第六章：数字信号处理

第六章 数字信号处理v 概述v 数字信号处理的基本步骤v 信号数字化出现的问题v 离散傅里叶变换v 快速傅里叶变换（ FFT）v 其他谱分析技术v FFT算法的应用v 思考题（作业）概述v 什么是信号处理、信号分析 信号处理和信号分析没有明确的界限。通常把研究信号的构成和特征值称为信号分析，把信号经过必要的变换以获得所需信息的过程称为信号处理v 信号处理可用模拟信号处理系统和数字信号处理系统来实现 模拟信号处理系统 由一系列能实现模拟运算的电路，诸如模拟滤波器、乘法器、微分放大器等环节组成。模拟信号处理也作为任何数字信号处理的前奏，例如滤波、限幅、隔直、解调等预处理。数字处理之后也常需作模拟显示、记录。 数字信号处理 是用数字方法处理信号，它既可在通用计算机上借助程序来实现，也可以用专用信号处理机来完成。数字信号处理具有稳定、灵活、快速、高效、应用范围广、设备体积小、重量轻等优点，在各行业中得到了广泛的应用。概述v 数字信号处理应用领域 生物医学工程、声学、声纳、雷达、宇航、地震、语音通讯等领域v 在医学领域，心电、脑电分析、超声、 CT(电子计算机体层扫描仪 )、核磁共振技术等，都是近年来医学上的重大科技成果。可以说，它们的基本原理都是传感与计算机技术的有机结合，是依据数字信号处理的数据或图形，获取人体内器官的工作状态或体内异物是否存在、形状、大小、位置等信息。v 在军事上，利用声纳、雷达、卫星系统，实现军事目标的探测，这同样是利用数字信号的存贮或处理，以获取有关军事设施、兵力部署，或者飞机、舰艇的航行位置、速度、方向等信息。概述 机械、冶金、建筑、交通、电力等部门，数字信号处理的应用亦得到了迅速的发展。v 例如，大型旋转机械的监测与故障诊断系统，是将振动、声音、位移、温度等物理量，通过传感器转换为电信号，输入计算机系统，对信号处理加工变换，得到一系列特征参数，以监测系统的工作状态即便是普通的家用电器，如冰箱、电风扇、空调器、抽油烟机等，运用数字信号处理技术，找出振动与噪声源，提出对策，这对于提高产品质量亦是一种科学手段。v 数字信号处理技术的发展v 除了在通用计算机上发展各种数字信号处理软件外，还发展了有专用硬件的数字信号处理机。在运算速度、分辨能力、功能等方面，都显示出优越性。采用数字信号分析技术，对于 1024采样点进行 A/D转换，仅需 4-15s， FFT运算仅需 250ms，较快的只需数 ms。因此，数字信号处理具有很强的实时能力，这使旋转机械的动态谱分析，以及高速运动物体的实时分析与监视均成为可能。此外，数字信号处理的分辨能力在高频段 (50kHz)，可达25Hz；在超低频段可达 0.0025Hz。概述v 数字信号处理的主要内容 频谱分析v 包含有相关与统计分析，其数学运算的核心是离散傅里叶变换与快速傅里叶变换。 数字滤波v 包含了无限冲激响应滤波 (IIR)与有限冲激响应滤波 (FIR)等。6-1 数字信号处理的基本步骤v 一、信号预处理 把信号变成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。 电压幅值调理，以便适宜于采样。 希望电压幅值峰 峰值足够大，以便充分利用 A/D转换器的精确度。如 12位的 A/D转换器，其参考电压为 5V。由于 212 4096，故其末位数字的当量电压为 2.5mv。若信号电平较低，转换后二进制数的高位都为 0，仅在低位有值，其转换后的信噪比将很差。若信号电平绝对值超过 5V，则转换中又将发生溢出，这是不允许的。 必要的滤波，以提高信噪比，并滤去信号中的高频噪声。 隔离信号中的直流分量 (如果所测信号中不应有直流分量 )。 如原信号经过调制，则应先行解调。6-1 数字信号处理的基本步骤v 二、 A/D转换 模拟信号经采样、量化并转化为二进制数的过程。6-1 数字信号处理的基本步骤v 三、运算处理 数字信号处理器或计算机对离散的时间序列进行运算处理。 计算机只能处理有限长度的数据，所以首先要把长时间的序列截断，对截取的数字序列有时还要人为地进行加权（乘以窗函数 )以成为新的有限长的序列。 