运动变化中的折叠问题

运动变化中的折叠问题由于动点的运动，导致动直线的位移，使 图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化，在这一变化过程中需要对不同情况加以分类讨论。解决这类折叠中的重叠部分面积问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，抓住运动中的不变量，然后利用全等图形和相似图形的性质及相关的知识进行分类求解，问题就会迎刃而解。下面举例说明如下：例 1、(2007 年广西南宁市中考题 )如图，在锐角 中， ， 于点 ，ABC 9AHBC且 ，点 为 边上的任意一点，过点 作 ，交 于点 设6AHDABDE E的高 为 ，以 为折线将 翻折，所得的 与梯形E F(06x D重叠部分的面积记为 （点 关于 的对称点 落在 所在的直线上） BCy（1）分别求出当 与 时， 与 的函数关系式；3x xyx（2）当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？x解：（1）当 时，由折叠得到的 落在 内部如图（1） ，重叠部03x AED BC分为 AEDBC AEB， A ， ，即FH9632x又 x 1yFA23(0)4yxAEFDCHAH图（1）AEDBHCEFDABCQHP图（2）当 时，由折叠得到的 有一部分落在 外，如图（2） ，重叠36xAED ABC部分为梯形 EDPQ, FHAx(6)HFxx又 , PAE PQHDF263()3PQxx， 1()2y1()()22987(36)4xx（2）当 时， 的最大值： ；03x y2213y当 时，由629987()44xx可知：当 时， 的最大值：xy2y， 当 时， 有最大值： 12y9最 大【评析】这一道以折叠为背景的综合性压轴题，利用 图形的折叠建立数学模型来求解 问题。在本题的解答中侧重对相似三角形的面积比和相似比之间的关系及利用二次函数求最值等知识的考查，该试题一定程度上考 查了分类讨论和数形结 合等例 2、 （2008 年山东省东营市中考题） （）在ABC 中，A90，AB4，AC3，M 是AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过 M 点作 MNBC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作O，并在 O 内作内接矩形 AMPN令 AMx （1）用含 x 的代数式表示 NP 的面积S；（2）当 x 为何值时，O 与直线 BC 相切？（3）在动点 M 的运动过程中，记 NP与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）MNBC，AMN=B， ANMC AB CM NP图 1O AMN ABC AMNBC，即 43xA AN 3x S= 2128MNPAx （0 x4） （2）如图 2，设直线 BC 与O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO =OD = 21MN在 RtABC 中，BC 2BC=5由（1）知 AMN ABC AMNBC，即 45x 5， 8OD 过 M 点作 MQBC 于 Q，则 58Mx 在 RtBMQ 与 RtBCA 中，B 是公共角， BMQBCA BQCA 52834xM，254ABx x 496 当 x 96时，O 与直线 BC 相切 （3）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MNBC， AMN=B， AOMAPC AMO ABP 12AOP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当 0 x2 时， 283xSyPMN 当 2 时， .大 当 2 x 4 时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E，F 四边形 AMPN 是矩形， PNAM，PN AMx 又 MNBC， 四边形 MBFN 是平行四边形 AB CM ND图 2OQAB CM NP图 4OE FAB CM NP图 3O FNBM4x 42PFxx 又PEF ACB 2PEFABCS 23PEFSxMNPEFy 22239688xx当 2 4 时， 29689 当 83x时，满足 2 x4， y大 综上所述，当 时， 值最大，最大值是 2【评析】本题以三角形与圆相结合为背景的综合性压轴题，考查的知识点较多， 圆的知识与相似三角形的性质的有机综合运用， 环环相扣，步步 为营 ，循序渐进，区分度强。第（3）小题要运用分类讨论思想来解决问题，解 题中关键是抓住在点的运 动过程中不变的量，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等量关系，从而构建一个二次函数使问题得以解决。例 3、 （2008 年浙江省台州市中考题）如图，在矩形 ABCD 中， 9AB， 3D，点 P 是边 BC 上的动点（点 P 不与点 B,C 重合） ，过点 P 作直线 PQBD，交 CD 边于 Q 点，再把 PQC 沿着动直线 PQ 对折，点 C 的对应点是 R 点，设 CP 的长度为 x，PQR 与矩形ABCD 重叠部的面积为 y（1）求CQP 的度数； （2）当 x 取何值时，点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上？（3 ） 求 y 与 x 之间的函数关系式；当 x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 72？解：（1）如图， 四边形 是矩形， ABCDABCD，又 ， ， ，9AB390， ，CD3tanD Q CBPRA ， 30CDBPQBD 30CPDB（2）如图 1，由轴对称的性质可知， ，RQ ， 由（1）知 ，RR， ， 60PQC60PB2BP， ， 在 中，根据题意得：xx3xR，解这个方程得： 2(3)2（3）当点 在矩形 的内部或 边上时，RABCD， ，0x 211322PQSxxA， 当 时，R 03 2y当 在矩形 的外部时（如图 2） ， ，在 中，ABCD3xRtPFB， ，60P (3)FP又 ， ，Rx6Rx在 中，tE， 30FPB3E，21182ERSx， 当 时， PQERFy 323183yx综上所述， 与 之间的函数解析式是： x2(0)3183(23)xx矩形面积 ，当 时，函数 随自变量的增大而增932702 y大，所以 的最大值是 ，而矩形面积的 的值 ，y67273而 ，所以，当 时， 的值不可能是矩形面积的 ；73023xyD Q CBPRA（图 1）D Q CBPRA（图 2）FE当 时，根据题意，得：23x，解这个方程，得 ，因为 ，187332x323所以 不合题意，舍去2x所以 3综上所述，当 时， 与矩形 重叠部分的面积等于矩形面积的xPQR ABCD【评析】这一道以折叠为背景的综合性压轴题，综合性 较强。解决折叠 问题的试题，关72键是找出折痕及全等图形，然后利用全等 图形的性质及相关的知 识，