第二章　随机事件的概率

第二章 随机事件的概率一、概率的统计定义二、古典概型三、几何概型四、概率的公理化定义 五、概率的性质六、例题引例： 投一枚硬币观察正面向上的次数。蒲丰 ( Buffon )投币n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069皮尔逊 ( Pearson ) 投币n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，则称f n( H ) m n为事件 A 发生的 频率 。概率的统计定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中 , 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动 , 且随 n 越大摆动幅度越小 , 则称 p 为事件 A 的 概率 , 记作 P(A)。一、概率的统计定义频率的性质非负性归一性可加性若事件 A, B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件q q q back古典（等可能）概型q基本事件的个数有限q每个基本事件等可能性发生则称随机试验 E 为 古典概型。古典概型中概率的计算 ：n为 中包含基本事件的总数， k为 组成 A的基本事件个数，则 p(A)=k/n。二、古典概型例 1： 设有批量为 100的同型号产品，其中次品有 30件。现按以下两种方式随机抽取 2件产品(a)有放回抽取 (b)不放回抽取。试求：（ 1）两件都是次品的概率；（ 2）第 1件是次品，第 2件是正品的概率。解 ：（ a） 有放回抽取设 A=两件都是次品 B=第 1件是次品，第 2件是正品 例 1： 设有批量为 100的同型号产品，其中次品有 30件。现按以下两种方式随机抽取 2件产品(a)有放回抽取 (b)不放回抽取。试求：（ 1）两件都是次品的概率；（ 2）第 1件是次品，第 2件是正品的概率。解 ：（ b） 无放回抽取设 A=两件都是次品 B=第 1件是次品，第 2件是正品 例 2： 某城市电话号码升位为六位数，且第一位为 6或 8，求（ 1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（ 2）随机抽取的电话号码未位是 8的概率。解： 分别记问题（ 1）（ 2）的事件为 A， B.例 3： 两封信随机地投入四个邮筒，求第二个邮筒恰好被投入一封信，前两个邮筒内没有信的概率。解：例 4： （女士品茶问题）一位常饮牛奶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，并且她在 10次试验中都正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？解：back假设该女士说法不可信，则此假设下每次试验的两个可能结果： “ 牛奶 +茶 ” 或 “ 茶 +牛奶 ” ，（等可能）。 事件 A 在 10次试验中都能正确判断 ，则小概率事件发生，否定原假设，即认为该女士的说法可信。例 5： 设某超市有奖销售，投放 n张奖券，只有1张有奖，求第 k位顾客中奖的概率。解：back几何概型q基本事件的个数无限q每个基本事件等可能性发生则称随机试验 E 为 几何概型。几何概型中概率的计算 ：设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域 G 的测度成正比 , 则样本点落入 G内的概率为三、几何概型例 6： 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率。解：n点 n+1点10分钟例 7：两船欲停同一码头 , 两船在一昼夜内独立随机地到达码头 .若两船到达后需在码头停留的时间是 6小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解：back设船 1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24船 2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 24设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头例 7：两船欲停同一码头 , 两船在一昼夜内独立随机地到达码头 .若两船到达后需在码头停留的时间是 6小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率 .backxy2424y = xy = x + 6y = x - 6设随机试验的样本空间为 ， 随机事件 A是 的子集， P(A)是实值函数，若满足下列三条公理：公理 1 (非负性 ) 对于任一随机事件，有 1 P(A)0；公理 2 (规范性 ) 对于必然事件 ， 有 P()=1；公理 3 (可列可加性 ) 对于两两互不相容的事件A1， ， An， 有则称 P(A)为随机事件的概率 四、概率的公理化定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义 概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出（ 1） P( )=0， P()=1（ 2） P( )=1-P(A)（ 3） 若 A1, A2 ,An 两两互斥 ,则 P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2) + + P(An)（ 4） 若 A是 B的子事件 ,则 P(B-A)=P(B)-P(A)； P(A) P(B) （ 5） P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)back五、概率的性质例 8：小王参加 “ 智力大冲浪 ” 游戏 ,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为 0.7和 0.2, 两类问题都能答出的概率为 0.1。求小王(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率 两类问题都答不出的概率解： 事件 A , B分别表示 “能答出甲 ,乙类问题 ”1.设事件 A发生的概率是 0.6， A与 B都发生的概率是 0.1， A与 B 都不发生的概率为 0.15 ,求 P(A+B)及 P(B-A).解：六、例题2.(生日问题 )设一年有 365天， A= n个人中没有 2人生日相同， B= n个人中有 2人生日相同，求 P(A)及 P(B).解：3.（分房模型）设有 k 个不同的球 , 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ kN ） , 设每个盒子容球数无限 , 求下列事件概率 :（ 1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（ 2）某指定的一个盒子恰有 m 个球 (mk)（ 3） 某指定的一个盒子没有球；（ 4）恰有 k 个盒子中各有一球；（ 5）至少有