对数据中的奇异点 (由于强干扰或信号丢失所引起的数据突变 )应予以剔除。 对温漂、时漂等系统性干扰所引起的趋势项 (周期大于记录长度的频率成分 )也应予以分离。 如有必要，还可以设计专门的程序来进行数字滤波。 然后把数据按给定的程序进行运算，完成各种分析。6-2 信号数字化出现的问题v 一、概述 信号数字化过程包括：v 采样： 模拟信号 离散信号v 量化： 离散信号 数字信号（时间序列）v 截断（加窗）： 无限长时间序列 有限长时间序列v DFT（离散傅里叶变换）： 连续频谱 离散频谱 每一步骤都可能引起信号和其蕴含信息的失真。6-2 信号数字化出现的问题1、采样： 用一个等时距的周期脉冲序列 s(t)（采样函数）乘以原模拟信号 x(t)。时距 Ts称为 采样周期 ，fs=1/Ts称为 采样频率 。信号 x(t)及其频谱 |X( f )|采样信号 s(t)及其频谱 |S(f)|采样后的信号 x(t)s(t)及其频谱 |X(f)*S( f )|Ts太大即fs 太小时，平移后的图形会交迭！6-2 信号数字化出现的问题 2、截取（加窗处理） 计算机只能对有限长的序列进行运算，对长时间序列进行截短，相当于对采样后的信号进行加窗处理 (加矩形窗 )，设窗宽为 T，则 t T 时，视 x(t)=0。窗内数据点数 (序列长度)N=T/Ts 。进入计算机的信号： x(t)s(t)w(t)， 其频谱为 X( f )*S( f )*W( f )，是频域连续函数。 因 W( f )的旁瓣引起了新频谱的皱波 ！时窗函数及其幅频谱有限长离散信号及其幅频谱6-2 信号数字化出现的问题 3、频谱的离散化 x(t)s(t)w(t)的频谱是一连续的频率函数，但计算机只能处理数字信号，用离散傅里叶变换 (DFT)对离散的x(t)s(t)w(t)进行傅里叶变换后，输出的是离散的频率序列，即对 X( f )*S( f )*W( f )进行了频域的采样处理。相当于在频域中乘上了频域采样函数 D( f )。计算机输出的频率序列 X( f )p对应的时域函数 x(t)p既不是原来的时域函数 x(t)， 也不是 x(t)s(t)， 而是一个周期函数。 与原信号有很大差别 ！频域采样函数及其时域函数DFT后的频谱及其时域函数 (t)p6-2 信号数字化出现的问题 小结v 从以上过程看到，原来希望获得模拟信号 x(t)的频域函数 X( f )，但由于输入计算机的数据却是序列长为 N的离散采样后信号 x(t)s(t)w(t)，计算机输出的是 X( f )p。 X( f )p已非 X( f )，而是用 X( f )p来近似 X( f )。处理过程中的每一个步骤：采样、截断、 DFT计算都会引起失真或误差，必须充分注意。好在工程上不仅关心有无误差，而更重要的是了解误差的具体数值，以及是否能以经济、有效的手段提取足够精确的信息。只要概念清楚，处理得当，就可以利用计算机有效地处理测试信号，完成在模拟信号处理技术中难以完成的工作。6-2 信号数字化出现的问题v 二、时域采样、混叠和采样定理 1、采样v 把连续时间信号变成离散时间序列的过程，即按一定时间间隔读取连续信号瞬时值的过程。v 设采样长度为 T，采样间隔为 Ts，则采样得到的离散时间序列可表示为 x(n)=x(nTs)=x(n/fs)， n=0,1,2,N-1， N=T/Ts。v 采样频率 fs=1/Ts。v 若 Ts很小， fs很高，当 T一定时， N很大，计算工作量很大；v 若 N一定，而 fs很高时， T很小，只能处理很短的时间历程。6-2 信号数字化出现的问题 2、混叠现象v 图 a)中，设 1、 2、 3、 4为四个连续的采样点，此时，信号 A、 B、 C正好在这四个采样点的瞬时值是相等的，所以，用这些采样点的值无法分清信号 A、 B、 C的区别。v 图 b)是用过大的 Ts对两个不同频率的正弦波采样的结果，得到一组相同的采样值，无法辨别两者的差别。v 采样后，将高频信号误认为某种相应的低频信号的现象称为 混叠现象 。造成这种现象的原因是采样频率太低而采样间隔太大。