闭区间上连续函数性质证明

第七章第二节第 1 页2 闭区间上连续函数性质的证明教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。教学方法：讲练结合。在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质有界性定理 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界fba,fba,证 证法一( 应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理 42) ，对每一点都存在邻域 及正数 ，使得,bax ;(xUxM .,);(,) baxUfx考虑开区间集 ,baH)显然 是 的一个无限开覆盖由有限覆盖定理，存在 的一个有限子集, kixUii ,21,;* 覆盖了 ，且存在正数 ，使得对一切 有ba, kM baxUi,;令 .,21kiMxf,max1iki则对任何 ， 必属于某 即证得 在 上有界 ,xfUii; f,证法二(应用致密性定理) 倘若 在 上无上界，则对任何正整数 ，存在 ，使fb, nbaxn,得 依次取 ，则得到数列 由致密性定理，它含有收敛子列 ，nxf,21axn,kn记 。由 及数列极限的保不等式性， 利用 在点 连续，推得 klimbxaknb,ffxfknk另一方面，由 的选取方法又有nkk nkn xfxf lim与(1)式矛盾所以 在 有上界类似可证 在 有下界，从而 在 上有界.fba, fba, ba,最大、最小值定理 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有最大值与最小值f,f,证 (应用确界原理) 已证 在 上有界，故由确界原理， 的值域 有上确界，记ff,为 以下我们证明：存在 ，使 倘若不然，对一切 都Mba,Mfbax有 令 xf,)(1xfMxg第七章第二节第 2 页易见 g 在 连续,故 g 在 有上界.设 G 是 g 的一个上界,则baba,)(10xfMx从而推得 ,baG但这与 M 为 的上确界矛盾.故必存在 ,使 ,即 在 上有最大值,baf, baMffba同理可证 在 上有最小值.f介值性定理 设函数 在闭区间 上连续，且 .若 为介于 之间的任何实f,ff与数,则存在 ，使得bax,00xf证证法一(应用确界原理 ) 不妨设 令 = ，则 g 也是 上bfafxgfba,的连续函数，且 于是定理的结论转化为：存在 ，使得 这,g.ba,00x个简化的情形称为根的存在性定理记 显然 为非空有界数集( 且 )，故由确界原理，bax,0,有下确界，记 因 ，由连续函数的局部保号性，存在 ，使得inf0,bg 0在 内 ，在 内 ，由此易见 ，即 a,xgxbxa0,ba,下证 倘若 ，不妨设 ，则又由局部保号性，存在000，使在其内 ，特别有 但这与baxU,;0xg 2200xxg正相矛盾，故必有 inf0 0证法二(应用区间套定理) 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g 在 上连续， ，则存在 ，使得 ba,bgabax,00xg将 等分为两个子区间 与 若 ，则 c 即为所求；若 ，则当c,gc时记 ，当 时记 。于是有 ，且 0c,1,1 0,11bgaabba2,11再从区间 出发，重复上述过程，得到：或者在 的中点 上有 ，或者有, 1,ba1c1第七章第二节第 3 页闭区间 ，满足 ，且2,ba0,22bgaa1,将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：(1) 在某一区间的中点 上有 ，则 即为所求；ic0igic(2) 在任一区间的中点 上均有 ，则得到闭区间列 满足i0ig,nba，且0,nnbga.,21,21,1 nabbann由区间套定理，存在点 下证 ，倘若 ，不妨设.,0x0xg0xg，则由局部保号性，存在 使在其内有 而由定理 7.1 的推论，当 充0xg;0xUn分大时有 ，因而有 但这与 选取时应满足的 相矛盾，;,0xbannagnba, a故必有 0x一致连续性定理 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续fb,f,证证法一(应用有限覆盖定理) 由 在 上的连续性，任给 ，对每一点 ，fa, 0bax,都存在 ，使得当 时有 . (2)0xxU; 2xf考虑开区间集合 ba,2,显然 H 是 的一个开覆盖由有限覆盖定理，存在 H 的一个有限子集ba,kixUi ,21,*覆盖了 记ba, 0min1ik对任何 , , , 必属于 中某开区间,设 即 .xx*2;ixU2iix此时有 iiiiii 2第七章第二节第 4 页故由(2)式同时有 和 2ixff 2ixff由此得 .所以 在 上一致连续.xf ba,证法二(应用致密性定理) 用反证法.倘若 在 上不一致连续,则存在某 ,对任何fba0,都存在相应的两点 , ,尽管 ,但有0xx.0ff令 ( 为正整数)，与它相应的两点记为 ，尽管 ,但有n1 baxn, nx1. (3)0nnxff当 取遍所有正整数时，得数列 与 由致密性定理，存在 的收敛子列 ，ban, nxknx设 同时由kbaxkn,0 kx