概率的定义可导出下面概率的一些重要性质(1) ()0(2) (有限可加性) 设 n 个事件 1,2nA 两两互不相容，则有 1()()iiPPA(3) 对于任意一个事件 A： ()()(4) 若事件 A，B 满足 ，则有PBPA,()(5) 对于任意一个事件 A，有 10(6) (加法公式) 对于任意两个事件 A，B ，有()()()PABPAB.对于任意 n 个事件 1,2n ，有11111()()()()()nii ij ijk niijnijknPA PA .；例 1.18 （配对问题）将 n 封写好的信随机装入 n 个写好地址的信封，求（1）没有一封配对的概率 q0；（2）恰有 r 封配对的概率 (r n)。解：（1）记 第 i 封信配对iA则 inAPPq110由古典概率的计算法，得 nii ,故 niiAS1又 njiPji ,故 njijiS12 !21类似可得: ，1 k n!k于是 nssq1210 = ，当 时nkke!（2）恰有 n 封配对可以通过三步来实现：第一步：从 n 封信中选出 r 封来，共有 种选法。第二步：选出的 r 封信都配对，由（1）的分析，这种可能性r是 。第三步：剩下的 封没一封配对，这种可能性是1rn n。由乘法原理，得 。rnk0!1rnkrnkkrq00!1!11.5 条件概率和事件的独立性一、条件概率在实际问题中，除了考虑事件 A 发生的概率 ，有时还需考虑在“事件APB 已发生”的条件下，事件 A 发生的概率。由于增加了新的条件“事件 B 已发生” ，所以后者的概率一般来说不同于 ，我们称它为 A 对 B 的条件概率。记为 。AP|定义 1.3 若（， F， P）为一概率空间， 且 。则对任意F0,称FA(1.20)BPA|为在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率，或 A 对 B 的条件概率。例 1.19 已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至少有一个男孩的概率（假定每个小孩是男是女是等可能的） 。解：三胞胎小孩的所有可能结果不难一一列出，即=（女，女，女） ， （女，女，男） （女，男，女） ， （男，女，女） ， （女，男，男） ， （男，女，男） ， （男，男，女） ， （男，男，男）共含 8 个样本点。记 A=三胞胎中至少一个是男孩 ， B=三胞胎中有女孩 。由 看出 86,7APB故 。|P易验证 是 F 上的一个概率，即有：|定理 设（， F， P）为概率空间， ， 。对任意 ，让FB0)(PFA与之对应，则集函数 为 F 上的一个概率。BA| |上面的定理表明（， F， ）也构成一概率空间，称它为条件概率空间。对于古典概型，计算条件概率除按定义式（1.20）外，还有另一种考虑法，即重新考虑样本空间为 ，易验证， B 中子集类B是 上的 域，将（ ， F）上定义的 P 平移至ABF:B（ ， ， ）是一概率空间，这里的 与（ ， F， ）上的PP|一样。按后一种考虑，在例 1.20 中， =B 含 7 个样本点，而 A 包含|中 6 个样本点，按古典概率的计算法。B|7二、乘法公式由条件概率的定义当 时 (1.21)0APABP|当 时 B)(A一般地,有（ （1. 12112121 | nnnAP 0121n22)(1.21) (1.22)称为乘法公式 ,在概率计算中有重要作用。例 1.20 罐中有三个白球两个黑球,从中依次取出三个, 试求取出的三个球都是白球的概率。解：记 =第 i 次取球得白球iA易得 。31|,42|,5323121 APP故 10|23121321 APAAP三、全概公式和 Bayes 公式先看一个例子：一种外形相同的某种元件，是由一厂，二厂，n 厂生产的，从这批元件中任取一只元件，它必然是这 n 个厂某个厂生产的元件。若以 Bi 表示 “任取一只元件是第 i 厂生产的”事件（i 1 ，2，n） ，那么B1， B2，Bn 是一组互不相容事件。而且 B1+B2+Bn 是必然事件。用 A表示“取到的元件为次品”这个事件。由于取到的元件必然是一厂，二厂，n 厂中某一厂的产品，所以事件A 总是事件 AB1，AB2，ABn 的一个，故 AAB1AB2ABn 又因为 B1，B2，Bn 互不相容，所以 AB1，AB2，ABn 也是互不相容的。 所以P（A ） P（AB1+AB2+ABn ）P（AB1）P（AB2）P（ABn）P（B1）P（ AB1）P （B2）P（AB2）P（Bn）P（A Bn） ni iiB1)|()即 )(i ii|(（1.23）这就是全概率公式（图1 16所示） ，也可以表示成概率树枝图（图11 所示） 。 即事件 A 的概率为：从 B1A，B2A，B3A 三条线上各节概率之积再求和即可。 