6-2 信号数字化出现的问题v 从频域来看，信号经时域采样之后成为离散信号，新信号的频域函数是一周期函数，周期为 1/Ts=fs。v 若 Ts太大， fs太低，平移距离 1/Ts过小，那么移至各采样脉冲所在处的频谱 X( f )就有一部分相互交叠，新合成的 X( f )*S( f )图形与原 X( f )不一致，这种现象称为 混叠 。v 发生混叠后，改变了原来频谱的部分幅值，这样，就不可能从离散的采样信号 x(t)s(t)准确地恢复原来的时域信号 x(t)。6-2 信号数字化出现的问题 3、采样定理v 因为原信号的频谱 X( f )是 f的偶函数，并以 f=0为对称轴， X( f )*S( f )又是以 fs为周期的函数，故有混叠时，必出现在 f=fs/2的两侧，称 fs/2为 折叠频率 。v 为避免频率混叠，应使 fs=1/Ts2fh（如图）， fh为 x(t)的最高频率分量。对不满足要求的信号，采样之前，应通过模拟低通滤波器滤去高频成分，为满足上述条件创造条件。这种处理称为 抗混叠预处理 。v 把一个没有混叠的频谱通过中心频率为 0，带宽为 (fs/2)的理想低通滤波器，就可完整地取出原信号的频谱，从而有可能从此频谱中准确地恢复原模拟信号 x(t)。v 为避免混叠以使采样处理后仍有可能准确地恢复原信号，采样频率 fs必须大于信号最高频率 fh的两倍，即fs2fh，这就是 采样定理 。v 由于理想低通滤波器不存在，故采样频率常取为 (34)fc， fc为滤波器的截止频率。6-2 信号数字化出现的问题v 三、量化和量化误差 采样是对时间坐标的离散化，使连续的模拟信号变成了离散信号，但计算机只能处理数字信号，量化则是对幅值坐标的离散化，使离散信号变成数字信号。 量化是从一组有限个离散电平中取一个来代表信号采样点的实际幅值电平。当 A/D转换器的位数为 b，动态范围为 D（如 5V）时，相邻两量化电平之间的差为：x=D/2(b-1) （字长第一位用作符号位） 量化误差为（ x/2， +x/2），当 b一定时，量化误差是一定的。 A/D转换的位数越多，转化精度越高，但转换速率下降，成本也显著增加。6-2 信号数字化出现的问题v 四、截断与泄漏 计算机只能处理有限长度的时域信号，因此，对长时间历程信号必须截断，亦即必须对实际信号乘以时域上有限的矩形窗函数，得： 由于 W( f )是一个无限宽的 sinc函数，所以，既使 x(t)是带限信号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴上分布扩展的现象称为 泄漏 。同时，由于截断后信号带宽变为无限宽，因此，无论采样频率多高，信号总是不可避免地出现混叠而导致一些误差。 为减小截断的影响，常采用其他的时窗函数来对所截取的时域信号进行加权处理6-2 信号数字化出现的问题v 五、时域周期延拓和栅栏效应 x(t)经过时域采样、截断、频域采样之后，所得到的信号 x(t)s(t)w(t)*d(t)是一个周期信号。原信号 x(t)不一定是周期信号，但经频率离散化之后，将其改造成了周期信号，这一现象称为 时域周期延拓 。 对一函数实行采样，其效果有如透过栅栏的缝隙看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏档住，视为 0，这种现象被称为 栅栏效应 。时域采样和频域采样均有栅栏效应。 对时域采样，若满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而对频域采样， “档住 ”的频率成分可能是重要的或具有特征的成分，使整个处理失去意义6-2 信号数字化出现的问题v 六、频率分辨力、整周期截取 频率采样间隔 f 是频率分辨力的一项指标， f 越小，被档住的频率成分就越少，频率分辨力就越高。由 f =fs/N=1/T (fs 采样频率； T 时窗宽度 ) 可知，频率分辨力与计算工作量是矛盾的。 fs由采样定理决定， fs决定后，为减小 f 而必须增大 N，从而急剧增加计算工作量。