画树枝图时，一定注意其各分杈上的概率之和必为 1，因为它是对样本空间 的一个分割，且事件组 B1，B2，Bn 互不相容。 注意：利用全概率公式的必须强调两点。B1，B2，Bn 是一组互不相容事件。B1B2Bn 例 1.21 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的 15%,20%,30%,35%,又这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03,0.02,现从出厂产品属任取一件，问恰好取到次品的概率为多少？解：令 A=任取一件出厂产品为次品=所抽产品中第 i 条流水线生产（ i=1，2 ，3，4 ）iB则=0.031 41 02.35.0.05.10|i iiBP5=3.15%例 1.22 甲、乙、丙三人向一敌机射击，甲射中的概率为 0.4，乙射中的概率为 0.5，丙射中的概率为 0.7，若一人射中敌机，被击落的概率为 0.2；如果两人射中，则敌机被击落的概率是 0.6；如果三人都击中，则敌机一定被击落。求敌机被击落的概率。解：B0 表示 “三人都没击中敌机” ， B1 表示“恰有一人击中敌机” ， B2 表示“ 恰有两人击中敌机” ， B3 表示“三人都击中敌机” ， A 表示“敌机被击落” 。 根据题意 B0，B1 ，B2，B3 两两互不相容，且B0B1B2B3 则P（B0）（10.4） （1 0.5） （10.7）0.09P（B1）0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P（B2）0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41P（B3）0.40.50.70.14 由已知 P（AB0）0， P（AB1 ）0.2 ，P （AB2）0.6 ， P（AB3）1由全概率公式得：P（A）0.0900.360.20.410.60.141 0.458 在上面的例中，若该厂规定，出了次品要追究有关流水线经济责任，现从出厂产品中抽到一件次品，但该次品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理。不难理解，可按 的大小来追究第 4 条流水线的经济计划责任。ABP|4。2.0315.7| 14 i iiBABP这就是说第条流水线应负 22.2%的责任。上面计算实际上已告诉我们一个极为有用的公式，常称为 Bayes 公式或逆概公式。即有定理 1.3 若 为列互不相容的事件,且 ,21B0iBPi则对任一事件 A，有 1|i iiiii AP（1.24） 证,21i以上面的例来说， “抽查一次产品”是进行一次试验，那么 是在试iBP验之前就已经知道的概率，所以常称它们为先验概率（先于试验） ，实际上它是过去已经掌握的情况的反映，对试验将要出现的结果提供了一定的信息，在上面的例中，试验结果出现不合格品（ A 发生了） ，这时条件概率 反映了Ai|在试验之后，对 A 发生的某种 “来源” （即次品的来源）的可能性大小的估计，常称为后验概率，若 是病人可能患的 n 种不同疾病，在诊断前先nB,21检验与这些疾病有关的某些指标（如体温、血压、白血球、转氨酶含量等）若检查结果病人的某些指标偏离正常值了（即 A 发生了） ，从概率的角度考虑，若 大，则病人患 病的可能性也较大。但要用 Bayes 公式计算出BPi| i，需把过去病例史中得到的先验概率 值代入（医学上称 为AiBPiBP病人发病率） 。人们常喜欢找“有经验”的医生给自己治病，因过去的经验i能帮助医生作出较准确的诊断，而 Bayes 公式正是利用了“经验”的知识，这类方法过去和现在都受到人们普遍重视。并称之为 Bayes 方法。例 1.23 在秋菜运输中，某汽车可到甲、乙、丙三地去拉菜，设到此三处拉菜的概率分别为 0.2，0.5，0.3 ，而到各地拉到一级菜（只分一级、二级菜）的概率分别为 0.1，0.3 ，0.7。已知汽车拉到了一级菜，求该车菜是由乙地拉来的概率。解：设 B1， B2，B3 分别表示“汽车由甲、乙、丙地拉菜”的事件，A 表示“拉到一级菜”的事件。由题意知 B1，B2 ，B3 互不相容，且B1B2B3 则 P（B1）0.2，P（B2）0.5P（B3）0.3，P（A|B1 ） 0.1，P（A|B1）0.3P（A|B3）0.7，所求事件的概率为 P（B2|A） 由贝叶斯公式P（B2|A） 四 事件的独立性定义 1.4 对任意两个事件 A、 B，若有BPA（1.25）则称事件 A 与 B 是相互独立的,简称为独立的。独立性是概率论中一个很重要的概念，几乎遍及概率统计的各个角落。关于两个事件的独立性有如下性质：1若 （或 ） ，则 A 与 B 相互独立的0P0（或 ） 。|P|2 A 与 B 独立，则 A 与 独立， 与 B 独立， 与 独立。3 或 ，则 A