解决这一矛盾的途径有两条：一是在 DFT的基础上，采用频率细化技术 (ZOOM)，提高感兴趣的局部频段的分辨力；二是采用 DFT之外的其他方法得到频谱。 整周期截取是指对周期信号用数字化处理时，截取信号的长度 T必须为信号周期的整数倍。只有这样，才能获得精确的频谱，以及使周期延拓后的信号和原信号完全重合，否则，波形和频谱都会发生畸变6-3 离散傅里叶变换v 概念 离散傅里叶变换 (DFT)一词并非泛指对任意离散信号取傅里叶积分，而是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词，所以有时称 DFT是适用于数字计算机计算的 FT。 对信号 x(t)进行傅里叶变换 (FT)或逆傅里叶变换 (IFT)运算时，无论在时域或在频域都需要进行包括 (-， +)区间的积分运算。在计算机上实现这一运算，则必须做到：v (1)把连续信号 (包括时域、频域 )改造为离散数据；v (2)把计算范围收缩到一个有限区间；v (3)实现正、逆傅里叶变换运算。 在这种条件下所构成的变换对称为离散傅里叶变换对。其特点是，在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。6-3 离散傅里叶变换v 公式对于上式，将 0 N l的取值范围定义为序列的 “主值区间 ”，而将主值区间的 N点序列定义为 “主值序列 ”，以 x(n)=x(nTs )/T0和 X(k)分别表示式中的主值序列，则有 :6-3 离散傅里叶变换令：则有：以上分析结果表明，通过对连续傅里叶变换的改造，将 N个时域采样点与 N个频域采样点联系起来，导出了离散傅里叶变换式，建立起了时、频域关系，提供了利用数字计算机作傅里叶变换运算的一种数学方法 。快速傅里叶变换 (FFT)是一种减少 DFT计算时间的算法。在此出现之前，虽然 DFT为离散信号的分析从理论上提供了变换工具，但因为计算时间很长而很难实现。如，采样点 N l000， DFT算法运算量约需200万次，而 FFT仅约需 1.5万次，可见 FFT方法大大地提高了运算效率。因此， FFT方法于 1965年由美国库利 图基首先提出时，曾被认为是信号分析技术的划时代的进步。6-4 快速傅里叶变换（ FFT）v 一、 DFT的计算量由矩阵式可以看出，将 x(n)与 W nk两两相乘再取和即可得到X(k)。每计算一个 X(k)值，需要进行 N次复数相乘和 (N一 1)次复数加法，当计算 X(0)， X(1)， 共 N个 X(k)值时，则需要 N2次复数相乘， N(N一 1)次复数相加。随着 N值加大，运算工作量将迅速增大，如， N 10时，需要 100次复数相乘，而当 N l024(210)时，就需要一百多万 (1048576)次复数乘法运算。按照这种规律，如果在 N较大时，要求对信号进行实时处理，所需的运算时间就难以实现。6-4 快速傅里叶变换（ FFT）v 二、减小运算工作量的途径由以上分析可知，在 W 与 x(n)相乘过程中存在着不必要的重复运算。避免这种重复，则是简化运算的关键。 为便于讨论，设 N 4，则矩阵表达式为：此时，复数乘法次数 N2 16；复数加法次数为 N(N 1)=12进一步分析矩阵式，可以发现有些 不必要的运算 ，例如：(1) W 0 1(2) W N/2 e-j2/NN/2 - 1也有些存在可利用的特性，例如：(1) W nk的周期性 ，即： W nk W n(k+N) W k(n+N)运用此式，当 N 4时，可有 W 3 W 6， W 2 W 9等；(2) W nk的对称性 ，即： W n(nk+N/2) - W nk 运用此式，当 N 4时， W 3 - W 1， W 2 - W 0等6-4 快速傅里叶变换（ FFT）把以上特性用于 N 4的 W 矩阵，则可简化该矩阵如下：可见，经作周期性与对称性简化之后，矩阵 W 中，若干数量的元素相同，这样就使 DFT 运算过程大大简化！这就是库利 图基 FFT算法的基本思想。v 三、 FFT计算方法FFT算法有多种变型，其算法是很多的，但每种变型的建立，多是考虑了被分析数据的特性，或者利用计算机特性，或者利用专用计